小学五年级奥数教案：变型鸡兔同笼问题与假设法(讲师版)

小学五年级奥数教案：变型鸡兔同笼问题与假设法(讲师版)

学科培优 数学 变型鸡兔同笼问题与假设法 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 你以前听说过“鸡兔同笼”问题吗？这个问题，是我国古代著名趣题之一。 大约在 1500 年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述 的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话 的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有 35 个头；从下面数， 有 94 只脚。求笼中各有几只鸡和兔？ 古人常用的这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问题采取 直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成 某个已经解决的问题。今天我们将给大家介另外一种求解“鸡兔同笼”问题的经 典思路“假设法”！ 本节课意让在探究中体会解题思想，在策略多样性中体验最优思想，培养学 生多手段、多层面、多角度地探索问题，解决问题的基本方法和一般方法，体验 了解决问题策略的多样性，使学生感受“鸡兔同笼”问题的变式及其在生活中 的广泛的应用，同时体会解题过程中化难为易、化繁为简的思想方法，发展了学 生创新意识，开拓了学生解题思路，发展了学生的个性，使学生在各种数学思想 的渗透中形成良好的数学解题能力。 知识梳理 1.“鸡兔同笼”问题基本解题公式 （1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少： （总脚数-每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔 数； 总头数-兔数=鸡数。 或者是（每只兔脚数×总头数-总脚数）÷（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡 数； 总头数-鸡数=兔数。 （2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用式 （每只鸡脚数×总头数-脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数； 总头数-兔数=鸡数 或（每只兔脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数） =鸡数； 总头数-鸡数=兔数。 （3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。 （每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚数） =兔数； 总头数-兔数=鸡数。 或（每只兔的脚数×总头数-鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+每只兔的脚 数）=鸡数； 总头数-鸡数=兔数。 （4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式： （1 只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合 格品扣分数）=不合格品数。 或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格 品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。 （5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题）， 可用下面的公式： 〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）÷（每只 鸡兔脚数之差）〕÷2=鸡数； 〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）÷（每 只鸡兔脚数之差）〕÷2=兔数。 【授课批注】 用不同方法（同为鸡，同为兔，砍足，增头，图示法等）解决问题，增强学生知识面和拓展 思维。 2.重点难点解析 （1）通过不同的方法研究解决鸡兔同笼问题 （2）对“假设法”的理解和应用，渗透假设的思想方法 3.竞赛考点挖掘 （1） 假设法的应用 （2）理解用假设法解决“鸡兔同笼”问题的的算理 例题精讲 【试题来源】 【题目】 工人运青瓷花瓶 250 个，规定完整运一个到目的地给运费 20 元，损坏一个要倒赔 100 元，运完这批花瓶后，工人共得 4400 元.问共损坏了几个花瓶？ 【答案】5 个 【解析】 假设 250 个能够完整运达目的地。将得运费 250×20=5000（元），与实际所得相差 5000- 4400=600（元）。损坏个数 600÷（100+20）=5（个）。 【知识点】变型鸡兔同笼问题与假设法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】 松鼠妈妈采松果，晴天每天可以采 20 个，雨天每天只能采 12 个.它一连几天采了 112 个松果，平均每天采 14 个.问这几天中有几个雨天？ 【答案】6 天 【解析】 因松鼠妈妈共采松果 112 个，平均每天采 14 个，所以实际用了 112÷14＝8（天）.假设这 8 天全是晴天，松鼠妈妈应采松果 20×8＝160（个），比实际采的多了 160－112＝48（个）， 因雨天比晴天少采 20－12＝8（个），所以共有雨天 48÷8＝6（天）. 【知识点】变型鸡兔同笼问题与假设法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 四年级四班有 60 个学生参加下棋活动老师准备了象棋、跳棋 20 副，2 人下一幅象棋， 6 人下一副跳棋，问象棋和跳棋各多少副？ 【答案】5；15 【解析】 假设 20 副均为象棋，共有 20×2=40（人）在玩，还有 20 人没参加活动。跳棋数 20÷（6- 2）=5（副），象棋数 20-5=15（副）。 【知识点】变型鸡兔同笼问题与假设法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 实验小学四年级举行数学竞赛，一共出了 10 道题目，答对一道得 10 分，答错一题反 扣 5 分（没有不答的情况）。张华得了 70 分，他答对了几道题？ 【答案】8 道 【解析】 假设所有问题全部答对，得分 10×10=100（分），比实际得分多 100-70=30（分），错题数： 30÷（10+5）=2（道），正确题数：10-2-8（道）。 【知识点】变型鸡兔同笼问题与假设法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现在这三种小虫 共 18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀。每种小虫各几只？ 【答案】6 只；7 只 【解析】 因为蜻蜓和蝉都有 6 条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8 条腿”与“6 条腿” 两种。 利用公式就可以算出 8 条腿的蜘蛛数(118－6×18)÷(8－6)＝5(只)。 因此就知道 6 条腿的小虫共 18－5＝13(只)。 也就是蜻蜓和蝉共有 13 只，它们共有 20 对翅膀。 蝉数 (13×2－20)÷(2－1)＝6(只)。 因此蜻蜓数是 13－6＝7(只)。 【知识点】变型鸡兔同笼问题与假设法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 一份稿件,甲单独打字需 6 小时完成.乙单独打字需 10 小时完成,现在甲单独打若干小 时后,因有事由乙接着打完,共用了 7 小时.甲打字用了多少小时？ 【答案】4.5 小时 【解析】 我们把这份稿件平均分成 30 份(30 是 6 和 10 的最小公倍数),甲每小时打 30÷6=5(份),乙 每小时打 30÷10=3(份). 现在把甲打字的时间看成"兔"头数,乙打字的时间看成"鸡"头数,总头数是 7."兔"的脚数是 5,"鸡"的脚数是 3,总脚数是 30,就把问题转化成"鸡兔同笼"问题了. 根据前面的公式 "兔"数=(30-3×7)÷(5-3) =4.5, "鸡"数=7-4.5 =2.5, 也就是甲打字用了 4.5 小时,乙打字用了 2.5 小时. 【知识点】变型鸡兔同笼问题与假设法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 有 50 位同学前往参观,乘电车前往每人 1.2 元,乘小巴前往每人 4 元,乘地下铁路前往 每人 6 元.这些同学共用了车费 110 元,问其中乘小巴的同学有多少位？ 【答案】11 【解析】 由于总钱数 110 元是整数,小巴和地铁票也都是整数,因此乘电车前往的人数一定是 5 的整 数倍. 如果有 30 人乘电车, 110-1.2×30=74(元). 还余下 50-30=20(人)都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了. 如果有 40 人乘电车 110-1.2×40=62(元). 还余下 50-40=10(人)都乘地下铁路前往,钱还有多(62>6×10).说明假设的乘电车人数又多 了.30 至 40 之间,只有 35 是 5 的整数倍. 现在又可以转化成"鸡兔同笼"了: 总头数 50-35=15, 总脚数 110-1.2×35=68. 因此,乘小巴前往的人数是 (6×15-68)÷(6-4)=11. 【知识点】变型鸡兔同笼问题与假设法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】 商店出售大,中,小气球,大球每个 3 元,中球每个 1.5 元,小球每个 1 元.张老师用 120 元共买了 55 个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买几个？ 【答案】买大球 30 个,中球 10 个,小球 15 个 【解析】 因为总钱数是整数,大,小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还是 3 的整 数倍.我们设想买中球,小球钱中各出 3 元.就可买 2 个中球,3 个小球.因此,可以把这两种 球看作一种,每个价钱是 (1.5×2+1×3)÷(2+3)=1.2(元). 从公式可算出,大球个数是 (120-1.2×55)÷(3-1.2)=30(个). 买中,小球钱数各是 (120-30×3)÷2=15(元). 可买 10 个中球,15 个小球. 答:买大球 30 个,中球 10 个,小球 15 个. 【知识点】变型鸡兔同笼问题与假设法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】 使用甲种农药每千克要兑水 20 千克，使用乙种农药每千克要兑水 40 千克．根据农科 院专家的意见，把两种农药混起来用可以提高药效，现有两种农药共 50 千克，要配药 水 1400 千克，那么，其中甲种农药用了多少千克？ 【答案】32.5 千克 【解析】 假设 50 千克都是乙种农药，那么需要兑水 40×50＝2000(千克)．但题目要求配药水 1400 千克， 即实际兑水 1400－50＝1350(千克)．多用了 2000－1350＝650(千克)水，又已知使 用乙种农药每千克兑水需要比使用甲种农药多兑水 40-20＝20(千克)，所以推知，在混合农 药中甲种农药有 650÷20＝32.5(千克)． 【知识点】变型鸡兔同笼问题与假设法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】 某工厂的 27 位师傅带徒弟 40 名，每位师傅可以带一名徒弟、两名徒弟或三名徒弟，如果带 一名徒弟的师傅的人数是其他师傅的人数的两倍，那么带两名徒弟的师傅有几位？ 【答案】5 位 【解析】 带一名徒弟的师傅的人数是：27× =18(位) ；带两名或三名徒弟的师傅有 27-18=9(位)， 他们共带 40-18=22(名)徒弟，如果这 9 位师傅带两名徒弟，他们只能带 18 名徒弟，还有 22-18=4(名)徒弟没人带，所以应有 4 位师傅每人带三名徒弟，带两名师傅有 5 位。 【知识点】变型鸡兔同笼问题与假设法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 某商场为招揽顾客举办购物抽奖.奖金有三种:一等奖 1000 元,二等奖 250 元,三等奖 50 元.共有 100 人中奖,奖金总额为 9500 元.问二等奖有多少名？ 【答案】13 人 【解析】 假设全是三等奖，共有：9500/50=190（人）中奖，比实际多：190-100=90（人） 1000/50=20，也就是说：把 20 个三等奖换成一个一等奖，奖金总额不变，而人数减少了： 20-1=19（人） 250/50=5，也就是说：把 5 个三等奖换成一个二等奖，奖金总额不变，而 人数减少了：5-1=4（人）。 因为多出的是 90 人，而：90=19*2+4*13. 即：要使总人数为 100，只需要把 20*2=40 个三等奖换成 2 个一等奖，把 5*13=65 个三等奖 换成 13 个二等奖就可以了。 所以，二等奖有 13 个人。 【知识点】变型鸡兔同笼问题与假设法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 今年是 1998 年,父母年龄(整数)和是 78 岁,兄弟的年龄和是 17 岁.四年后(2002 年)父 的年龄是弟的年龄的 4 倍,母的年龄是兄的年龄的 3 倍.那么当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时,是公元哪一年？ 【答案】2003 年 【解析】 4 年后,两人年龄和都要加 8.此时兄弟年龄之和是 17+8=25,父母年龄之和是 78+8=86.我们 可以把兄的年龄看作"鸡"头数,弟的年龄看作"兔"头数.25 是"总头数".86 是"总脚数".根 据公式,兄的年龄是 (25×4-86)÷(4-3)=14(岁). 2 3 1998 年,兄年龄是 14-4=10(岁). 父年龄是 (25-14)×4-4=40(岁). 因此,当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时,兄的年龄是 (40-10)÷(3-1)=15(岁),这是 2003 年. 【知识点】变型鸡兔同笼问题与假设法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】 有一辆货车运输 2000 只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只 2 角,如有破 损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿 1 元.结果得到运费 379.6 元,问这次搬运中玻璃 瓶破损了几只 ？ 【答案】17 只 【解析】 如果没有破损,运费应是 400 元.但破损一只要减少 1+0.2=1.2(元).因此破损只数是 (400-379.6)÷(1+0.2)=17(只). 【知识点】变型鸡兔同笼问题与假设法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 从甲地至乙地全长 45 千米,有上坡路,平路,下坡路.李强上坡速度是每小时 3 千米,平 路上速度是每小时 5 千米,下坡速度是每小时 6 千米.从甲地到乙地,李强行走了 10 小 时;从乙地到甲地,李强行走了 11 小时.问从甲地到乙地,各种路段分别是多少千米？ 【答案】从甲地至乙地,上坡 12 千米,平路 15 千米,下坡 18 千米. 【解析】 把来回路程 45×2=90(千米)算作全程.去时上坡,回来是下坡;去时下坡回来时上坡.把上坡 和下坡合并成"一种"路程,根据例 15,平均速度是每小时 4 千米.现在形成一个非常简单的" 鸡兔同笼"问题.头数 10+11=21,总脚数 90,鸡,兔脚数分别是 4 和 5.因此平路所用时间是 (90-4×21)÷(5-4)=6(小时). 单程平路行走时间是 6÷2=3(小时). 从甲地至乙地,上坡和下坡用了 10-3=7(小时)行走路程是 45-5×3=30(千米). 又是一个"鸡兔同笼"问题.从甲地至乙地,上坡行走的时间是 (6×7-30)÷(6-3)=4(小时). 行走路程是 3×4=12(千米). 下坡行走的时间是 7-4=3(小时).行走路程是 6×3=18(千米). 答:从甲地至乙地,上坡 12 千米,平路 15 千米,下坡 18 千米. 【知识点】变型鸡兔同笼问题与假设法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】 某次数学考试考五道题,全班 52 人参加,共做对 181 道题,已知每人至少做对 1 道题,做 对 1 道的有 7 人,5 道全对的有 6 人,做对 2 道和 3 道的人数一样多,那么做对 4 道的人 数有多少人？ 【答案】31 人 【解析】 对 2 道,3 道,4 道题的人共有 52-7-6=39(人). 他们共做对 181-1×7-5×6=144(道). 由于对 2 道和 3 道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对 2.5 道题的人((2+3)÷ 2=2.5).这样 兔脚数=4,鸡脚数=2.5, 总脚数=144,总头数=39. 对 4 道题的有 (144-2.5×39)÷(4-1.5)=31(人). 【知识点】变型鸡兔同笼问题与假设法 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4 习题演练 【试题来源】 【题目】东湖小学六年级举行数学竞赛,共 20 道试题.做对一题得 5 分,没有做一题或做错 一题倒扣 3 分.刘刚得了 60 分,则他做对了几道题？ 【答案】15 【解析】15 【知识点】变型鸡兔同笼问题与假设法 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】自行车进行越野赛。赛程全长 220 千米，全长由每段长 9 米的山路和每段长 14 米 的平路两种组成，整个赛程共有 20 个赛段，求山路共有多少千米？ 【答案】108 【解析】108 【知识点】变型鸡兔同笼问题与假设法 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】2 【试题来源】 【题目】 摩托车赛全程长 281 千米,全程被划分成若干个阶段,每一阶段中,有的是由 一段上坡路(3 千米),一段平路(4 千米),一段下坡路(2 千米)和一段平路(4 千米)组成 的;有的是由一段上坡路(3 千米),一段下坡路(2 千米)和一段平路(4 千米)组成的.已 知摩托车跑完全程后,共跑了 25 段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段？ 【答案】14, 11. 【解析】14,11 【知识点】变型鸡兔同笼问题与假设法 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 大、小猴共 35 只，它们一起云采摘水蜜桃，猴王不在的时候，一只大猴子 一小时可采摘 15 千克，一只小猴子一小时可采摘 11 千克，猴王在场监督的时候，每 只猴子不论大小每小时都以多采摘 12 千克，一天，采摘了 8 小时 ，其中第一小时和 最后一小时有猴王在场监督，结果共采摘 4400 千克水蜜桃，在这个猴群中，共有小猴 子____只。 【答案】20 【解析】20 【知识点】变型鸡兔同笼问题与假设法 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3 【试题来源】 【题目】 春风小学 3 名云参加数学竞赛，共 10 道题，答对一道题得 10 分，答错一道题扣 3 分，这 3 名同学都回答了所有的题，小明得了 87 分，小红得了 74 分，小华得了 9 分，他 们三人一共答对了_____道题。 【答案】20 【解析】20 【知识点】变型鸡兔同笼问题与假设法 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】4 【试题来源】 【题目】有一水池,只打开甲水龙头要 24 分钟注满水池,只打开乙水龙头要 36 分钟才 注满水池.现在先打开甲水龙头几分钟,然后关掉甲,打开乙水龙头把水池注满.已知乙 水龙头比甲水龙头多开 26 分钟.问注满水池总共用了多少分钟？ 【答案】34 【解析】34 【知识点】变型鸡兔同笼问题与假设法 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】5