高考数学考点46 独立性检验

高考数学考点46 独立性检验

1 统计案例 了解独立性检验（只要求 2×2 列联表）的基本思想、方法及其简单应用，并能解决一些实际问题. 1． 列联表 设 X，Y 为两个变量，它们的取值分别为 和 ，其样本频数列联表( 列联表)如下： 总计 a b a＋b c d c＋d 总计 a＋c b＋d 2．独立性检验 利用随机变量 (也可表示为 ) (其中 为样本容量)来 判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验． 3．独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据列出 列联表； (2)计算随机变量 的观测值 k，查下表确定临界值 k0： (3)如果 ，就推断“X 与 Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过 ；否则，就认为在犯 错误的概率不超过 的前提下不能推断“X 与 Y 有关系”． 【注意】(1)通常认为 时，样本数据就没有充分的证据显示“X 与 Y 有关系”． (2)独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论， 因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对 统计计算的结果作出错误的解释． 2 2 1 2{ }x x, 1 2{ }y y, 2 2 1y 2y 1x 2x a b c d   2K 2 2( ) ( )( )( )( ) n ad bc a b c d a c b d      n a b c d    2 2 2K 2 0( )P K k 0.50 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 0k k  2 0P K k  2 0P K k 2.706k  2 (3)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断． 考向一 两类变量相关性的判断 已知分类变量的数据，判断两类变量的相关性．可依据数据及公式计算 ，然后作出判断． 典例 1 利用独立性检验来考查两个分类变量 和 是否有关系时,通过查阅下表来确定“ 和 有关系”的 可信度.如果 ,那么就有把握认为“ 和 有关系”的百分比为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵k＞5.024，而在观测值表中对应于 5.024 的是 0.025，1﹣0.025=0.975=97.5%， ∴有 97.5%的把握认为“X 和 Y 有关系”. 故选 D． 【名师点睛】本题考查独立性检验的应用，属于基础题，根据所给的观测值，与所给的临界值表中的数据 进行比较，而在观测值表中对应于 5.024 的是 0.025，从而得到结果． 典例 2 有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调査机构对此现象的调查结果： 附表： 则认为多看手机与人冷漠有关系的把握大约为 2K X Y X Y 5.024k  X Y  2P K k 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 K 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.828 25% 75% 2.5% 97.5%  2P K k 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 K 3.84 5.024 6.635 7.879 10.828 3 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得 K2= ≈11.377. ∵11.377＞10.828，∴有 99.9%的把握认为看电视与人变冷漠有关系. 故答案为 A. 【名师点睛】本题主要考查独立性检验，意在考查学生对该知识的掌握水平和解决实际问题的能力.把所给 的数据代入求独立性检验的观测值的公式，求出观测值，把观测值同独立性检验的临界值表进行比较，得 到所求的值大于 10.828，得到有 99.9%的把握认为看电视与人变冷漠有关系． 1．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取 60 名高中生做问卷调查，得到 以下数据： 作文成绩优秀 作文成绩一般 总计 课外阅读量较大 22 10 32 课外阅读量一般 8 20 28 总计 30 30 60 由以上数据，计算得到 的观测值 ，根据临界值表，以下说法正确的是 附： P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.05 0.010 0.005 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 A．在样本数据中没有发现足够证据支持结论“作文成绩优秀与课外阅读量大有关” B．在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关 C．在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关 D．在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下，认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关 考向二 独立性检验与概率统计的综合 独立性检验是一种统计案例，是高考命题的一个热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为中档 99.9% 97.5% 95% 90% 2168 68 38-20 42 88 80 110 58       （ ） 2K 9.643k  4 题，高考中经常是将独立性检验与概率统计相综合进行命题，解题关键是根据独立性检验的一般步骤，作 出判断，再根据概率统计的相关知识求解问题. 典例 3 某中学对高三甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用” 的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的 测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平 均成绩(均取整数)如下表所示： 现规定平均成绩在 80 分以上(不含 80 分)的为优秀. （1）试分别估计两个班级的优秀率; （2）由以上统计数据填写下面 列联表，并问是否有 的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数 学应用题’得分率”有帮助？ 参考公式及数据： ，其中 . 【答案】（1）甲、乙两班的优秀率分别为 和 ；（2）列联表见解析，没有 的把握认为“加强‘语 文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助. 【解析】（1）由题意知，甲、乙两班均有学生 50 人， 甲班优秀人数为 30 人，优秀率为 ， 2 2 75% 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      n a b c d    2 0( )P K k 0.40 0.25 0.15 0.100 0.050 0.025 0.010 0k 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 60% 50% 75% 30 60%50  5 乙班优秀人数为 25 人，优秀率为 ， 所以甲、乙两班的优秀率分别为 和 . （2） 列联表如下： 因为 ， 所以由参考数据知，没有 的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助. 典例 4 为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在 20：00~22：00 时间段的休闲方式与性别 的关系，随机调查了该社区 80 人，得到下面的数据表： （1）根据以上数据，能否有 99%的把握认为“在 20：00~22：00 时间段居民的休闲方式与性别有关系”？ （2）将此样本的频率估计为总体的概率，在该社区的所有男性中随机调查 3 人，设调查的 3 人在这一时间 段以看书为休闲方式的人数为随机变量 ，求 的数学期望和方差. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有 99%的把握认为“在 20：00~22：00 时间段居民的休闲方式与性别有关”；（2） . 【解析】（1）根据样本提供的 2×2 列联表得： . 25 50%50  60% 50% 2 2 2 2 100 (30 25 20 25) 100 1.010 1.32350 50 55 45 99K          75% X X 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      2( )P K k k 5( ) ,2E X  5( ) 12D X  2 2 80 (10 10 10 50) 80 8.889 6.63560 20 20 60 9K          6 所以有 99%的把握认为“在 20：00~22：00 时间段居民的休闲方式与性别有关”. （2）由题意得： ，且 ， 所以 . 【解题必备】本题主要考查独立性检验及其应用、二项分布的期望与方差，考查了分析问题与解决问题的 能力.其中使用统计量 作 2×2 列联表的独立性检验的步骤是： ①检查 2×2 列联表中的数据是否符合要求； ②由公式 计算 的值； ③将 的值与临界值表中的数据进行对比.另外需要注意回归分析也常在高考中出现. 2．高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时， 从中国某城市的高中生中随机抽取了 55 人，从美国某城市的高中生中随机抽取了 45 人进行答题.中国高 中生答题情况是：选择家的占 、朋友聚集的地方占 、个人空间占 .美国高中生答题情况是：朋友 聚集的地方占 、家占 、个人空间占 .如下表： 在家里最幸福 在其他场所幸福 合计 中国高中生 美国高中生 合计 （1）请将 列联表补充完整，试判断能否有 的把握认为“恋家”与否与国别有关； （2）从被调查的不“恋家”的美国学生中，用分层抽样的方法选出 4 人接受进一步调查，再从 4 人中随机 抽取 2 人到中国交流学习，求 2 人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率. 附： ，其中 . 0.050 0.025 0.010 0.001 3.841 5.024 6.635 10.828 5~ (3, )6X B 3 3 1 5( ) C , 0,1,2,36( ) (6)k k kP X k k   5 5( ) 3 ,6 2E X    5 1 5( ) 3 6 6 12D X     2K 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      2K 2K 2 5 3 10 3 10 3 5 1 5 1 5 2 2 95%        2 2 n ad bck a b c d a c b d      n a b c d     2 0P k k 0k 7 1．观察如图所示的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量 x，y 之间有关系的是 A． B． C． D． 2．在研究打酣与患心脏病之间的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“打酣与患心脏病有关”的结论， 并且有 以上的把握认为这个结论是成立的.下列说法中正确的是 A．100 个心脏病患者中至少有 99 人打酣 B．1 个人患心脏病，那么这个人有 99%的概率打酣 C．在 100 个心脏病患者中一定有打酣的人 D．在 100 个心脏病患者中可能一个打酣的人都没有 3．已知两个统计案例如下： ①为了探究患肺炎与吸烟的关系，调查了 名 岁以上的人，调查结果如下表： 患肺炎 未患肺炎 总计 吸烟 43 162 205 不吸烟 13 121 134 总计 56 283 339 ②为了解某地母亲与女儿身高的关系，随机测得 10 对母女的身高如下表： 母亲身高(cm) 159 160 160 163 159 154 159 158 159 157 女儿身高(cm) 158 159 160 161 161 155 162 157 162 156 则对这些数据的处理所应用的统计方法是 A．①回归分析，②取平均值 B．①独立性检验，②回归分析 C．①回归分析，②独立性检验 D．①独立性检验，②取平均值 99% 339 50 8 4．某村庄对该村内 50 名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如表所示： 每年体检 每年未体检 合计 老年人 7 年轻人 6 合计 50 已知抽取的老年人、年轻人各 25 名.则完成上面的列联表数据错误的是 A． B． C． D． 5．为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班 人进行了问卷调查得到了下表： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 女生 合计 参考公式： ，其中 . 临界值表： 根据表中的数据你认为喜爱打篮球与性别之间有关系的把握是 A． B． C． D． 6．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的 A 班和文史类专业的 B 班各抽取 20 名同学 参加环保知识测试．统计得到成绩与专业的列联表： a c b d e f 18a  19b  50c d  1f e  50 25 10 35 5 10 15 30 20 50 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      n a b c d    2 0( )P K k 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 97.5% 99% 99.5% 99.9% 9 优秀 非优秀 总计 A 班 14 6 20 B 班 7 13 20 总计 21 19 40 附：参考公式及数据： (1)统计量： ，其中 . (2)独立性检验的临界值表： P(K2≥k0) 0.050 0.010 k0 3.841 6.635 则下列说法正确的是 A．有 99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关 B．有 99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关 C．有 95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关 D．有 95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关 7．假设有两个分类变量 和 的 列联表为： 总计 总计 对同一样本，以下数据能说明 与 有关系的可能性最大的一组为 A． B． C． D． 参考公式： ，其中 . 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      n a b c d    X Y 2 2 X Y 1y 2y 1x 5 b 5 b 2x 15 d 15 d 20 40 60 X Y 5, 35b d  15, 25b d  20, 20b d  30, 10b d  2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      n a b c d    10 8．某学校为判断高三学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取 50 名学生，得到如下 列联表： 理科 文科 合计 男 13 10 23 女 7 20 27 合计 20 30 50 根 据 表 中 数 据 得 到 ， 已 知 ， ．现作出结论“选修文科与性别相关”，估计这种判断出错的可能性约为 A． B． C． D． 9．某学校为了制定治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施，对全校学生家长进行了 问卷调查.根据从中随机抽取的 50 份调查问卷，得到了如下的列联表： 同意限定区域停车 不同意限定区域停车 合计 男 20 5 25 女 10 15 25 合计 30 20 50 则认为“是否同意限定区域停车与家长的性别有关”的把握约为__________． 附： ，其中 . 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 10．已知下列命题： ①在线性回归模型中，相关指数 表示解释变量 对于预报变量 的贡献率， 越接近于 1，表示回 2 2  2 2 50 13 20 10 7 4.84423 27 20 30K         2 3.841 0.05P K    2 5.024 0.025P K   97.5% 95% 2.5% 5%        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      n a b c d     2 0P K k 0k  2 0P K k 0k 2R x y 2R 11 归效果越好； ②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于 1； ③在回归直线方程 中，当解释变量 每增加一个单位时，预报变量 平均减少 0.5 个单 位； ④对分类变量 与 ，它们的随机变量 的观测值 来说， 越小，“ 与 有关系”的把握程度越 大． 其中正确命题的序号是__________． 11．一则“清华大学要求从 2017 级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了 巨大反响.其实，已有不少高校将游泳列为必修内容.某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解 高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对 100 名高一新生进行了问卷调查，得到如下 列联表: 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 40 女生 30 合计 已知在这 100 人中随机抽取 1 人，抽到喜欢游泳的学生的概率为 . （1）请将上述列联表 补充完整，并判断是否可以在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为喜欢 游泳与性别有关. （2）已知在被调查的学生中有 6 名来自高一(1)班，其中 4 名喜欢游泳，现从这 6 名学生中随机抽取 2 人，求恰有 1 人喜欢游泳的概率. 附： 0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 0.5 2y x     x y  X Y 2K k k X Y 2 2 3 5 2 2        2 2 = n ad bcK a b c d a c b d       2 0P K k 0k 12 12．随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解 共享单车在 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了 200 人进行抽样分析，得到表格：（单位：人） 经常使用 偶尔或不用 合计 30 岁及以下 70 30 100 30 岁以上 60 40 100 合计 130 70 200 （1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用共享单车情况与年龄有 关？ （2）现从所抽取的 30 岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取 5 人. （i）分别求这 5 人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数； （ii）从这 5 人中，再随机选出 2 人赠送一件礼品，求选出的 2 人中至少有 1 人经常使用共享单车的概 率. 参考公式： ，其中 . 参考数据： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 A A        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      n a b c d     2 0P K k 0k 13 13．某省高考改革实施方案指出：该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语 3 门统一高考成绩和学生自 主选择的学业水平等级性考试科目共同构成，该省教育厅为了解正在读高中的学生家长对高考改革方 案所持的赞成态度，随机从中抽取了 100 名城乡家长作为样本进行调查，调查结果显示样本中有 25 人 持不赞成意见，如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图. （1）根据已知条件与等高条形图完成下面的 列联表，并判断我们能否有 95%的把握认为“赞成高 考改革方案与城乡户口有关”？ 注： ，其中 . （2）用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽取 3 个，记这 3 个家长中是城 镇户口的人数为 ，试求 的分布列及数学期望 .        2 2 n ad bcK a b c d a c b d       E X 14 1．(2017 年高考新课标Ⅱ卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽 取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）．其频率分布直方图如下： （1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于 50kg，新养殖法的 箱产量不低于 50kg”，估计 A 的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关； 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）． 附： ， 2．(2018 年高考新课标Ⅲ卷)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种 新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人.第一组 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      15 工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位： min）绘制了如下茎叶图： （1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 ，并将完成生产任务所需时间超过 和不超过 的工人数填入下面的列联表： 超过 不超过 第一种生产方式 第二种生产方式 （3）根据（2）中的列联表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附： ， m m m m m        2 2 n ad bcK a b c d a c b d       2P K k≥ 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16 1．【答案】D 【名师点睛】本题考查卡方含义，考查基本求解能力.根据临界值表，确定犯错误的概率即可. 2．【答案】（1）见解析；（2） . 【解析】（1）由已知得： 在家里最幸福 在其他场所幸福 合计 中国高中生 22 33 55 美国高中生 9 36 45 合计 31 69 100 ∴ ， 【思路点拨】（1）根据题意填写列联表，计算观测值 ，对照临界值表得出结论； （2）用分层抽样方法抽出 4 人，其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有 3 人，在“个人空间”感到幸福的 有 1 人，分别设为 ，再设“含有在‘个人空间’感到幸福的学生”为事件 ，求出基本事件数， 即可求得概率值. #￥网 1 2  2 2 100 22 36 9 33 31 69 55 45K        100 11 3 4.628 3.84131 23     2K 1 2 3, , ,a a a b A 17 1．【答案】D 【解析】在等高条形图中，x1，x2 所占比例相差越大，分类变量 x，y 有关系的把握越大. 故答案为 D 【名师点睛】（1）本题主要考查通过等高条形图判断两个分类变量是否有关系，意在考查学生对该知识 的掌握水平和分析推理能力. （2）在等高条形图中，如果两个分类变量所占的比例差距越大，则说明两个分类变量有关系的把握越大. 2．【答案】D 【解析】利用独立性检验的结论可得：若“打酣与患心脏病有关”的结论，并且有 以上的把握认为这 个结论是成立的，则在 100 个心脏病患者中可能一个打酣的人都没有. 本题选择 D 选项. 【名师点睛】独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯 定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论， 否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释． 3．【答案】B 【解析】常用独立性检验研究两个分类变量之间是否有关系，常用回归分析研究两个具有相关关系的变 量的相关程度，综上可知选 B. 4．【答案】D 【解析】因为 ， 所以 . 故选 D. 【名师点睛】本题考查列联表有关概念，考查基本求解能力.先根据列联表列方程组，解得 a,b,c,d,e,f 再 判断各选项. 5．【答案】A 6．【答案】C 99% 7 25,6 25, 6 ,7 , 50, 50a c b d a e b f c d e f              18, 19, 50, 24, 26, 2a b c d e f f e        18 【解析】因为 ，所以 3.841

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