2019-2020学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高一上学期10月联考数学试题（解析版）
2019-2020 学年浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟高一上学
期 10 月联考数学试题
一、单选题
1．已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C．
D．
【答案】B
【解析】先化简全集，再根据补集定义求结果.
【详解】
因为 ,所以 ，选 B.
【点睛】
求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
2．给定下列函数，其中在区间 上单调递增的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】判断出每个函数在区间 上的单调性即可.
【详解】
A. 为二次函数,对称轴是 ,开口向下,所以在区间 上单调递减；
B. 当 时, ,对称轴是 ,开口向下,所以在区间
上单调递增；
C. 中, ,所以在区间 上单调递减；
D.当 时, 在 上有最低点,所以在区间 上单调递减.
故选：A.
【点睛】
本题考查了基本初等函数复合函数的单调性,遇到较难直接看出的可以采取画图等方法.
{ | 0 6}U x N x= ∈ ≤ ≤ {4,5,6}A = UC A =
{1,2,3} {0,1,2,3} { | 0 3}x x≤ ≤
{ | 0 3}U x N x= ∈ < ≤
{ }0,1,2,3,4,5,6U = { }0,1,2,3UC A =
(0,1)
22y x= − 2 2y x x= −
11
2
x
y
+ =
1y x x
= +
(0,1)
21
2y x= − 0x = (0,1)
(0,1)x∈ 2 22 2y x x x x− − += = 1x = (0,1)
11
2
x
y
+ =
( )1 0,12
∈ (0,1)
1 1x xx
= ⇒ = 1y x x
= + ( )0, ∞+ (0,1)
本题属于基础题.
3．设函数 ，则 的值为（ ）
A．0 B．3 C．-1 D．2
【答案】A
【解析】根据条件算出 ,再算出 的值即可.
【详解】
,
.
故选：A.
【点睛】
本题考查了求分段函数的函数值,注意定义域的区分.本题属于基础题.
4．已知集合 ， ， 为集合 A 到集合 B 的一个函数，那
么该函数的值域 C 的不同情况有（ ）种.
A．2 B．3 C．6 D．7
【答案】C
【解析】函数的值域 C 是集合 B 的一个子集,分析可知 B 的非空子集共有 7 个,除去
有 3 个元素不能作为值域,则值域 C 的不同情况有 6 种.
【详解】
由函数的定义可知,函数的值域 C 是集合 B 的一个子集.
,非空子集共有 个；
而定义域 A 中至多有 2 个元素,所以值域 C 中也至多有 2 个元素；
所以集合 B 的子集 不能作为值域 C,值域 C 的不同情况只能有 6 种.
故选：C.
【点睛】
本题考查了集合的子集个数和函数的定义,若函数的定义域和值域里的元素个数为有限
个,则值域的元素个数不会超过定义域里的元素个数.本题属于中等题.
5．三个数 ， ， 之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2 1, 2( )
( 2), 2
x xf x
f x x
− ≤= − >
( (2))f f
( )2 3f = ( )3f
( ) 22 2 1 3f = − =
2( (2)) (3) (3 2) (1) 1 1 0f ff f f= = − = = − =
{1,2}A = {4,5,6}B = :f A B→
{4,5,6}
{4,5,6}B = 32 1 7− =
{4,5,6}
20.3a = 0.3(1.9)b = 0.32c =
a c b< < a b c< < b a c< < b c a< <
【答案】B
【解析】先与 1 比较大小，再根据幂函数单调性确定大小.
【详解】
因为 ， ,
又 为 上单调递增函数，所以 ,
综上 ，选 B.
【点睛】
本题考查比较大小以及幂函数单调性，考查基本分析判断能力.
6．已知函数 是奇函数， 在 上是减函数，且在区间 上
的值域为 ，则在区间 上（ ）
A．有最大值 4 B．有最小值-4 C．有最大值-3 D．有最小值-3
【答案】B
【解析】根据奇函数的性质,分析 在对称的区间上单调性相同,即可找出最大值与最
小值.
【详解】
∵ 是奇函数,在 上是减函数,
∴ 在 上也是减函数,即在区间 上递减.
又∵ 在区间 上的值域为 ,
∴
根据奇函数的性质可知 且在区间 上单调递减,
∴ 在区间 上有最大值 3,有最小值-4.
故选：B.
【点睛】
本题考查了奇函数的单调性和值域特点,如果性质记不熟,可以将大致图像画出.本题属
于中等题.
7．函数 ，对任意的 ， ，且 ，则下列四个结论不一定正确的是
（ ）
A． B．
( )0.320.3 1, 1.9 1a b= = 0.32 1c = >
0.3y x= (0, )+∞ ( )0.3 0.31.9 2<
a b c< <
( )f x ( )f x (0, )+∞ [ , ]( 0)a b a b< <
[ 3,4]− [ , ]b a− −
( )f x
( )f x (0, )+∞
( )f x ( ,0)−∞ [ , ]( 0)a b a b< <
( )f x [ , ]( 0)a b a b< < [ 3,4]−
( ) ( )4, 3,f a f b= = −
( ) ( )4, 3,f a f b− = − − = [ , ]b a− −
( )f x [ , ]b a− −
( ) 2xf x = 1x 2x 1 2x x<
( ) ( ) ( )1 2 1 2f x x f x f x+ = ⋅ ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0x x f x f x− − >
C． D．
【答案】C
【解析】将函数值代入得到每个选项的表达式,再依次证明即可看出 C 选项不一定正确.
【详解】
A. ,正确；
B. 函数 在 上递增,若 ,则 ,
正确；
C. ,不正确；
D. 由基本不等式,当 时, ,即
,正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查了指数函数的单调性、指数幂的运算法则和基本不等式的应用,属于中等题.
8．设函数 ， 则 的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【详解】
当 ,即 , 时, 或 ,
,
其最小值为
无最大值为,
因此这个区间的值域为: .
( ) ( ) ( )1 2 1 2f x x f x f x⋅ = + ( ) ( )1 21 2
2 2
f x f xx xf
++ <
1 2 1 22 2 2x x x x+ = ×
( ) 2xf x = R 1 2x x< ( ) ( )1 2f x
1 2 1 22 2 2x x x x+ ≠
1 2x x< 1 21 2 1 2
1 2 22 2 2 2 2 2 22 2
x xx x x x
x x
+
++ ×> = =
( ) ( )1 2 1 2
2 2
f x f x x xf
+ + >
2( ) 2( )g x x x R= − ∈ ( ) 4, ( ),
( ) , ( ).( ) {g x x x g x
g x x x g xf x + + <
− ≥= ( )f x
9 ,0 (1, )4
− ∪ +∞ [0, )+∞
9[ , )4
− +∞ 9 ,0 (2, )4
− ∪ +∞
当 时, ,
其最小值为
其最大值为
因此这区间的值域为: .
综合得:函数值域为: ，故选 D.
9．设 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用分离常数将 的其中一个分式的分子化成相同部分,再比较分母大小
即可.
【详解】
由题意可得, ,
同理, , ,
∵
∴
故选：C.
【点睛】
本题考查了分式计算的分离常数,将分子中与分母类似的式子变形分离,可使计算更简洁.
本题属于中等题.
10．设 在定义域 上是单调函数，当 时，都有
，则 的为( )
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
9[ ,0]4
−
9[ ,0] (2, )4
− ∪ +∞
2016
2017
110
0 11a
+= +
2017
2018
110
0 11b
+= +
2018
2019
110
0 11c
+= +
b c a< < a c b< < c b a< < a b c< <
, ,a b c
( )2017
2016
2017 2017 2017
11 1
1 1 10 1
1 9 91010 10 10 10
10 10 10a
++= = = ++
+
+ +
2017
2018 2018
1 1
1 10 1
9
10 10
10 10b
+= = ++ +
2018
2019 2019
1 1
1 10 1
9
10 10
10 10c
+= = ++ +
2019 2018 20171 1 1
9 9 9
10 10 10
10 10 10
< <+ + +
c b a< <
( )y f x= (0, )+∞ ( )0,x∈ +∞
1( ) 2f f x x
− = (3)f
3
2
4
3
【解析】设 ,则 , ,解得 ,再将 代入即
可.
【详解】
设 ,则 ,
∵ 在定义域 上是单调函数
∴方程 只有一解,即 为定值.
又∵
∴
即
故选：D.
【点睛】
本题考查了换元法求函数的解析式,当所给函数关系式中括号里为不是 的表达式时,可
通过换元将其看成一个整体.本题属于中等题.
二、填空题
11．（1） _________；（2） _________.
【答案】 4
【解析】(1)根据分数指数幂化简求值；（2）根据对数运算法则化简求值.
【详解】
(1) ,
【点睛】
本题考查分数指数幂以及对数运算法则，考查基本化解求值能力.
12．函数 ， 分别由下表给出，则 的值为________；满足
的 x 的值为________.
x 1 2 3 x 1 2 3
1( )f x tx
− = 1( )f x tx
= + ( ) 1 2f t tt
= + = 1t = (3)f
1( )f x tx
− = ( ) 2f t = 1( )f x tx
= +
( )y f x= (0, )+∞
( ) 2f t = t
( ) 1 2f t tt
= + =
1t =
( ) 1 43 3 3f t= + =
x
1
2.55 3 3(0.64 ) 38
− − = 7log 22lg5 lg 4 7+ + =
1
4
−
( )2.51 0.5 15 3 33 27 3 5 3 10.64 3 0.64 0.88 8 2 4 2 4
−
− − − = − = − = − = −
( ) 7log 22 2lg5 lg4 7 2lg5 2lg2 2 2 10 2 4.lg+ + = + + = + =
( )f x ( )g x ( (1))f g
( ( )) ( ( ))f g x g f x>
1 3 1 3 2 1
【答案】1 2
【解析】(1). 先将 算出,再代入即可.
(2). 分别将 时的 和 算出,再比较大小即可.
【详解】
(1). ；
故答案为：1.
(2). , ；
, ；
, ；
∴当 时, .
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了列表法表示函数和复合函数并求函数值,属于基础题.
13．函数 的单调递减区间为________；值域是________.
【答案】
【解析】(1). 先计算函数的定义域为 ,根据复合函数单调性同增异减,计算
的单调递减区间即可.
(2). 根据 ,算出 的取值范围,再计算 的取值范围,最
后可得 的取值范围.
【详解】
(1). 解得函数的定义域为 ,
设 ,对称轴为 ,得出 在 上递
( )f x ( )g x
( )1g
1,2,3x = ( ( ))f g x ( ( ))g f x
( )( ) ( )1 3 1f g f= =
( )( ) ( )1 3 1f g f= = ( )( ) ( )1 1 3g f g= =
( )( ) ( )2 2 3f g f= = ( )( ) ( )2 3 1g f g= =
( )( ) ( )3 1 1f g f= = ( )( ) ( )1 1 3g f g= =
( ( )) ( ( ))f g x g f x> 2x =
2 4 32 x xy − + −=
(2,3) [1,2]
[ ]1,3
2 4 3t x x= − + −
[ ]1,3x∈ 2 4 3x x− + − 2 4 3x x− + −
2 4 32 x xy − + −=
2 4 3 0x x− + − ≥ [ ]1,3
2 4 3t x x= − + − ( )
4 22 1x = − =× − 2 4 3t x x= − + − ( )1,2
增, 上递减；
又∵ 恒单调递增,
∴根据复合函数单调性同增异减,可得 在 上递增, 上递减；
故答案为： .
(2). 由(1)得, ,
所以 , ,
,即函数 的值域为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了复合函数的单调性和值域,将复合函数拆成两个简单函数,再讨论会比较容易.
本题属于中等题.
14．已知函数 在闭区间 上的值域为 ，则 的最大值为
________.
【答案】3
【解析】画出函数图像,分析要使函数在闭区间 上的值域为 ,必有
, , 或 ,再根据求 的最大值最好是正值,可得
, ,即 的最大值为 .
【详解】
( )2,3
2ty =
2 4 32 x xy − + −= ( )1,2 ( )2,3
(2,3)
[ ]1,3x∈
[ ]2 4 3 0,1x x− + − ∈ [ ]2 4 3 0,1x x− + − ∈
[ ]2 4 32 1,2x xy − + −= ∈ 2 4 32 x xy − + −= [1,2]
[1,2]
2 2y x x= + [ , ]a b [ 1,3]− ⋅a b
[ , ]a b [ 1,3]−
1a b≤ − ≤ [ ][ , ] 3,1a b ⊆ − 3a = − 1b = ⋅a b
0a < 0b < ⋅a b ( ) ( )3 1 3− × − =
画出函数 的图像可知,要使其在闭区间 上的值域为 ,
由于有且仅有 ,所以 ,
而 ,所以有 , 或 ,
又∵ , 的最大值为正值时, ,
∴ ,
所以 ,当 取最小值时,, 有最大值.
又∵ ,
∴ 的最大值为 ；
故答案为：3.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和定义域与值域之间的关系,分析双变量的最值时,可先确定
正负,再看是否有办法将其中一值取到定值,以此消元.本题为中等题.
15．函数 是定义在 上的增函数，函数 的图像关于点 对称，
则满足 的实数 x 的取值范围为________.
【答案】
【解析】函数 的图像关于点 对称即为函数 的图像关于点
对称,可得 为奇函数,再将 化成
,由增函数的性质可解不等式.
【详解】
函数 的图像关于点 对称,
则函数 的图像关于点 对称,即 为奇函数,满足 .
所以 ,
,
又∵ 是定义在 上的增函数,
∴
故答案为：
( ) 2 2f x x x= + [ , ]a b [ 1,3]−
( )1 1f − = − 1 [ , ] 1a b a b− ∈ ⇒ ≤ − ≤
( ) ( )3 1 3f f− = = [ ][ , ] 3,1a b ⊆ − 3a = − 1b =
0a < ⋅a b 0b <
1, 3b a≠ = −
3a b b⋅ = − b ⋅a b
1b ≥ −
⋅a b ( ) ( )3 1 3− × − =
( )y f x= R ( 2)y f x= − (2,0)
( )2(4 )4 0xf f xx − + − <
( 4,1)−
( 2)y f x= − (2,0) ( )y f x=
(0,0) ( )y f x= ( )2(4 )4 0xf f xx − + − <
( )24(4 ) xf f xx − − +<
( 2)y f x= − (2,0)
( )y f x= (0,0) ( )y f x= ( ) ( )f x f x− = −
( )2(4 )4 0xf f xx − + − <
( ) ( )2 2(4 )4 )4(4f xfx f xf x x x− < − − − < − +⇒
( )y f x= R
2 14 4 4x x xx +− < − ⇒ − < <
( 4,1)−
【点睛】
本题考查了奇函数和函数的单调性的应用,遇到解函数值不等式,可通过函数的单调性转
化成自变量的关系.本题属于中等题.
16．已知 时，对任意 ，有 恒成立，则 的取值范围
是_________________.
【答案】
【解析】根据条件的 为方程 的根,化简 为一元函数,再求取值范
围.
【详解】
因为对任意 ，有 恒成立，所以 为方程
的根,即 ,
因为 ,所以 或 ，即 或 .
【点睛】
在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象
研究.
三、解答题
17．已知集合 ， ，其中 .
（1）当 时，求集合 ， ；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
【答案】
【解析】（1）先求集合 B,再根据交集、并集以及补集得定义求结果，（2）先根据条件
化为集合关系，再结合数轴求实数 的取值范围.
【详解】
(1)
当 时， ,
所以
0a > 0x > 2( )( ) 0x a x bx a− + − ≥ a
b
( ) ( ), 1 0,−∞ − +∞
x a= 2 0x bx a+ − = a
b
0x > ( )( )2 0x a x bx a− + − ≥ x a=
2 0x bx a+ − = 2 10, 1 0, 1 , 11 1
a aa ba a a b b a b a a
+ − = + − = = − = = − +− −
0a > 11 a 1, 11 a
− ∴ −
1 01 a
<− 1a
b
< − 0a
b
>
( )( ){ }| 3 1A x y x x= = + − { }2 2| 6 0B x x ax a= − − < 0a ≥
1a = A B∪ ( )RC A B∩
( )RC A B B∩ = a
( ) [ ) ( )1 3,3 ,( ) 1,3RA B C A B∪ = − ∩ = ( )2 0a =
a
( )( ){ } ( )( ){ } [ ]| 3 1 | 3 1 0 3,1A x y x x x x x= = + − = + − ≥ = −
1a = { } { } ( )2 2 2| 6 0 | 6 0 2,3B x x ax a x x x= − − < = − − < = −
[ )3,3 ,A B∪ = −
因为 ,所以
(2)因为 ，所以 ,
当 时, ,满足条件，
,不满足条件，
因此 .
【点睛】
防范空集.在解决有关 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先
考虑 是否成立，以防漏解.
18．已知函数 是定义在 上的奇函数，满足 ，当 时，有
.
（1）求实数 a，b 的值；
（2）求函数 在区间 上的解析式；
（3）求函数 在区间 上的值域.
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）将 代入 即可；
（2）由（1）可知当 时, ,再根据奇函数的性质可得 时,
；
（3）先求出 时, 的值域,再根据奇函数的性质可得 时, 的
值域,以及 ,可得 的值域为 .
【详解】
（1）由题可知, ,解得 ；
（2）由（1）可知当 时, ,
当 时, , .
( ) ( ) ( ), 3 1,RC A = −∞ − ∪ +∞ ( ) ( )1,3RC A B∩ =
( )RC A B B∩ = RB C A⊆
B = ∅ 0a =
{ } ( )2 20 | 6 0 2 ,3a B x x ax a a a> = − − < = −当 时
0a =
,A B A B∩ = ∅ ⊆
∅
( )f x ( 4,4)− (2) 1f = 4 0x− < ≤
( ) 4
ax bf x x
+= +
( )f x (0,4)
( )f x ( 4,4)−
1
0
a
b
=
= ( ) 4
xf x x
= − + R
2,0x = − ( ) 4
ax bf x x
+= +
( 4,0)∈ −x ( ) 4
xf x x
= + (0,4)x∈
( ) ( ) 4
xf x f x x
= − − = − +
(0,4)x∈ ( )f x ( 4,0)∈ −x ( )f x
(0) 0f = ( )f x R
2( 2) 12
(0) 04
a bf
bf
− + − = = −
= =
1
0
a
b
=
=
( 4,0)∈ −x ( ) 4
xf x x
= +
(0,4)x∈ ( 4,0)− ∈ −x ( ) ( ) 4 4
x xf x f x x x
−= − − = − =− + − +
（3） ,
当 时, ,
,
∵ 是奇函数,
∴ 时, ,
又∵ ,
∴ 的值域为 .
【点睛】
本题考查了分式型函数的值域求法,和根据奇偶性求函数的解析式,属于中等题.
19．已知函数 （ ）
（1）求函数 的值域；
（2）若 时，函数 的最小值为 ，求 的值和函数 的最大值.
【答案】（1） （2）
【解析】(1)先设 ,转化为二次函数，再根据二次函数性质求值域，（2）
【详解】
(1)设 ,则 ,
,
即 ,
(2) 设 ,则 ,而 ,
所以当 时, 函数 取最小值，即 ,
因为 ,所以 ,
当 时函数 取最大值，为 .
【点睛】
研究二次函数性质时，要注意对称轴与定义区间位置关系.
20．已知函数 .
4( ) 1 4f x x
= − − −
(0,4)x∈ 4 ( , 1)4x
∈ −∞ −−
4( ) 1 (0, )4f x x
= − − ∈ +∞−
( )f x
( 4,0)∈ −x ( ) ( ,0)f x ∈ −∞
(0) 0f =
( )f x R
( ) (1 )(3 )x xf x a a= − + 1a >
( )f x
[ 2,1]x∈ − ( )f x 5− a ( )f x
( ),3−∞ max
392, 16a y= =
xa t=
xa t= 0t >
( ) ( )( ) ( )221 3 2 3 1 4 1 4 3x xf x a a t t t= − + = − − + = − + + < − + =
( ),3−∞值域为
xa t= 2 ,t a a− ∈ ( ) ( )( ) ( )221 3 2 3 1 4x xf x a a t t t= − + = − − + = − + +
t a= ( )f x 2 2 3 5a a− − + = −
1a > 2a =
2 1
4t a−= = ( )f x 1 1 39316 2 16
− − + =
2 2
2
2 1, 0
( ) 2 , 0
x ax a x
f x
x a xx
− + + ≤= + − >
（1）证明： 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）记函数 的最小值为 ，求 的最大值.
【答案】（1）证明见解析；
（2） 的最大值为 2.
【解析】（1）由定义法,分别设 和 两种不同情况时,计算
的正负即可；
（2）分别计算 在 和 时的最小值,更小的那个即为函数 的最小值,
再分不同情况时将 的函数解析式表示出,画图即可求出 的最大值.
【详解】
（1）设 ,
又∵ ,
∴ .
当 时, ,
∴ .
当 时, ,
∴ .
即 在 上单调递减,在 上单调递增.
（2）由（1）得, 在 时的最小值为 .
由∵当 时,二次函数 的对称轴为 ,
( )f x (0,1) (1, )+∞
( )f x ( )M a ( )M a
( )M a
1 20 1x x< < < 1 21 x x< <
( ) ( )1 2f x f x−
( )f x 0x > 0x ≤ ( )f x
( )M a ( )M a
1 20 x x< <
( ) ( ) 2 2
1 2
1 2
1 2
2 2f xx f x a xx ax
+ − − + − =
−
( ) ( )3 3
1 2 1 2 1 21 2 1 2 2 1
1 2 1 2
22 2 x x x x x xx x x x x x
x x x x
− + − − + − = =
1 20 x x< <
1 2 1 20, 0x x x x> − <
1 20 1x x< < < ( )1 2 1 2 1 2 1 20 1,0 2 2 0x x x x x x x x< < < + < ⇒ + − <
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 2 1 2 1 2
1
1
2
2
1
2 0x x x x x xf x f x f x fx x x
− + − > ⇒ >− =
1 21 x x< < ( )1 2 1 2 1 2 1 21, 2 2 0x x x x x x x x> + > ⇒ + − >
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 2 1 2 1 2
1
1
2
2
1
2 0x x x x x xf x f x f x fx x x
− + − < ⇒ <− =
( )f x (0,1) (1, )+∞
( )f x 0x > ( )1 3f a= −
x∈R 2 22 1y x ax a= − + + x a=
由题意可得, 时, .
∴当 a≥0 时, 在(－∞,0]上递减,故在(－∞,0]上的最小值为
, f(x)在(0,＋∞)上的最小值为 f(1)＝3－a；
∵ ,
∴ .
当 a＜0 时,f(x)在(－∞,0]上的最小值为 f(a)＝1,f(x)在(0,＋∞)上的最小值为 f(1)＝3－a；
∵ ,
∴ .
即 ,
所以 M(a)在(－∞,0)上为常数函数,在(0,1)上是增函数,在(1,＋∞)上是减函数,作出 M(a)的
函数图象如图所示：
所以 M(a)的最大值为 2.
【点睛】
本题考查了求分段函数的单调性和最值,分段函数主要是分情况细致讨论,画图亦可帮助
理解.本题属于中等题.
2 2( ) 2 1f x x ax a= − + + 0x ≤
2( ) ( ) 1f x x a= − +
2(0) 1f a= +
2 1 3a a+ −
0 1a≤ ≤
1 3 a−
0a＜
2 1, 0 1
( ) 1, 0
3 , 1
a a
M a a
a a
+
= <
−
