江西省南昌市第二中学2019-2020学年高二下学期月考数学（文）试题

江西省南昌市第二中学2019-2020学年高二下学期月考数学（文）试题

南昌二中 2019—2020 学年度下学期第二次月考 高二数学(文)试卷 一、选择题(每小题 5 分,共 12 小题,共 60 分) 1．已知全集 ．集合 ， ．则 = A． B． C． D． 2．已知 ， ， ， ，则 A． B． C． D． 3．已知函数 在点 处的切线方程为 ，则 A． B． C． D． 4．若 ，则下列不等式中一定成立的是 A . B. C. D. 5．“ ”是“函数 为奇函数”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件　 D．既不充分也不必要条 件 6．若 ，则 的值为 A． B． C． D． 7．下列命题错误的是 A．“ ”是“ ”的充要条件 B．命题“若 ，则方程 有实根”的逆命题为真命题 C．在 中，若“ ”，则“ ” D．若等比数列 公比为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的充要条件 8．某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是 A．2 B． C．1 D． 1 2 loga m= 1 2 m b  =    1 2c m= a b c< < a c b< < b a c< < b c a< < ( )f x (1, (1))f 2 2 0x y+ − = (1) (1)f f ′+ = 3 2 1 1 2 0 sin sin 0α β> > sin 2 sin 2α β> sin 2 sin 2α β< cos2 cos2α β> cos2 cos2α β< 2=a )21lg()( 2 axxxf −+= cos2 2 2sin( )4 θ πθ = − + 2log (sin cos )θ θ− 1 2 − 1 2 2− 2 2x = 2 4 4 0x x− + = 1 4m ≥ − 2 0x x m+ − = ABC△ A B> sin sinA B> { }na q 1q > { }na 3 7 { }4,3,2,1,0,1−=U { }3,1,1−=A { }4,2=B ( ) ( )BCAC UU { }4,3,2,1,0,1− { }4,3,2,1,1− { }0 φ 1m > 9 ．已知函数 是定义在 R 上的偶函数，当 时， ．则使不等式 成立的 取值范围是 A． B． C． D． 10．函数 在 的图形大致是 A ． B ． C ． D． 11．已知三棱锥 中， ， ， ， ，且平面 平面 ，则该三棱锥的外 接球的表面积为 A． B． C． D． 12．已知函数 ，对于函数 有下述四个结论： ①函数 在其定义域上为增函数； ②对于任意的 ，都有 成立； ③ 有且仅有两个零点； ④若 在点 处的切线也是 的切线，则 必是 零点． 其中所有正确的结论序号是 A. ①②③ B．①② C．②③④ D．②③ 二、填空题(每小题 5 分,共 4 小题,共 20 分) ( )f x 0x ≥ 1( ) ( ) 22 xf x = + 9( 1) 4f x − < x ( , 1) (3, )−∞ − +∞ ( 1,3)− (0,2) ( ,0) (2, )−∞ +∞ 1( ) ( ) cos1 x x ef x xe += ⋅− [ 5,5]− P ABC− 2π 3APB∠ = 3PA PB= = 5AC = 4BC = PAB ⊥ ABC 16π 28π 24π 32π 1( ) 1 x xf x e x += − − ( )f x ( )f x 0a < ( ) 1f a > − ( )f x xy e= 0 0 0( , )( 1)xx e x ≠ lny x= 0x ( )f x 13．已知函数 在 处的导数为-2，则 ________. 14 ． 已 知 函 数 ， 若 存 在 ， R ， 且 ， 使 得 ，则实数 a 的取值范围为 ． 15．在棱长为 的正方体 中， 是棱 的中点， 则平面 截该正方体所得截面面积为 ． 16．已知 ，则 . 三、解答题(共 70 分) 17．(10 分)已知 . （1）化简 ； （2）已知 ，求 的值． 18.(12 分)已知函数 是定义在 上的奇函数，且在 时，有 . （1）求 在 上的解析式； （2）若 ，求实数 的值. 19.(12 分)已知 且 ,命题 函数 在 上为减函数，命题 关于 的不等式 有实数解. （1）如果 为真且 为假,求实数 的取值范围; （2）命题 函数 的值域包含区间 ，若命题 为真 命题，求实数 的取值范围. ( )y f x= 0x x= 0 0 0 ( ) ( )lim x f x x f x x∆ → + ∆ − =∆ 2 , 2( ) 2 5, 2 x ax xf x ax x − + ≤=  − > 1x 2x ∈ 1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= 2 1 1 1 1ABCD A B C D− E 1DD 1A EC sin( ) 3sin( )2( ) 112cos( ) cos(5 )2 f π α π α α π α π α + + − − = − − − ( )f α tan 3α = ( )f α ( )f x ( )1,1− ( 1,0)x∈ − 2( )f x x x= − ( )f x ( )0,1 3( ) 4f x = x 0a > 1a ≠ :P ( ) logaf x x= ( )0, ∞+ :Q x ( )2 2 3 1 0x a x+ − + ≤ P Q∨ P Q∧ a :R ( )2 2 3 1y lg x a x = + − +  [ ]1,3− R a βγα 2sin3)](2sin[ =+ =+− ++ )tan( )tan( γβα γβα 20. (12 分)设函数 . （1）讨论函数 的极值； （2）若函数 在区间 上的最小值是 4，求 的值. 21．(12 分)如图 1，在平行四边形 中， ， ， ， 为 边 的中点，以 为折痕将 折起，使点 到达 的位置，得到图 2 几何体 ． （1）证明： ； （2）当 平面 时，求三棱锥 的体积． 22．(12 分)设函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）若 ，当 ，且 时， ，求 的取值范 围． ( ) 3( )xf x e ax a R= − + ∈ ( )f x ( )f x [1,2] a ABCD 4AD = 2 2AB = 45DAB∠ = ° E AD BE ABE△ A P P EBCD− PD BE⊥ BC ⊥ PEB C PBD− 2( ) ( ) xf x x m e= + ( )f x ( ) 2 1 ( )xg x e nx f x= − − − 1m = 0x ≥ ( ) 0g x ≤ n 高二第二次月考数学(文)试卷参考答案 1．【答案】 C 【解析】∵ 2．【答案】A 【解析】当 时，由对应函数的单调性可知， ， 且 ， ， 排序得 ，故选 A． 3．【答案】D 【解析】切点 在切线 上，∴ ，得 ， 又切线斜率 ，∴ ，故选 D． 4.D 5.A 6．C 【解析】C ，∴ ． 于是， 7．【答案】D 【解析】由 ，∴A 正确； 命题“若 ，则方程 有实根”的逆命题为命题“若方程 有实 根，则 ”， ∵方程 有实根 ，∴B 正确； 在 中，若 (根据正弦定理)，∴C 正确， 故选 D． 8. D 1m > 1 1 2 2 log log 1 0a m= < = 11 1 2 2 1 2 m b    = <       = 2 01 m b  =   >  1 2 1c m= > a b c< < (1, (1))f 2 2 0x y+ − = 1 2 (1) 2 0f+ − = 1(1) 2f = 1(1) 2k f ′= = − (1) (1) 0f f ′+ = 2 2cos2 cos sin 2sin( ) (sin cos )4 2 θ θ θ πθ θ θ −= + + 22(cos sin ) 2 θ θ= − = − 1sin cos 2 θ θ− = 2 2 1log (sin cos ) log 22 θ θ− = = − 2 24 4 0 ( 2) 2 0 2x x x x x− + = ⇔ − ⇔ − = ⇔ = 1 4m ≥ − 2 0x x m+ − = 2 0x x m+ − = 1 4m ≥ − 2 0x x m+ − = 11 4 0 4Δ m m⇒ = + ≥ ⇒ ≥ − ABC△ sin sinA B a b A B> ⇒ > ⇒ > }{ }{ }{ CBCACBCAC UUUU 故选,0)()(4,2,3,1,0,1)(,4,2,0)( =∴−==  9．【答案】A 【解析】∵ ，由 ，得 ， 又∵ 为偶函数，∴ ， 易知 在 上为单调递减，∴ ， ∴ 或 ，即 或 ，故选 A． 10．【答案】A 【解析】易知 ，即函数 是奇函数，图象关于原点对称，排除 D； 在 轴右侧第一个零点为 ， 当 时， ， ， ，∴ ，排除 B； 当 时， ， ， ，且 ，∴ ． 故选 A． (当 时， ． ，排除 C) 11．【答案】B 【解析】在 中，由余弦定理得 ， 又 ，∴ 为直角三角形， ， 又平面 平面 且交于 ， ∴ 平面 ，∴几何体的外接球的球心到平面 的距离为 ， 设 的外接圆半径为 ，则 ，∴ ， 设几何体的外接球半径为 ，则 ， 所求外接球的表面积 ，故选 B． 12．【答案】C 9(2) 4f = 9( 1) 4f x − < ( 1) (2)f x f− < ( )f x (| 1|) (2)f x f− < ( )f x (0, )+∞ | 1| 2x − > 1 2x − > 1 2x − < − 3x > 1x < − ( ) ( )f x f x− = − ( )f x ( )f x y π 2x = π0 2x< < 1 0xe+ > 1 0xe− < cos 0x > ( ) 0f x < 0x +→ 1 2xe+ → 1 0xe− → cos 1x → 1 0xe− < y → −∞ π0 2x< < 1 2cos( ) ( ) cos cos1 1 x x x e xf x x xe e += ⋅ = −− − 2 2 2( cos sin sin ) 2( sin sin )( ) sin sin 0(1 ) (1 ) x x x x x e x e x x e x xf x x xe e + − −′ = + > + >− − PAB△ 3AB = 2 2 2AC AB BC= + ABC△ CB AB⊥ PAB ⊥ ABC AB CB ⊥ PAB PAB 1 22 BC = PAB△ r 32 2 32πsin 3 r = = 3r = R 2 2 22 ( 3) 7R = + = 24π 28πS R= = 【解析】依题意 定义域为 ，且 ， ∴ 在区间 和 上是增函数，①错； ∵当 时，则 ，因此 成立，②对； ∵ 在区间 上单调递增，且 ， ， ∴ ，即 在区间 上有且仅有 个零点． ∵ 在区间 上单调递增，且 ， ， ∴ ，(也可以利用当 时， ， ) 得 在区间 上有且仅有 个零点．因此， 有且仅有两个零点，③对； ∵ 在点 处的切线方程 为 ． 又 也是 的切线，设其切点为 ，则 的斜率 ， 从而直线 的斜率 ，∴ ，即切点为 ， 又点 在 上，∴ ， 即 必是 零点，④对． 13．-2 14．【答案】 15．【答案】 【解析】如图，在正方体 中， ∵平面 平面 ， ∴平面 与平面 的交线必过 且平行于 ， ( )f x ( ,1) (1, )−∞ +∞ 2 2( ) ( 1) xf x e x ′ = + − ( )f x ( ,1)−∞ (1, )+∞ 0a < 2 01 ae a − >− 1 2( ) 1 11 1 a aaf a e ea a += − = − + − > −− − ( )f x ( ,1)−∞ 2 2 1 1 1( 2) 03 3f e e −− = − = − < (0) 2 0f = > ( 2) (0) 0f f− ⋅ < ( )f x ( ,1)−∞ 1 ( )f x (1, )+∞ 5 5 24 45( ) 9 3 3 04f e= − < − < 2(2) 3 0f e= − > 5( ) (2) 04f f⋅ < 1x +→ ( )f x → −∞ 2(2) 3 0f e= − > ( )f x (1, )+∞ 1 ( )f x xy e= 0 0 0( , )( 1)xx e x ≠ l 0 0 0( )x xy e e x x− = − l lny x= 1 1( ,ln )A x x l 1 1k x = l 0 1 1 xk ex = = 0 1 xx e−= 0 0( , )xA e x− − A l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1( ) 0( 1)1 x x x x xx e e e x e xx − +− − = − ⇒ − = ≠− 0x ( )f x 2 6 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1A D DA∥ 1 1B C CB 1A EC 1 1B C CB C 1A E )4,(−∞ 故平面 经过 的中点 ，连接 ，得截面 ， 易知截面 是边长为 的菱形， 其对角线 ， ， 截面面积 ． 16． 2 【解析】 17．（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】（Ⅰ） （Ⅱ） 18.【解析】(1)设 ,则 , ∴ ,由函数是奇函 数 得 , 即 在 上 函 数 的 解 析 式 为 : ; (2)当 时,由 解得 或 (舍); 当 时,由 得无解, 所以当 时,实数 . 19.解析：（1） 或 ， 1A EC 1B B F 1A F 1A ECF 1A ECF 5 2 2EF BD= = 1 2 3AC = 1 1 1 2 2 2 3 2 62 2S AC EF= × = × × = cos 3sin( ) 2sin cosf α αα α α += − + 2− ( ) ( ) cos 3sin cos 3sin( ) 3 2sin cos2cos cos2 f α π α α αα α απ α π α − + += = − + − − −   1 3tan 10( ) 22tan 1 5f αα α += = = −− + − ( )0,1x∈ ( )1,0x− ∈ − ( ) ( ) ( )2 2f x x x x x− = − − − = + ( ) ( ) 2f x f x x x= − − = − − ( )0,1 ( )f x ( ) ( )2 , 0,1f x x x x= − − ∈ ( )1,0x∈ − 2 3 4x x− = 1 2x = − 3 2x = ( )0,1x∈ 2 3 4x x− − = ( ) 3 4f x = 1 2x = − 1 12 a< < 5 2a ≥ 2tan tan),sin(3)sin( 2 1 212121 =∴−=++−=++= θ θθθθθγβαθγβαθ ，则有，令 （2） （1）因为函数 在 上为减函数，所以 真： . 因为关于 的不等式 有实数解， 真： ，解得 或 . 因为 为真且 为假，所以 ， 一真一假. 当 真 假时， . 当 假 真时， . 综上 或 . （2）设 ， 因为函数 的值域包含区间 ， 等价于 ，即 ， ，解得 或 . 故: 20.【解析】（I） . 当 时， ， 在 上单调递增；无极值 当 时， 解得 ，由 解得 .函数 在 上单 调递减，函数 在 上单调递增， 的极小值为 ，无极大值 综上所述：当 时，函数 在 上无极值； 当 时， 的极小值为 ，无极大值 （II）由（I）知，当 时，函数 在 上单调递增， ( ) logaf x x= ( )0, ∞+ P 0 1a< < x ( )2 2 3 1 0x a x+ − + ≤ Q 2(2 3) 4 0a∆ = − − ≥ 5 2a ≥ 10 2a< ≤ P Q∨ P Q∧ P Q P Q 0 1 1 11 5 21 12 2 a a a a < < ⇒ < < < < < < 或 P Q 1 5 5 1 202 2 a a a a > ⇒ ≥ ≥ < ≤ 或 1 12 a< < 5 2a ≥ 2( ) (2 3) 1g x x a= + − + ( )2 2 3 1y lg x a x = + − +  [ ]1,3− min 1( ) 10g x ≤ 24 (2 3) 1 4 10 a− − ≤ 2 18(2 3) 5a − ≥ 15 3 10 10a +≥ 15 3 10 10a −≤ '( ) = −xf x e a 0≤a '( ) 0>f x ( )f x R 0>a '( ) 0>f x ln>x a '( ) 0a ( )f x 0≤a ( )f x R 10 10315 10 103150 +≥−≤< aa 或 10 10315 10 103150 +≥−≤< aa 或 3ln +− aaa 3ln +− aaa ∴函数 在 上的最小值为 ，即 ，矛盾. 当 时，由（I）得 是函数 在 上的极小值点. ○1当 即 时，函数 在 上单调递增， 则函数 的最小值为 ，即 ，符合条件. ②当 即 时，函数 在 上单调递减， 则函数 的最小值为 即 ，矛盾. ③当 即 时，函数 在 上单调递减，函数 在 上 单调递增， 则函数 的最小值为 即 . 令 （ ），则 ，∴ 在 上单调递减， 而 ， ∴ 在 上没有零点，即当 时，方程 无解. 综上，实数 的值为 . 21．【答案】（1）证明见解析；（2） ． 【解析】（1）依题意，在 中（图 1）， ， ， ， 由余弦定理得 ， ∴ ， 即在平行四边形 中， ． 以 为折痕将 折起，由翻折不变性得， 在几何体 中， ， ． 又 ，∴ 平面 ， 又 平面 ，∴ ． （2）∵ 平面 ， 平面 ，∴ ． 由（1）得 ，同理可得 平面 ， 即 平面 ， 就是三棱锥 的高． 又 ， ， ， ， ( )f x [1,2] (1) 3 4= − + =f e a 1 0= − >a e 0>a ln=x a ( )f x R ln 1a ≤ o a e< ≤ ( )f x [1,2] ( )f x (1) 3 4f e a= − + = 1a e= − ln 2a ≥ 2a e≥ ( )f x [1,2] ( )f x 2(2) 2 3 4f e a= − + = 2 21 2 ea e −= < 1 ln 2a< < 2e a e< < ( )f x [1,ln ]a ( )f x [ln ,2]a ( )f x ln(ln ) ln 3 4af a e a a= − + = ln 1 0a a a− − = ( ) ln 1h a a a a= − − 2e a e< < '( ) ln 0h a a= − < ( )h a 2( , )e e ( ) 1h e = − ( )h a 2( , )e e 2e a e< < ln 1 0a a a− − = a 1e − 8 3 ABE△ 2AE = 2 2AB = 45EAB∠ = ° 2 2 2 2 cos45EB AB AE AB AE= + − ⋅ ⋅ ° 28 4 2 2 2 2 42 = + − × × × = 2 2 2AB AE EB= + ABCD EB AD⊥ BE ABE△ P EBCD− EB PE⊥ EB ED⊥ ED PE E= BE ⊥ PED BE ⊂ PEB PD BE⊥ BC ⊥ PEB PE ⊂ PEB BC PE⊥ EB PE⊥ PE ⊥ BCE PE ⊥ BCD PE P CBD− 45DCB DAB∠ = ∠ = ° 4BC AD= = 2 2CD AB= = 2PE AE= = ∴ ， ， 因此，三棱锥 的体积为 ． 22．【答案】（1）见解析；（2） ． 【解析】（1）依题得， 定义域为 ， ， ， 令 ， ， ①若 ，即 ，则 恒成立， 从而 恒成立，当且仅当 ， 时， ， 所以 在 上单调递增； ②若 ，即 ，令 ，得 或 ． 当 时， ； 当 时， ， 综合上述：当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在区间 上单调递减， 在区间 上单调递增． （2）依题意可知： ， 令 ，可得 ， ， 设 ，则 ， 当 时， ， 单调递减， 1 1 2sin 45 4 2 2 42 2 2CBDS BC CD= × × × ° = × × × =△ 1 1 84 23 3 3C PBD P CBD BCDV V S PE− −= = × = × × =△ C PBD− 8 3 [1, )+∞ ( )f x R 2( ) ( 2 ) xf x x x m e′ = + + 0xe > 2( ) 2h x x x m= + + 4 4Δ m= − 0Δ ≤ 1m ≥ ( ) 0h x ≥ ( ) 0f x′ ≥ 1m = 1x = − ( ) 0f x′ = ( )f x R 0Δ > 1m < ( ) 0h x = 1 1x m= − − − 1 1x m= − + − ( 1 1 , 1 1 )x m m∈ − − − − + − ( ) 0f x′ < ( , 1 1 ) ( 1 1 , )x m m∈ −∞ − − − − + − +∞ ( ) 0f x′ > 1m ≥ ( )f x R 1m < ( )f x ( 1 1 , 1 1 )m m− − − − + − ( )f x ( , 1 1 ),( 1 1 , )m m−∞ − − − − + − +∞ 2( ) 2 1 ( ) 1x x xg x e nx f x e x e nx= − − − = − − − 0x = (0) 0g = 2( ) (1 2 ) ( )xg x x x e n x′ = − − − ∈R 2( ) (1 2 ) xh x x x e n= − − − 2( ) ( 4 1) xh x x x e′ = − + + 0x ≥ ( ) 0h x′ < ( )g x′ 故 ， 要使 在 时恒成立，需要 在 上单调递减， 所以需要 ， 即 ，此时 ，故 ， 综上所述， 的取值范围是 ． ( ) (0) 1g x g n′ ′≤ = − ( ) 0g x ≤ 0x ≥ ( )g x [0, )+∞ ( ) 1 0g x n′ ≤ − ≤ 1n ≥ ( ) (0) 0g x g≤ = 1n ≥ n [1, )+∞