【数学】2019届文科一轮复习人教A版6-2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题教案

【数学】2019届文科一轮复习人教A版6-2二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题教案

第二节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．‎ ‎(对应学生用书第80页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 Ax＋By＋C>0‎ 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线 Ax＋By＋C≥0‎ 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 ‎2. 线性规划中的相关概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的不等式(组)‎ 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y)‎ 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 ‎[知识拓展]‎ 确定二元一次不等式表示的平面区域的位置 把二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(＜0)表示为y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式．若y＞kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方，若y＜kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　　)‎ ‎ (2)线性目标函数的最优解可能不唯一．(　　)‎ ‎ (3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　　)‎ ‎ (4)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域．(　　)‎ ‎ [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)不等式组表示的平面区域是(　　)‎ ‎ C　[x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方的平面区域，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C．]‎ ‎3．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为 ‎(　　)‎ ‎ A．0　　　　 B．‎1　‎　　　‎ ‎ C．2　　　　 D．3‎ ‎ D　[根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由z＝x＋y ‎ 得y＝－x＋z.‎ ‎ 作出直线y＝－x，并平移该直线，‎ ‎ 当直线y＝－x＋z过点A时，目标函数取得最大值．‎ ‎ 由图知A(3,0)，‎ ‎ 故zmax＝3＋0＝3.‎ ‎ 故选D．]‎ ‎4．(2016·保定调研)在平面直角坐标系xOy中，若点P(m,1)到直线4x－3y－1＝0的距离为4，且点P(m,1)在不等式2x＋y≥3表示的平面区域内，则m＝__________. 【导学号：79170190】‎ ‎ 6　[由题意得＝4及‎2m＋1≥3，‎ ‎ 解得m＝6.]‎ ‎5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是__________．‎ ‎ 1　[不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，‎ ‎ 由x＝1，x＋y＝0得A(1，－1)，‎ ‎ 由x＝1，x－y－4＝0得B(1，－3)，‎ ‎ 由x＋y＝0，x－y－4＝0得C(2，－2)，‎ ‎ ∴|AB|＝2，∴S△ABC＝×2×1＝1.]‎ ‎(对应学生用书第81页)‎ 二元一次不等式(组)表示的平面区域 ‎　(1)(2016·浙江高考)若平面区域 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是(　　)‎ ‎ A．　　　　 B．　　　　‎ ‎ C．　　　　 D． ‎ (2)(2016·衡水中学调研)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是(　　)‎ ‎ A．a<5 B．a≥7 ‎ ‎ C．5≤a<7 D．a<5或a≥7‎ ‎ (1)B　(2)C　[(1)根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，联立方程组求得A(1,2)，联立方程组求得B(2,1)，可求得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为x－y＋1＝0和x－y－1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为＝，故选B．‎ ‎ (2)如图，当直线y＝a位于直线y＝5和y＝7之间(不含y＝7)时满足条件，故选C．]‎ ‎ [规律方法]　　1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域，若直线不过原点，特殊点常选取原点．‎ ‎ 2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，画出图形后，面积关系结合平面几何知识求解．‎ ‎[变式训练1]　(1)不等式组表示的平面区域的面积为__________. 【导学号：79170191】‎ ‎ (2)(2018·潍坊模拟)已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为3，则实数k的值为________．‎ ‎ (1)4　(2)　[(1)不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．‎ ‎ 由得 ‎ ∴A(0,2)，B(2,0)，C(8，－2)．‎ ‎ 直线x＋2y－4＝0与x轴的交点D的坐标为(4,0)．‎ ‎ 因此S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝×2×2＋×2×2＝4.‎ ‎ (2)直线kx－y＋2＝0恒过点(0,2)，不等式组表示的平面区域如图所示，‎ ‎ 则A(2,2k＋2)，B(2,0)，C(0,2)，由题意知 ‎ ×2×(2k＋2)＝3，解得k＝.]‎ 简单的线性规划问题 角度1　求线性目标函数的最值 ‎　(1)(2017·全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是(　　)‎ ‎ A．－15 B．－9 ‎ ‎ C．1 D．9‎ ‎ (2)(2017·福州质检)已知实数x，y满足且数列4x，z,2y为等差数列，则实数z的最大值是__________. 【导学号：79170192】‎ ‎ (1)A　(2)3　[(1)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．‎ ‎ 将目标函数z＝2x＋y化为y＝－2x＋z，作出直线y＝－2x并平移，当直线y＝－2x＋z经过点A(－6，－3)时，z取最小值，且zmin＝2×(－6)－3＝－15.‎ ‎ 故选A．‎ ‎ (2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以，，(1,1)为顶点的三角形区域(包含边界)，又由题意易得z＝2x＋y，所以当目标函数z＝2x＋y经过平面区域内的点(1,1)时，z＝2x＋y取得最大值zmax＝2×1＋1＝3.]‎ 角度2　求非线性目标函数的最值 ‎　(1)(2016·山东高考)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是 ‎(　　) 【导学号：79170193】‎ ‎ A．4 B．9‎ ‎ C．10 D．12‎ ‎ (2)(2017·湖北七市4月联考)若变量x，y满足约束条件则z＝的取值范围是__________．‎ ‎ (1)C　(2)　[‎ ‎(1)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由得A(3，－1)，由图易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.故选C．‎ ‎ (2)作出不等式组所表示的区域，如图中△ABC所表示的区域(含边界)，‎ ‎ 其中点A(1,1)，B(－1，－1)，C.z＝表示△ABC区域内的点与点M(2,0)的连线的斜率，显然kMA≤z≤kMB，即≤z≤，化简得－1≤z≤.]‎ 角度3　线性规划中的参数问题 ‎　(2016·河北石家庄质检)已知x，y满足约束条件若目标函数z＝y－mx(m>0)的最大值为1，则m的值是(　　)‎ ‎ A．－ B．1 ‎ ‎ C．2 D．5‎ ‎ B　[作出可行域，如图所示的阴影部分．‎ ‎ ∵m>0，∴当z＝y－mx经过点A时，z取最大值，由解得即A(1,2)，∴2－m＝1，解得m＝1.故选B．]‎ ‎ [规律方法]　　1.求目标函数的最值的一般步骤为：一作图、二平移、三求值．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．‎ ‎ 2．常见的目标函数有：‎ ‎ (1)截距型：形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值时常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．‎ ‎ (2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.‎ ‎ (3)斜率型：形如z＝.‎ ‎ 易错警示：注意转化的等价性及几何意义．‎ 线性规划的实际应用 ‎　(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：‎ ‎　　原料 肥料　　‎ A B C 甲 ‎4‎ ‎8‎ ‎3‎ 乙 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎ 现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．‎ ‎ (1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎ (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．‎ ‎ [解]　(1)由已知，x，y满足的数学关系式为 ‎ 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分． 5分 ‎ (2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.‎ ‎ 考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，它的图象是斜率为－，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图②可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大． 7分 ‎ 解方程组得点M的坐标为(20,24)，‎ ‎ 所以zmax＝2×20＋3×24＝112.‎ ‎ 答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润 ‎ 为112万元.12分 ‎ [规律方法]　　1.解线性规划应用题的步骤 ‎ (1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；‎ ‎ (2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；‎ ‎ (3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．‎ ‎ 2．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．‎ ‎[变式训练2]　(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A需要甲材料‎1.5 kg，乙材料‎1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料‎0.5 kg，乙材料‎0.3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料‎150 kg，乙材料‎90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．‎ ‎ 216 000　[设生产产品A为x件，产品B为y件，则 ‎ ‎ 目标函数z＝2 100x＋900y.‎ ‎ 作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)．‎ ‎ 当直线z＝2 100x＋900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．]‎