【数学】2020届一轮复习人教A版第27课三角函数的图象与性质(1)学案（江苏专用）

【数学】2020届一轮复习人教A版第27课三角函数的图象与性质(1)学案（江苏专用）

‎____第27课__三角函数的图象与性质(1)____‎ ‎1. 能描绘y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，并能根据图象理解三角函数的性质(定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、最值、对称性等)．‎ ‎2. 了解三角函数的周期性，理解三角函数y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T＝及y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝.‎ ‎1. 阅读：必修4第24～33页．‎ ‎2. 解悟：①如何理解周期函数？三角函数y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ)、y＝Atan(ωx＋φ)的周期各是多少？②怎样作出三角函数的图象？如何抓住其中的关键之处？③你能根据图象说出三角函数的有关性质吗？④你能领会必修4第30～33页例题的意图吗？体会每个例题的作用．‎ ‎3. 践习：在教材空白处，完成必修4第32页练习第2、3、4、5、7题.‎ ‎　基础诊断　‎ ‎1. 关于正弦函数y＝sinx有下列说法：‎ ‎①图象关于原点对称；‎ ‎②图象关于y轴对称；‎ ‎③关于直线x＝对称；‎ ‎④关于(π，0)对称；‎ ‎⑤在[－2π，2π]上是周期函数；‎ ‎⑥在第一象限是单调增函数．‎ 其中正确的是__①③④__．(填序号)‎ ‎2. 函数y＝2cos2x的单调增区间是，k∈Z．‎ 解析：函数y＝2cos2x＝1＋cos2x，则函数y的增区间为－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，即kπ－≤x≤kπ，k∈Z.‎ ‎3. 函数f(x)＝sin在区间上的最小值为__－__．‎ 解析：因为x∈，所以2x－∈，所以f(x)min＝f(0)＝sin＝－.‎ ‎4. 下列函数中，最小正周期为π的奇函数有__②__．(填序号)‎ ‎①y＝sin；‎ ‎②y＝cos；‎ ‎③y＝sin2x＋cos2x；‎ ‎④y＝sinx＋cosx.‎ 解析：y＝sin＝cos2x为偶函数；y＝cos＝－sin2x为奇函数，且周期为π；‎ y＝sin2x＋cos2x＝sin为非奇非偶函数；y＝sinx＋cosx＝sin为非奇非偶函数．‎ ‎　范例导航　‎ 考向❶ 三角函数的定义域与值域问题 例1　(1) 求下列函数的定义域：‎ ‎①y＝lg；‎ ‎②y＝.‎ ‎(2) 求下列函数的值域：‎ ‎①y＝1－2sinx，x∈；‎ ‎②y＝.‎ ‎【点评】 结合函数图象或单位圆考察函数的定义域，可以数形结合，降低思维难度．‎ 解析：(1) ①由＋2cosx>0得cosx>－，‎ 所以x∈，k∈Z.‎ ‎②由tanx－≥0，得x∈[kπ＋，kπ＋)，k∈Z.‎ ‎(2) ①因为x∈，所以sinx∈，‎ 所以－2sinx∈[－2，－1]，所以y∈[－1，0]．‎ ‎②方法一： y＝＝＝－＋，　‎ 因为sinx∈∪，所以－4sinx∈[－4，－2)∪(－2，4]，所以2－4sinx∈[－2，0)∪(0，6]．‎ 所以y∈(－∞，－3]∪.‎ 方法二：y＝，则sinx＝，所以－1≤<或<≤1，‎ 所以y∈(－∞，－3]∪.‎ ‎【注】 有关三角函数的定义域、值域问题的求解，处理方法与其他函数大体相同，要注意的是三角函数自身有定义域和值域的限定．如： tanx，x≠kπ＋，k∈Z；|sinx|≤1，|cosx|≤1.单位圆是处理求角、求值问题的有力的工具，要熟练掌握．‎ 当00)的最小正周期为π.‎ ‎(1) 求ω的值；‎ ‎(2) 求函数f(x)的单调增区间．‎ 解析：(1) 因为f(x)＝2sinωx·cosωx＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin，所以f(x)的最小正周期T＝＝. 由题设知＝π，解得ω＝1.‎ ‎(2) 由(1)知f(x)＝sin，函数y＝sinx的单调增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)．由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．‎ 考向❸ 三角函数的性质及三角求值的综合应用 ‎　　例3　已知函数f(x)＝sin.‎ ‎(1) 求函数f(x)的单调增区间；‎ ‎(2) 若α是第二象限角，f＝cos(α＋)·cos2α，求cosα－sinα.‎ 解析：(1) 由2kπ－≤3x＋≤2kπ＋，k∈Z得－≤x≤＋，k∈Z，‎ 所以函数f(x)的单调增区间为[－，＋]，k∈Z.‎ ‎(2) f＝sin＝cos(α＋)(cos2α－sin2α)，‎ 即(sinα＋cosα)＝·(sinα－cosα)2(sinα＋cosα)．‎ 当sinα＋cosα＝0时，α是第二象限角，则α＝2kπ＋，k∈Z，‎ 此时cosα－sinα＝－；‎ 当sinα＋cosα≠0时，(cosα－sinα)2＝.‎ 因为α是第二象限角，‎ 所以cosα－sinα＝－.‎ 综上可得，cosα－sinα＝－或－.‎ ‎【注】 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间是从ωx＋φ到x的运算，就是求x 的范围使得ωx＋φ在y＝Asin(ωx＋φ)能够单调．‎ ‎　自测反馈　‎ ‎1. 已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在上单调递增，则ω的取值范围是____．‎ 解析：因为函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在上单调递增，所以0·ω≥2kπ－且≤2kπ＋，k∈Z.因为ω>0，所以当k＝0时可得0<ω≤.‎ ‎2. 设函数f(x)＝A＋Bsinx，当B<0时，f(x)的最大值是，最小值是－，则A＋B＝__－__．‎ 解析：由题意得所以A＝，B＝－1，所以A＋B＝－.‎ ‎3. 若关于x的方程sin＝k在[0，π]上有两解，则实数k的取值范围是____．‎ 解析：因为x∈[0，π]，所以x＋∈，所以sin∈，所以sin∈[－1，]，因为sin＝k在[0，π]上有两解，所以k∈[1，)．‎ ‎4. 已知函数f(x)＝sin，若y＝f(x－φ)(0<φ<)是偶函数，则φ的值为____．‎ 解析：因为f(x)＝sin，所以y＝f(x－φ)＝sin＝sin.因为y＝f(x－φ)是偶函数，所以－2φ＋＝kπ＋，k∈Z，所以φ＝－－，k∈Z，因为0<φ<，所以φ＝.‎ ‎1. 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式，常借助三角函数图象来求解．‎ ‎2. 三角函数求值域时要熟悉几种常见形式，主要有：①形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式；②含sinx，cosx，tanx的复合函数形式；③整体思想求解含sinx±cosx，sinxcosx形式，比如求函数y＝sinx＋cosx＋sinxcosx的值域．‎ ‎3. 对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)，可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．‎ ‎4. 你还有哪些体悟，写下来：‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎