2019届二轮复习三角函数、解三角形、平面向量学案（全国通用）

2019届二轮复习三角函数、解三角形、平面向量学案（全国通用）

基础回扣(三)　三角函数、解三角形、平面向量 ‎ [要点回扣]‎ ‎1．终边相同的角 α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在的射线上)⇔α＝θ＋2kπ(k∈ )，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等．三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关．‎ ‎[对点专练1]　已知角α的终边经过点P(3，－4)，则sinα＋cosα的值为 ．‎ ‎[答案]　－ ‎2．诱导公式 简记为“奇变偶不变，符号看象限”．‎ ‎[对点专练2]　cos＋tan＋sin21π的值为 ．‎ ‎[答案]　－ ‎3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间 ‎(1)不注意ω的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反；‎ ‎(2)忘掉写＋2kπ，或＋kπ等，忘掉写k∈ ；‎ ‎(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起．如[0,90°]应写为.‎ ‎[对点专练3]　函数y＝sin的递减区间是 ．‎ ‎[答案]　(k∈ )‎ ‎4．三角的恒等变形中常见的拆角、拼角技巧 α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，‎ α＝[(α＋β)＋(α－β)]．‎ α＋＝(α＋β)－，α＝－.‎ ‎[对点专练4]　已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，‎ sin＝，则cos＝ .‎ ‎[答案]　－ ‎5．解三角形 已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍．在△ABC中A>B⇔sinA>sinB.‎ ‎[对点专练5]　在△ABC中，a＝，b＝，A＝60°，则B＝ .‎ ‎[答案]　45°‎ ‎6．向量的平行与垂直 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，则a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0；a⊥b(a≠0)⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎[对点专练6]　下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0.其中正确命题是 ．‎ ‎[答案]　④‎ ‎7．投影 a在b上的投影＝|a|cosa，b＝＝.‎ 投影是一个实数，可以是正数、负数或零．‎ 注意：a，b为锐角⇔a·b>0且a、b不同向；‎ a，b为直角⇔a·b＝0且a、b≠0；‎ a，b为钝角⇔a·b<0且a、b不反向．‎ ‎[对点专练7]　已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b上的投影为 ．‎ ‎[答案]　 ‎8．数量积的运算 当a·b＝0时，不一定得到a⊥b；当a⊥b时，a·b＝0；a·b＝c·b，不能得到a＝c，消去律不成立；(a·b)c与a(b·c)不一定相等，(a·b)c与c平行，而a(b·c)与a平行．‎ ‎[对点专练8]　下列各命题：①若a·b＝0，则a、b中至少有一个为0；②若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；③对任意向量a、b、c，有(a·b)c≠a(b·c)；④对任一向量a，有a2＝|a|2.其中正确命题是 ．‎ ‎[答案]　④‎ ‎[易错盘点]‎ 易错点1　忽视角的范围致误 ‎【例1】　已知sinα＝，sinβ＝，且α，β为锐角，则α＋β＝ .‎ ‎[错解]　∵α、β为锐角，‎ ‎∴cosα＝＝，‎ cosβ＝＝.‎ ‎∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ‎＝×＋×＝.‎ 又0<α＋β<π.‎ ‎∴α＋β＝或α＋β＝π.‎ ‎[错因分析]　错解中没有注意到sinα＝，sinβ＝本身对角的范围的限制，造成错解．‎ ‎[正解]　因为α，β为锐角，‎ 所以cosα＝＝，‎ cosβ＝＝.‎ 所以cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ‎＝×－×＝，‎ 又因为0<α＋β<π，所以α＋β＝.‎ 对三角函数的求值问题，不仅要看已知条件中角的范围，还要挖掘隐含条件，根据三角函数值缩小角的范围；本题中(0，π)中的角和余弦值一一对应，最好在求角时选择计算cos(α＋β)来避免增解．‎ ‎[对点专练1]　‎ ‎(1)已知sinθ＋cosθ＝，则sinθ－cosθ的值为(　　)‎ A.　　　B．－　　　C.　　　D．－ ‎(2)设α为锐角，若sin－α＝，则sin2α＋的值为 ．‎ ‎[解析]　(1)∵sinθ＋cosθ＝，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝，∴sin2θ＝，又0<θ<，∴sinθ0)这个变化的实质是x→x±，所以平移的距离并不是φ.‎ ‎[对点专练2]　‎ ‎(1)把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为(　　)‎ A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ ‎(2)对于函数f(x)＝sin2x＋，‎ ‎①函数图象关于直线x＝－对称；‎ ‎②函数图象关于点，0对称；‎ ‎③函数图象可看作是把y＝sin2x的图象向左平移个单位而得到；‎ ‎④函数图象可看作是把y＝sinx＋的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到．‎ 以上叙述所有正确的是 (填写序号)．‎ ‎[解析]　(1)把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩小到原来的(纵坐标不变)所得函数图象的解析式为y＝sin，再将图象向右平移个单位所得函数图象的解析式为y＝sin＝sin＝－cos2x，即y＝－cos2x，令2x＝kπ，k∈ ，则x＝，k∈ ，即对称轴方程为x＝，k∈ ，故选A.‎ ‎(2)函数f(x)＝sin2x＋的对称轴为2x＋＝kπ＋，k∈ ，解得x＝＋，k∈ .而当x＝－时，k无解，故①错误；函数f(x)＝sin2x＋图象的中心对称点的横坐标为2x＋＝kπ，解得x＝－，k∈ ，当k＝1时，x＝ ‎，所以函数图象关于点，0对称，故②正确；将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位得到的函数图象为y＝sin2x＋＝sin2x＋，故③错误；利用三角函数伸缩性易得④正确，所以正确的有②④.‎ ‎[答案]　(1)A　(2)②④‎ 易错点3　三角形解的个数不清致误 ‎【例3】　在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c且a＝1，c＝.‎ ‎(1)若C＝，求A；‎ ‎(2)若A＝，求b，C.‎ ‎[错解]　(1)在△ABC中，＝，‎ ‎∴sinA＝＝，∴A＝或.‎ ‎(2)由＝得sinC＝＝，‎ ‎∴C＝，由C＝知B＝，‎ ‎∴b＝＝2.‎ ‎[错因分析]　在用正弦定理解三角形时，易出现漏解或多解的错误，如第(1)问中没有考虑c边比a边大，在求得sinA＝＝后，得出角A＝或；在第(2)问中又因为没有考虑角C有两解，由sinC＝ ‎＝，只得出角C＝，所以角B＝，解得b＝2.这样就出现漏解的错误．‎ ‎[正解]　(1)由正弦定理得＝，‎ 即sinA＝＝.‎ 又aAC，∴C>B.∴C＝60°或120°.‎ ‎∴A＝90°或30°.‎ 由△ABC的面积S＝AB·AC·sinA，‎ 得S＝2或.‎ ‎[答案]　(1)C　(2)2或 易错点4　忽视向量共线致误 ‎【例4】　已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a与b的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是 ．‎ ‎[错解]　∵cosθ＝＝ .‎ 因为θ为锐角，有cosθ>0，‎ ‎∴>0⇒2λ＋1>0，‎ 得λ>－，λ的取值范围是.‎ ‎[错因分析]　当向量a，b同向时，θ＝0，cosθ＝1满足cosθ ‎>0，但不是锐角．‎ ‎[正解]　a·b>0，且a与b不共线，‎ 即解得 ‎∴λ的取值范围是.‎ 在解决两向量夹角问题时，一般地，向量a，b为非零向量，a与b的夹角为θ，则①θ为锐角⇔a·b>0且a，b不同向；②θ为直角⇔a·b＝0；③θ为钝角⇔a·b<0且a，b不反向．‎ ‎[对点专练4]　‎ ‎(1)已知向量a，b不共线，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b，则“A，B，C三点共线”是“λ1λ2＝1”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎(2)设两个向量e1，e2，满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为.若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，则实数t的范围为 ．‎ ‎[解析]　(1)依题意，由A，B，C三点共线，可设＝m(m≠0)，则有λ1a＋b＝ma＋mλ2b，又a，b不共线，因此得λ1λ2＝1.反过来，由λ1λ2＝1显然能得出A，B，C三点共线．综上所述，“A，B，C三点共线”是“λ1λ2＝1”的充分必要条件，故选C.‎ ‎(2)(2te1＋7e2)·(e1＋te2)‎ ‎＝2t|e1|2＋(2t2＋7)e1·e2＋7t|e2|2‎ ‎＝2t×4＋2t2＋7＋7t ‎＝2t2＋15t＋7‎ ‎∵向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，‎ ‎∴2t2＋15t＋7<0，得－7

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