2020年辽宁省抚顺市中考数学试卷(含解析)

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2020年辽宁省抚顺市中考数学试卷(含解析)

‎2020年辽宁省抚顺市中考数学试卷 一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(3分)(2020•辽阳)﹣2的倒数是(  )‎ A.‎-‎‎1‎‎2‎ B.﹣2 C.‎1‎‎2‎ D.2‎ ‎2.(3分)(2020•辽阳)如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体,它的主视图是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎3.(3分)(2020•辽阳)下列运算正确的是(  )‎ A.m2+2m=3m3 B.m4÷m2=m2 C.m2•m3=m6 D.( m2)3=m5‎ ‎4.(3分)(2020•辽阳)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ 第30页(共30页)‎ ‎5.(3分)(2020•辽阳)某校九年级进行了3次数学模拟考试,甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分,方差分别是s甲2=3.6,s乙2=4.6,s丙2=6.3,s丁2=7.3,则这4名同学3次数学成绩最稳定的是(  )‎ A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 ‎6.(3分)(2020•辽阳)一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放,若∠1=20°,则∠2的度数是(  )‎ A.15° B.20° C.25° D.40°‎ ‎7.(3分)(2020•辽阳)一组数据1,8,8,4,6,4的中位数是(  )‎ A.4 B.5 C.6 D.8‎ ‎8.(3分)(2020•辽阳)随着快递业务的增加,某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具,公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件,平均每人每周比原来多投递80件,若快递公司的快递员人数不变,求原来平均每人每周投递快件多少件?设原来平均每人每周投递快件x件,根据题意可列方程为(  )‎ A.‎3000‎x‎=‎‎4200‎x-80‎ B.‎3000‎x‎+‎80‎=‎‎4200‎x ‎ C.‎4200‎x‎=‎3000‎x-‎80 D.‎‎3000‎x‎=‎‎4200‎x+80‎ ‎9.(3分)(2020•辽阳)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,AC=8.BD=6,点E是CD上一点,连接OE,若OE=CE,则OE的长是(  )‎ A.2 B.‎5‎‎2‎ C.3 D.4‎ ‎10.(3分)(2020•辽阳)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2‎2‎,CD⊥AB于点D.点P从点A出发,沿A→D→C的路径运动,运动到点C停止,过点P作PE⊥AC于点E,作PF⊥BC于点F.设点P运动的路程为x,四边形CEPF的面积为y,则能 第30页(共30页)‎ 反映y与x之间函数关系的图象是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ 二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)‎ ‎11.(3分)(2020•辽阳)截至2020年3月底,我国已建成5G基站198000个,将数据198000用科学记数法表示为   .‎ ‎12.(3分)(2020•辽阳)若一次函数y=2x+2的图象经过点(3,m),则m=   .‎ ‎13.(3分)(2020•辽阳)若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0无实数根,则k的取值范围是   .‎ ‎14.(3分)(2020•辽阳)如图是由全等的小正方形组成的图案,假设可以随意在图中取点,那么这个点取在阴影部分的概率是   .‎ ‎15.(3分)(2020•辽阳)如图,在△ABC中,M,N分别是AB和AC的中点,连接MN,点E是CN的中点,连接ME并延长,交BC的延长线于点D.若BC=4,则CD的长为   .‎ 第30页(共30页)‎ ‎16.(3分)(2020•辽阳)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,分别以点A和B为圆心,以大于‎1‎‎2‎AB的长为半径作弧,两弧相交于点M和N,作直线MN,交AC于点E,连接BE,若CE=3,则BE的长为   .‎ ‎17.(3分)(2020•辽阳)如图,在△ABC中,AB=AC,点A在反比例函数y‎=‎kx(k>0,x>0)的图象上,点B,C在x轴上,OC‎=‎‎1‎‎5‎OB,延长AC交y轴于点D,连接BD,若△BCD的面积等于1,则k的值为   .‎ ‎18.(3分)(2020•辽阳)如图,四边形ABCD是矩形,延长DA到点E,使AE=DA,连接EB,点F1是CD的中点,连接EF1,BF1,得到△EF1B;点F2是CF1的中点,连接EF2,BF2,得到△EF2B;点F3是CF2的中点,连接EF3,BF3,得到△EF3B;…;按照此规律继续进行下去,若矩形ABCD的面积等于2,则△EFnB的面积为   .(用含正整数n的式子表示)‎ 第30页(共30页)‎ 三、解答题(第19题10分,第20题12分,共22分)‎ ‎19.(10分)(2020•辽阳)先化简,再求值:(xx-3‎‎-‎‎1‎‎3-x)‎÷‎x+1‎x‎2‎‎-9‎,其中x‎=‎2‎-‎3.‎ ‎20.(12分)(2020•辽阳)为培养学生的阅读习惯,某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动.为了有效了解学生课外阅读情况,现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间,设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时,将它分为4个等级:A(0≤x<2),B(2≤x<4),C (4≤x<6),D(x≥6),并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图:‎ 请你根据统计图的信息,解决下列问题:‎ ‎(1)本次共调查了   名学生;‎ ‎(2)在扇形统计图中,等级D所对应的扇形的圆心角为   °;‎ ‎(3)请补全条形统计图;‎ ‎(4)在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀,现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员,用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率.‎ 第30页(共30页)‎ 四、解答题(第21题12分,第22题12分,共24分)‎ ‎21.(12分)(2020•辽阳)某校计划为教师购买甲、乙两种词典.已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元,购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元.‎ ‎(1)求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元?‎ ‎(2)学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本,总费用不超过1600元,那么最多可购买甲种词典多少本?‎ ‎22.(12分)(2020•辽阳)如图,我国某海域有A,B两个港口,相距80海里,港口B在港口A的东北方向,点C处有一艘货船,该货船在港口A的北偏西30°方向,在港口B的北偏西75°方向,求货船与港口A之间的距离.(结果保留根号)‎ 五、解答题(满分12分)‎ ‎23.(12分)(2020•辽阳)超市销售某品牌洗手液,进价为每瓶10元.在销售过程中发现,每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间满足一次函数关系(其中10≤x≤15,且x为整数),当每瓶洗手液的售价是12元时,每天销售量为90瓶;当每瓶洗手液的售价是14元时,每天销售量为80瓶.‎ ‎(1)求y与x之间的函数关系式;‎ ‎(2)设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元,当每瓶洗手液的售价定为多少元时,超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大,最大利润是多少元?‎ 六、解答题(满分12分)‎ ‎24.(12分)(2020•辽阳)如图,在平行四边形ABCD中,AC是对角线,∠CAB=90°,以点A为圆心,以AB的长为半径作⊙A,交BC边于点E,交AC于点F,连接DE.‎ ‎(1)求证:DE与⊙A相切;‎ ‎(2)若∠ABC=60°,AB=4,求阴影部分的面积.‎ 第30页(共30页)‎ 七、解答题(满分12分)‎ ‎25.(12分)(2020•辽阳)如图,射线AB和射线CB相交于点B,∠ABC=α(0°<α<180°),且AB=CB.点D是射线CB上的动点(点D不与点C和点B重合),作射线AD,并在射线AD上取一点E,使∠AEC=α,连接CE,BE.‎ ‎(1)如图①,当点D在线段CB上,α=90°时,请直接写出∠AEB的度数;‎ ‎(2)如图②,当点D在线段CB上,α=120°时,请写出线段AE,BE,CE之间的数量关系,并说明理由;‎ ‎(3)当α=120°,tan∠DAB‎=‎‎1‎‎3‎时,请直接写出CEBE的值.‎ 八、解答题(满分14分)‎ ‎26.(14分)(2020•辽阳)如图,抛物线y=ax2﹣2‎3‎x+c(a≠0)过点O(0,0)和A(6,0).点B是抛物线的顶点,点D是x轴下方抛物线上的一点,连接OB,OD.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)如图①,当∠BOD=30°时,求点D的坐标;‎ ‎(3)如图②,在(2)的条件下,抛物线的对称轴交x轴于点C,交线段OD于点E,点F是线段OB上的动点(点F不与点O和点B重合),连接EF,将△BEF沿EF折叠,点B的对应点为点B',△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG,在坐标平面内是否存在一点H,使以点E,F,G,H为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点H的坐标,‎ 第30页(共30页)‎ 若不存在,请说明理由.‎ 第30页(共30页)‎ ‎2020年辽宁省抚顺市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(3分)(2020•辽阳)﹣2的倒数是(  )‎ A.‎-‎‎1‎‎2‎ B.﹣2 C.‎1‎‎2‎ D.2‎ ‎【解答】解:有理数﹣2的倒数是‎-‎‎1‎‎2‎.‎ 故选:A.‎ ‎2.(3分)(2020•辽阳)如图是由一个长方体和一个圆锥组成的几何体,它的主视图是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【解答】解:从正面看,“底座长方体”看到的图形是矩形,“上部圆锥体”看到的图形是等腰三角形,因此选项C的图形符合题意,‎ 故选:C.‎ ‎3.(3分)(2020•辽阳)下列运算正确的是(  )‎ A.m2+2m=3m3 B.m4÷m2=m2 C.m2•m3=m6 D.( m2)3=m5‎ ‎【解答】解:A.m2与2m不是同类项,不能合并,所以A错误;‎ 第30页(共30页)‎ B.m4÷m2=m4﹣2=m2,所以B正确;‎ C.m2•m3=m2+3=m5,所以C错误;‎ D.( m2)3=m6,所以D错误;‎ 故选:B.‎ ‎4.(3分)(2020•辽阳)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【解答】解:A、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意;‎ B、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,故本选项不合题意;‎ C、是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项不合题意;‎ D、既是轴对称图形又是中心对称图形,故本选项符合题意.‎ 故选:D.‎ ‎5.(3分)(2020•辽阳)某校九年级进行了3次数学模拟考试,甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分,方差分别是s甲2=3.6,s乙2=4.6,s丙2=6.3,s丁2=7.3,则这4名同学3次数学成绩最稳定的是(  )‎ A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 ‎【解答】解:∵s甲2=3.6,s乙2=4.6,s丙2=6.3,s丁2=7.3,且平均数相等,‎ ‎∴s甲2<s乙2<s丙2<s丁2,‎ ‎∴这4名同学3次数学成绩最稳定的是甲,‎ 故选:A.‎ ‎6.(3分)(2020•辽阳)一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放,若∠1=20°,则∠2的度数是(  )‎ 第30页(共30页)‎ A.15° B.20° C.25° D.40°‎ ‎【解答】解:∵AB∥CD,‎ ‎∴∠3=∠1=20°,‎ ‎∵三角形是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠2=45°﹣∠3=25°,‎ 故选:C.‎ ‎7.(3分)(2020•辽阳)一组数据1,8,8,4,6,4的中位数是(  )‎ A.4 B.5 C.6 D.8‎ ‎【解答】解:一组数据1,4,4,6,8,8的中位数是‎4+6‎‎2‎‎=‎5,‎ 故选:B.‎ ‎8.(3分)(2020•辽阳)随着快递业务的增加,某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具,公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件,平均每人每周比原来多投递80件,若快递公司的快递员人数不变,求原来平均每人每周投递快件多少件?设原来平均每人每周投递快件x件,根据题意可列方程为(  )‎ A.‎3000‎x‎=‎‎4200‎x-80‎ B.‎3000‎x‎+‎80‎=‎‎4200‎x ‎ C.‎4200‎x‎=‎3000‎x-‎80 D.‎‎3000‎x‎=‎‎4200‎x+80‎ ‎【解答】解:设原来平均每人每周投递快件x件,则现在平均每人每周投递快件(x+80)件,‎ 依题意,得:‎3000‎x‎=‎‎4200‎x+80‎.‎ 故选:D.‎ ‎9.(3分)(2020•辽阳)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,AC=8.BD=6,点E是CD上一点,连接OE,若OE=CE,则OE的长是(  )‎ 第30页(共30页)‎ A.2 B.‎5‎‎2‎ C.3 D.4‎ ‎【解答】解:∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,‎ ‎∴OB‎=‎‎1‎‎2‎BD‎=‎1‎‎2‎×‎6=3,OA=OC‎=‎‎1‎‎2‎AC‎=‎1‎‎2‎×‎8=4,AC⊥BD,‎ 由勾股定理得,BC‎=OB‎2‎+OC‎2‎=‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=‎5,‎ ‎∴AD=5,‎ ‎∵OE=CE,‎ ‎∴∠DCA=∠EOC,‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴∠DCA=∠DAC,‎ ‎∴∠DAC=∠EOC,‎ ‎∴OE∥AD,‎ ‎∵AO=OC,‎ ‎∴OE是△ADC的中位线,‎ ‎∴OE‎=‎‎1‎‎2‎AD=2.5,‎ 故选:B.‎ ‎10.(3分)(2020•辽阳)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2‎2‎,CD⊥AB于点D.点P从点A出发,沿A→D→C的路径运动,运动到点C停止,过点P作PE⊥AC于点E,作PF⊥BC于点F.设点P运动的路程为x,四边形CEPF的面积为y,则能反映y与x之间函数关系的图象是(  )‎ 第30页(共30页)‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2‎2‎,‎ ‎∴AB=4,∠A=45°,‎ ‎∵CD⊥AB于点D,‎ ‎∴AD=BD=2,‎ ‎∵PE⊥AC,PF⊥BC,‎ ‎∴四边形CEPF是矩形,‎ ‎∴CE=PF,PE=CF,‎ ‎∵点P运动的路程为x,‎ ‎∴AP=x,‎ 则AE=PE=x•sin45°‎=‎‎2‎‎2‎x,‎ ‎∴CE=AC﹣AE=2‎2‎‎-‎‎2‎‎2‎x,‎ ‎∵四边形CEPF的面积为y,‎ ‎∴当点P从点A出发,沿A→D路径运动时,‎ 即0<x<2时,‎ y=PE•CE ‎=‎‎2‎‎2‎x(2‎2‎‎-‎‎2‎‎2‎x)‎ ‎=-‎‎1‎‎2‎x2+2x ‎=-‎‎1‎‎2‎‎(x﹣2)2+2,‎ ‎∴当0<x<2时,抛物线开口向下;‎ 当点P沿D→C路径运动时,‎ 即2≤x<4时,‎ 第30页(共30页)‎ ‎∵CD是∠ACB的平分线,‎ ‎∴PE=PF,‎ ‎∴四边形CEPF是正方形,‎ ‎∵AD=2,PD=x﹣2,‎ ‎∴CP=4﹣x,‎ y‎=‎‎1‎‎2‎(4﹣x)2‎=‎‎1‎‎2‎(x﹣4)2.‎ ‎∴当2≤x<4时,抛物线开口向上,‎ 综上所述:能反映y与x之间函数关系的图象是:A.‎ 故选:A.‎ 二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)‎ ‎11.(3分)(2020•辽阳)截至2020年3月底,我国已建成5G基站198000个,将数据198000用科学记数法表示为 1.98×105 .‎ ‎【解答】解:198000=1.98×105,‎ 故答案为:1.98×105.‎ ‎12.(3分)(2020•辽阳)若一次函数y=2x+2的图象经过点(3,m),则m= 8 .‎ ‎【解答】解:∵一次函数y=2x+2的图象经过点(3,m),‎ ‎∴m=2×3+2=8.‎ 故答案为:8.‎ ‎13.(3分)(2020•辽阳)若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k=0无实数根,则k的取值范围是 k<﹣1 .‎ ‎【解答】解:由题意可知:△=4+4k<0,‎ ‎∴k<﹣1,‎ 故答案为:k<﹣1‎ ‎14.(3分)(2020•辽阳)如图是由全等的小正方形组成的图案,假设可以随意在图中取点,那么这个点取在阴影部分的概率是 ‎5‎‎9‎ .‎ 第30页(共30页)‎ ‎【解答】解:设阴影部分的面积是5x,则整个图形的面积是9x,‎ 则这个点取在阴影部分的概率是‎5x‎9x‎=‎‎5‎‎9‎.‎ 故答案为:‎5‎‎9‎.‎ ‎15.(3分)(2020•辽阳)如图,在△ABC中,M,N分别是AB和AC的中点,连接MN,点E是CN的中点,连接ME并延长,交BC的延长线于点D.若BC=4,则CD的长为 2 .‎ ‎【解答】解:∵M,N分别是AB和AC的中点,‎ ‎∴MN是△ABC的中位线,‎ ‎∴MN‎=‎‎1‎‎2‎BC=2,MN∥BC,‎ ‎∴∠NME=∠D,∠MNE=∠DCE,‎ ‎∵点E是CN的中点,‎ ‎∴NE=CE,‎ ‎∴△MNE≌△DCE(AAS),‎ ‎∴CD=MN=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎16.(3分)(2020•辽阳)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,分别以点A和B为圆心,以大于‎1‎‎2‎AB的长为半径作弧,两弧相交于点M和N,作直线MN,交AC于点E,连接BE,若CE=3,则BE的长为 5 .‎ 第30页(共30页)‎ ‎【解答】解:由作图可知,MN垂直平分线段AB,‎ ‎∴AE=EB,‎ 设AE=EB=x,‎ ‎∵EC=3,AC=2BC,‎ ‎∴BC‎=‎‎1‎‎2‎(x+3),‎ 在Rt△BCE中,∵BE2=BC2+EC2,‎ ‎∴x2=32+[‎1‎‎2‎(x+3)]2,‎ 解得,x=5或﹣3(舍弃),‎ ‎∴BE=5,‎ 故答案为5.‎ ‎17.(3分)(2020•辽阳)如图,在△ABC中,AB=AC,点A在反比例函数y‎=‎kx(k>0,x>0)的图象上,点B,C在x轴上,OC‎=‎‎1‎‎5‎OB,延长AC交y轴于点D,连接BD,若△BCD的面积等于1,则k的值为 3 .‎ ‎【解答】解:作AE⊥BC于E,连接OA,‎ ‎∵AB=AC,‎ ‎∴CE=BE,‎ 第30页(共30页)‎ ‎∵OC‎=‎‎1‎‎5‎OB,‎ ‎∴OC‎=‎‎1‎‎2‎CE,‎ ‎∵AE∥OD,‎ ‎∴△COD∽△CEA,‎ ‎∴S‎△CEAS‎△COD‎=‎(CEOC)2=4,‎ ‎∵△BCD的面积等于1,OC‎=‎‎1‎‎5‎OB,‎ ‎∴S△COD‎=‎‎1‎‎4‎S△BCD‎=‎‎1‎‎4‎,‎ ‎∴S△CEA=4‎×‎1‎‎4‎=‎1,‎ ‎∵OC‎=‎‎1‎‎2‎CE,‎ ‎∴S△AOC‎=‎‎1‎‎2‎S△CEA‎=‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴S△AOE‎=‎1‎‎2‎+‎1‎=‎‎3‎‎2‎,‎ ‎∵S△AOE‎=‎‎1‎‎2‎k(k>0),‎ ‎∴k=3,‎ 故答案为3.‎ ‎18.(3分)(2020•辽阳)如图,四边形ABCD是矩形,延长DA到点E,使AE=DA,连接EB,点F1是CD的中点,连接EF1,BF1,得到△EF1B;点F2是CF1的中点,连接EF2,BF2,得到△EF2B;点F3是CF2的中点,连接EF3,BF3,得到△EF3B;…;按照此规律继续进行下去,若矩形ABCD的面积等于2,则△EFnB的面积为 ‎2‎n‎+1‎‎2‎n .(用含正整数n的式子表示)‎ 第30页(共30页)‎ ‎【解答】解:∵AE=DA,点F1是CD的中点,矩形ABCD的面积等于2,‎ ‎∴△EF1D和△EAB的面积都等于1,‎ ‎∵点F2是CF1的中点,‎ ‎∴△EF1F2的面积等于‎1‎‎2‎,‎ 同理可得△EFn﹣1Fn的面积为‎1‎‎2‎n-1‎,‎ ‎∵△BCFn的面积为2‎×‎1‎‎2‎n÷‎2‎=‎‎1‎‎2‎n,‎ ‎∴△EFnB的面积为2+1﹣1‎-‎1‎‎2‎-⋯-‎1‎‎2‎n-1‎-‎1‎‎2‎n=‎2﹣(1‎-‎‎1‎‎2‎n)‎=‎‎2‎n‎+1‎‎2‎n.‎ 故答案为:‎2‎n‎+1‎‎2‎n.‎ 三、解答题(第19题10分,第20题12分,共22分)‎ ‎19.(10分)(2020•辽阳)先化简,再求值:(xx-3‎‎-‎‎1‎‎3-x)‎÷‎x+1‎x‎2‎‎-9‎,其中x‎=‎2‎-‎3.‎ ‎【解答】解:原式=(xx-3‎‎+‎‎1‎x-3‎)•‎‎(x+3)(x-3)‎x+1‎ ‎=‎x+1‎x-3‎‎•‎(x+3)(x-3)‎x+1‎ ‎ ‎=x+3,‎ 当x‎=‎2‎-‎3时,原式‎=‎2‎-‎3+3‎=‎‎2‎.‎ ‎20.(12分)(2020•辽阳)为培养学生的阅读习惯,某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动.为了有效了解学生课外阅读情况,现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间,设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时,将它分为4个等级:A(0≤x<2),B(2≤x<4),C (4≤x<6),D(x≥6),并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图:‎ 第30页(共30页)‎ 请你根据统计图的信息,解决下列问题:‎ ‎(1)本次共调查了 50 名学生;‎ ‎(2)在扇形统计图中,等级D所对应的扇形的圆心角为 108 °;‎ ‎(3)请补全条形统计图;‎ ‎(4)在等级D中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀,现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员,用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率.‎ ‎【解答】解:(1)本次共调查学生‎13‎‎26%‎‎=‎50(名),‎ 故答案为:50;‎ ‎(2)扇形统计图中,等级D所对应的扇形的圆心角为360°‎×‎15‎‎50‎=‎108°,‎ 故答案为:108;‎ ‎(3)C等级人数为50﹣(4+13+15)=18(名),‎ 补全图形如下:‎ 第30页(共30页)‎ ‎(4)画树状图为:‎ 共有12种等可能的结果数,其中恰好同时选中甲、乙两名同学的结果数为2,‎ 所以恰好同时选中甲、乙两名同学的概率‎2‎‎12‎‎=‎‎1‎‎6‎.‎ 四、解答题(第21题12分,第22题12分,共24分)‎ ‎21.(12分)(2020•辽阳)某校计划为教师购买甲、乙两种词典.已知购买1本甲种词典和2本乙种词典共需170元,购买2本甲种词典和3本乙种词典共需290元.‎ ‎(1)求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元?‎ ‎(2)学校计划购买甲种词典和乙种词典共30本,总费用不超过1600元,那么最多可购买甲种词典多少本?‎ ‎【解答】解:(1)设每本甲种词典的价格为x元,每本乙种词典的价格为y元,‎ 依题意,得:x+2y=170‎‎2x+3y=290‎,‎ 解得:x=70‎y=50‎.‎ 答:每本甲种词典的价格为70元,每本乙种词典的价格为50元.‎ ‎(2)设学校购买甲种词典m本,则购买乙种词典(30﹣m)本,‎ 依题意,得:70m+50(30﹣m)≤1600,‎ 解得:m≤5.‎ 第30页(共30页)‎ 答:学校最多可购买甲种词典5本.‎ ‎22.(12分)(2020•辽阳)如图,我国某海域有A,B两个港口,相距80海里,港口B在港口A的东北方向,点C处有一艘货船,该货船在港口A的北偏西30°方向,在港口B的北偏西75°方向,求货船与港口A之间的距离.(结果保留根号)‎ ‎【解答】解:过点A作AD⊥BC于D,如图所示:‎ 由题意得:∠ABC=180°﹣75°﹣45°=60°,‎ ‎∵AD⊥BC,‎ ‎∴∠ADB=∠ADC=90°,‎ 在Rt△ABD中,∠DAB=90°﹣60°=30°,AD=AB•sin∠ABD=80×sin60°=80‎×‎3‎‎2‎=‎40‎3‎,‎ ‎∵∠CAB=30°+45°=75°,‎ ‎∴∠DAC=∠CAB﹣∠DAB=75°﹣30°=45°,‎ ‎∴△ADC是等腰直角三角形,‎ ‎∴AC‎=‎‎2‎AD‎=‎2‎×‎40‎3‎‎=‎40‎6‎(海里).‎ 答:货船与港口A之间的距离是40‎6‎海里.‎ 第30页(共30页)‎ 五、解答题(满分12分)‎ ‎23.(12分)(2020•辽阳)超市销售某品牌洗手液,进价为每瓶10元.在销售过程中发现,每天销售量y(瓶)与每瓶售价x(元)之间满足一次函数关系(其中10≤x≤15,且x为整数),当每瓶洗手液的售价是12元时,每天销售量为90瓶;当每瓶洗手液的售价是14元时,每天销售量为80瓶.‎ ‎(1)求y与x之间的函数关系式;‎ ‎(2)设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w元,当每瓶洗手液的售价定为多少元时,超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大,最大利润是多少元?‎ ‎【解答】解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),根据题意得:‎ ‎12k+b=90‎‎14k+b=80‎‎,‎ 解得:k=-5‎b=150‎,‎ ‎∴y与x之间的函数关系为y=﹣5x+150;‎ ‎(2)根据题意得:w=(x﹣10)(﹣5x+150)=﹣5(x﹣20)2+500,‎ ‎∵a=﹣5<0,‎ ‎∴抛物线开口向下,w有最大值,‎ ‎∴当x<20时,w随着x的增大而增大,‎ ‎∵10≤x≤15且x为整数,‎ ‎∴当x=15时,w有最大值,‎ 即:w=﹣5×(15﹣20)2+500=375,‎ 答:当每瓶洗手液的售价定为15元时,超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大,最大 第30页(共30页)‎ 利润为375元.‎ 六、解答题(满分12分)‎ ‎24.(12分)(2020•辽阳)如图,在平行四边形ABCD中,AC是对角线,∠CAB=90°,以点A为圆心,以AB的长为半径作⊙A,交BC边于点E,交AC于点F,连接DE.‎ ‎(1)求证:DE与⊙A相切;‎ ‎(2)若∠ABC=60°,AB=4,求阴影部分的面积.‎ ‎【解答】(1)证明:连接AE,‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AD=BC,AD∥BC,‎ ‎∴∠DAE=∠AEB,‎ ‎∵AE=AB,‎ ‎∴∠AEB=∠ABC,‎ ‎∴∠DAE=∠ABC,‎ ‎∴△AED≌△BAC(AAS),‎ ‎∴∠DEA=∠CAB,‎ ‎∵∠CAB=90°,‎ ‎∴∠DEA=90°,‎ ‎∴DE⊥AE,‎ ‎∵AE是⊙A的半径,‎ ‎∴DE与⊙A相切;‎ ‎(2)解:∵∠ABC=60°,AB=AE=4,‎ ‎∴△ABE是等边三角形,‎ ‎∴AE=BE,∠EAB=60°,‎ ‎∵∠CAB=90°,‎ 第30页(共30页)‎ ‎∴∠CAE=90°﹣∠EAB=90°﹣60°=30°,∠ACB=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°,‎ ‎∴∠CAE=∠ACB,‎ ‎∴AE=CE,‎ ‎∴CE=BE,‎ ‎∴S△ABC‎=‎‎1‎‎2‎AB•AC‎=‎1‎‎2‎×4×4‎3‎=‎8‎3‎,‎ ‎∴S△ACE‎=‎‎1‎‎2‎S△ABC‎=‎1‎‎2‎×8‎3‎=‎4‎3‎,‎ ‎∵∠CAE=30°,AE=4,‎ ‎∴S扇形AEF‎=‎30π×AE‎2‎‎360‎=‎30π×‎‎4‎‎2‎‎360‎=‎‎4π‎3‎,‎ ‎∴S阴影=S△ACE﹣S扇形AEF=4‎3‎‎-‎‎4π‎3‎.‎ 七、解答题(满分12分)‎ ‎25.(12分)(2020•辽阳)如图,射线AB和射线CB相交于点B,∠ABC=α(0°<α<180°),且AB=CB.点D是射线CB上的动点(点D不与点C和点B重合),作射线AD,并在射线AD上取一点E,使∠AEC=α,连接CE,BE.‎ ‎(1)如图①,当点D在线段CB上,α=90°时,请直接写出∠AEB的度数;‎ ‎(2)如图②,当点D在线段CB上,α=120°时,请写出线段AE,BE,CE之间的数量关系,并说明理由;‎ ‎(3)当α=120°,tan∠DAB‎=‎‎1‎‎3‎时,请直接写出CEBE的值.‎ 第30页(共30页)‎ ‎【解答】解:(1)连接AC,如图①所示:‎ ‎∵α=90°,∠ABC=α,∠AEC=α,‎ ‎∴∠ABC=∠AEC=90°,‎ ‎∴A、B、E、C四点共圆,‎ ‎∴∠BCE=∠BAE,∠CBE=∠CAE,‎ ‎∵∠CAB=∠CAE+∠BAE,‎ ‎∴∠BCE+∠CBE=∠CAB,‎ ‎∵∠ABC=90°,AB=CB,‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形,‎ ‎∴∠CAB=45°,‎ ‎∴∠BCE+∠CBE=45°,‎ ‎∴∠BEC=180°﹣(∠BCE+∠CBE)=180°﹣45°=135°,‎ ‎∴∠AEB=∠BEC﹣∠AEC=135°﹣90°=45°;‎ ‎(2)AE‎=‎‎3‎BE+CE,理由如下:‎ 在AD上截取AF=CE,连接BF,过点B作BH⊥EF于H,如图②所示:‎ ‎∵∠ABC=∠AEC,∠ADB=∠CDE,‎ ‎∴180°﹣∠ABC﹣∠ADB=180°﹣∠AEC﹣∠CDE,‎ ‎∴∠A=∠C,‎ 在△ABF和△CBE中,AF=CE‎∠A=∠CAB=CB,‎ ‎∴△ABF≌△CBE(SAS),‎ ‎∴∠ABF=∠CBE,BF=BE,‎ ‎∴∠ABF+∠FBD=∠CBE+∠FBD,‎ ‎∴∠ABD=∠FBE,‎ 第30页(共30页)‎ ‎∵∠ABC=120°,‎ ‎∴∠FBE=120°,‎ ‎∵BF=BE,‎ ‎∴∠BFE=∠BEF‎=‎1‎‎2‎×‎(180°﹣∠FBE)‎=‎1‎‎2‎×‎(180°﹣120°)=30°,‎ ‎∵BH⊥EF,‎ ‎∴∠BHE=90°,FH=EH,‎ 在Rt△BHE中,BH‎=‎‎1‎‎2‎BE,FH=EH‎=‎‎3‎BH‎=‎‎3‎‎2‎BE,‎ ‎∴EF=2EH=2‎×‎‎3‎‎2‎BE‎=‎‎3‎BE,‎ ‎∵AE=EF+AF,AF=CE,‎ ‎∴AE‎=‎‎3‎BE+CE;‎ ‎(3)分两种情况:‎ ‎①当点D在线段CB上时,‎ 在AD上截取AF=CE,连接BF,过点B作BH⊥EF于H,如图②所示:‎ 由(2)得:FH=EH‎=‎‎3‎‎2‎BE,‎ ‎∵tan∠DAB‎=BHAH=‎‎1‎‎3‎,‎ ‎∴AH=3BH‎=‎‎3‎‎2‎BE,‎ ‎∴CE=AF=AH﹣FH‎=‎‎3‎‎2‎BE‎-‎‎3‎‎2‎BE‎=‎‎3-‎‎3‎‎2‎BE,‎ ‎∴CEBE‎=‎‎3-‎‎3‎‎2‎;‎ ‎②当点D在线段CB的延长线上时,‎ 在射线AD上截取AF=CE,连接BF,过点B作BH⊥EF于H,如图③所示:‎ 同①得:FH=EH‎=‎‎3‎‎2‎BE,AH=3BH‎=‎‎3‎‎2‎BE,‎ ‎∴CE=AF=AH+FH‎=‎‎3‎‎2‎BE‎+‎‎3‎‎2‎BE‎=‎‎3+‎‎3‎‎2‎BE,‎ ‎∴CEBE‎=‎‎3+‎‎3‎‎2‎;‎ 综上所述,当α=120°,tan∠DAB‎=‎‎1‎‎3‎时,CEBE的值为‎3-‎‎3‎‎2‎或‎3+‎‎3‎‎2‎.‎ 第30页(共30页)‎ 八、解答题(满分14分)‎ ‎26.(14分)(2020•辽阳)如图,抛物线y=ax2﹣2‎3‎x+c(a≠0)过点O(0,0)和A(6,0).点B是抛物线的顶点,点D是x轴下方抛物线上的一点,连接OB,OD.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)如图①,当∠BOD=30°时,求点D的坐标;‎ ‎(3)如图②,在(2)的条件下,抛物线的对称轴交x轴于点C,交线段OD于点E,点F是线段OB上的动点(点F不与点O和点B重合),连接EF,将△BEF沿EF折叠,点B的对应点为点B',△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG,在坐标平面内是否存在一点H,使以点E,F,G,H为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点H的坐标,若不存在,请说明理由.‎ 第30页(共30页)‎ ‎【解答】解:(1)把点O(0,0)和A(6,0)代入y=ax2﹣2‎3‎x+c中,‎ 得到c=0‎‎36a-12‎3‎+c=0‎,‎ 解得a=‎‎3‎‎3‎c=0‎,‎ ‎∴抛物线的解析式为y‎=‎‎3‎‎3‎x2﹣2‎3‎x.‎ ‎(2)如图①中,设抛物线的对称轴交x轴于M,与OD交于点N.‎ ‎∵y‎=‎‎3‎‎3‎x2﹣2‎3‎x‎=‎‎3‎‎3‎(x﹣3)2﹣3‎3‎,‎ ‎∴顶点B(3,﹣3‎3‎),M(3,0),‎ ‎∴OM=3.BM=3‎3‎,‎ ‎∴tan∠MOB‎=BMOM=‎‎3‎,‎ ‎∴∠MOB=60°,‎ ‎∵∠BOD=30°,‎ 第30页(共30页)‎ ‎∴∠MON=∠MOB﹣∠BOD=30°,‎ ‎∴MN=OM•tam30°‎=‎‎3‎,‎ ‎∴N(3,‎-‎‎3‎),‎ ‎∴直线ON的解析式为y‎=-‎‎3‎‎3‎x,‎ 由y=-‎3‎‎3‎xy=‎3‎‎3‎x‎2‎-2‎3‎x,解得x=0‎y=0‎或x=5‎y=-‎‎5‎‎3‎‎3‎,‎ ‎∴D(5,‎-‎‎5‎‎3‎‎3‎).‎ ‎(3)如图②﹣1中,当∠EFG=90°时,点H在第一象限,此时G,B′,O重合,由题意OF=BF,可得F(‎3‎‎2‎,‎-‎‎3‎‎3‎‎2‎),E(3,‎-‎‎3‎),利用平移的性质可得H(‎3‎‎2‎,‎3‎‎2‎).‎ 如图②﹣2中,当∠EGF=90°时,点H在对称轴右侧,由题意EF=BF,可得F(2,﹣2‎3‎),利用平移的性质可得H(‎7‎‎2‎,‎-‎‎3‎‎3‎‎2‎).‎ 第30页(共30页)‎ 如图②﹣3中当∠FGE=90°时,点H在对称轴左侧,点B′在对称轴上,由题意EF⊥BE,可得F(1,‎-‎‎3‎),G(‎3‎‎2‎,‎-‎‎3‎‎2‎),利用平移的性质,可得H(‎5‎‎2‎,‎-‎‎3‎‎3‎‎2‎).‎ 综上所述,满足条件的点H的坐标为(‎3‎‎2‎,‎3‎‎2‎)或(‎5‎‎2‎,‎-‎‎3‎‎3‎‎3‎)或(‎7‎‎2‎,‎-‎‎3‎‎3‎‎2‎).‎ 第30页(共30页)‎
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