高中数学选修2-2课件2_3

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2.3 数学归纳法 问题 引航 1. 数学归纳法的概念是什么 ? 适用范围是什么 ? 2. 数学归纳法的证题步骤是什么 ? 1. 数学归纳法 证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步，归纳奠基：证明当 n 取 __________________ 时命题成立 . 第二步，归纳递推：假设 _________________ 时命题成立，证 明当 ______ 时命题也成立 . 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n 0 开始的所有正整数 n 都成立 . 上述证明方法叫做数学归纳法 . 第一个值 n 0 (n 0 ∈N * ) n=k(k≥n 0 ， k∈N * ) n=k+1 2. 数学归纳法的框图表示 n=k(k≥n 0 ) n=k+1 1. 判一判 ( 正确的打 “ √ ” ，错误的打 “ × ” ) (1) 与正整数 n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法 .( 　　 ) (2) 数学归纳法的第一步 n 0 的初始值一定为 1.( 　　 ) (3) 数学归纳法的两个步骤缺一不可 .( 　　 ) 【 解析 】 (1) 错误 . 数学归纳法只能证明与正整数 n 有关的数学命题，但与 n 有关的数学命题不一定只用数学归纳法来证明 . (2) 错误 . 数学归纳法的第一步 n 0 不一定为 1 ，要视具体情况而定 . (3) 正确 . 根据数学归纳法的定义可知，两个步骤缺一不可 . 答案： (1)× 　 (2)× 　 (3)√ 2. 做一做 ( 请把正确的答案写在横线上 ) (1) 用数学归纳法证明 “ 2 n >n 2 +1 对于 n≥n 0 的正整数 n 都成立 ” 时，第一步证明中的初始值 n 0 应取 __________. (2) 定义一种运算 “ * ” ，对于正整数 n ，满足以下运算性质：① 1*1=2 ；② (n+1)*1=3(n*1) ，则 n*1 的运算结果用含 n 的代数式表示为 __________. (3) 设 S k = ，则 S k +1 =________.( 用含 S k 的代数式表示 ) 【 解析 】 (1) 当 n=1 时，左 = 右，当 n=2 ， 3 ， 4 时，左 < 右，当 n=5 时，左 =32 ，右 =26 ，左 > 右，故初始值应取 5. 答案： 5 (2) 根据题意， 1*1=2=2×3 0 ，进而可得 2*1=3(1*1)=2×3= 2×3 1 ， 3*1=3(2*1)=3×2×3=2×3 2 . … n*1=3[(n-1)*1]=2×3 n-1 . 答案： 2×3 n-1 (3)S k +1 = 答案： 【 要点探究 】 知识点 　数学归纳法 1. 数学归纳法的实质 数学归纳法是一种以数字归纳原理为根据的演绎推理，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程 . 所以它是证明有关正整数问题的有力工具 . 2. 数学归纳法两个步骤的联系 第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可，只完成第一步而缺少第二步就作出判断，可能得出不正确的结论 . 因为单靠第一步，无法递推下去，即 n 取 n 0 以后的数时命题是否正确，我们无法判定，同样只有第二步而缺少第一步时，也可能得出不正确的结论，缺少第一步这个基础，假设就失去了成立的前提，第二步也就没有意义了 . 【 知识拓展 】 数学归纳法证题的口诀 数归证题真是妙， 递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉 . 【 微思考 】 (1) 用数学归纳法证明不等式时是否通常与直接证明的方法同时使用 ? 提示： 是 . 尤其是证明 n=k+1 这一步时，会经常使用分析、综合、放缩等方法 . (2) 与正整数 n 无关的数学命题能否应用数学归纳法 ? 提示： 不能 . 数学归纳法是证明与正整数 n 有关的数学命题的一种方法 . 【 即时练 】 1.(2014 · 西安高二检测 ) 下面四个判断中，正确的是 ( 　　 ) A. 式子 1+k+k 2 + … +k n (n∈N * ) 中，当 n=1 时，式子的值为 1 B. 式子 1+k+k 2 + … +k n-1 (n∈N * ) 中，当 n=1 时，式子的值为 1+k C. 式子 (n∈N * ) 中，当 n=1 时，式子的值为 D. 设 f(x)= (n∈N * ) ，则 f(k+1)=f(k)+ 2. 用数学归纳法证明 1+2+2 2 + … +2 n+1 =2 n+2 -1(n∈N * ) 的过程中，在验证 n=1 时，左端计算所得的项为 ( 　　 ) A.1 B.1+2 C.1+2+2 2 D.1+2+2 2 +2 3 【 解析 】 1. 选 C.A 错， n=1 时，式子的值为 1+k ； B 错， n=1 时，式子值为 k 0 =1 ； C 正确， D 错， f(k+1)= 2. 选 C.n=1 时，左边 =1+2+2 1+1 =1+2+2 2 . 【 题型示范 】 类型一 　用数学归纳法证明等式 【 典例 1】 (1)(2014 · 合肥高二检测 ) 用数学归纳法证明 (n+1) · (n+2) ·…· (n+n)=2 n ×1×3× … ×(2n-1)(n∈N * ) ， “ 从 k 到 k+1 ” 左端增乘的代数式为 __________. (2) 用数学归纳法证明： (n∈N * ). 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中 n=k+1 时左端的代数式是什么 ? 2. 题 (2) 中由 n=k 到 n=k+1 等式左边增加了什么项 ? 【 探究提示 】 1. 当 n=k+1 时，左端代数式为 (k+2) · (k+3) · …· (k+k) · (2k+1) · (2k+2). 2. 左边增加了 【 自主解答 】 (1) 令 f(n)=(n+1)(n+2) … (n+n) ，则 f(k)=(k+1)(k+2) … (k+k) ， f(k+1)=(k+2)(k+3) … (k+k)(2k+1)(2k+2) ，所以 =2(2k+1). 答案： 2(2k+1) (2) 证明如下：当 n=1 时，左边 = ，右边 = ，所以等式成立 . 假设 n=k(k≥1 ， k∈N * ) 时命题成立，即 = 成立，那么 n=k+1 时， 即 n=k+1 时，等式也成立 . 综上所述，对于任何 n∈N * ，等式都成立 . 【 延伸探究 】 题 (1) 中 n=1 时，左边的值为 _______. 【 解析 】 当 n=1 时，左边 =(1+1)=2. 答案： 2 【 方法技巧 】 数学归纳法证题的三个关键点 (1) 验证是基础 . 数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数 n 0 (n 0 ≥1 ， n∈N * ) ，这个 n 0 ，就是我们要证明的命题对象对应的最小正整数，这个正整数并不一定都是 “ 1 ” ，因此 “ 找准起点，奠基要稳 ” 是第一个关键点 . (2) 递推是关键 . 数学归纳法的实质在于递推，所以从 “ k ” 到 “ k+1 ” 的过程中，要正确分析式子项数的变化 . 关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由 n=k 到 n=k+1 时，等式的两边会增加多少项 . 增加怎样的项 . (3) 利用假设是核心 . 在第二步证明 n=k+1 成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设 “ n=k 时命题成立 ” 作为条件来导出 “ n=k+1 ” ，在书写 f(k+1) 时，一定要把包含 f(k) 的式子写出来，尤其是 f(k) 中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法 . 【 变式训练 】 用数学归纳法证明： (n≥2 ， n∈N * ). 【 证明 】 (1) 当 n=2 时，左边 =1- ，右边 = 所以左边 = 右边 . (2) 假设 n=k(k≥2 ， k∈N * ) 时结论成立，即 那么 n=k+1 时， 即 n=k+1 时等式也成立 . 综合 (1)(2) 知，对任意 n≥2 ， n∈N * 等式恒成立 . 【 补偿训练 】 用数学归纳法证明： 【 证明 】 (1) 当 n=1 时，等式左边 = 等式右边 = 等式左边 = 等式右边，所以等式成立 . (2) 假设 n=k(k∈N * ，且 k≥1) 时等式成立，即有 则当 n=k+1 时， 所以当 n=k+1 时，等式也成立， 由 (1) ， (2) 可知，对于一切 n∈N * ，等式都成立 . 类型二 利用数学归纳法证明不等式 【 典例 2】 (1) 用数学归纳法证明不等式 (n≥2 ， n∈N * ) 的过程中，由 n=k 推导 n=k+1 时，不等式的左边增加的式子是 _______. (2) 用数学归纳法证明：对一切大于 1 的正整数，不等式 均成立 . 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中 n=k+1 时左边的代数式是什么？ 2. 题 (2) 中由 n=k 到 n=k+1 推导过程中常用的方法和技巧是什么？应该注意什么问题？ 【 探究提示 】 1. 当 n=k+1 时左边的代数式是 2. 利用放缩法 . 在利用放缩法时，注意把握放缩的 “ 度 ” . 【 自主解答 】 (1) 当 n=k+1 时左边的代数式是 增加了两项， ，但是少了一项 故不等式的左边增加的式子是 故填 答案： (2)① 当 n=2 时，左边 = ；右边 = 因为左边 > 右边，所以不等式成立 . ② 假设 n=k(k≥2 ，且 k∈N * ) 时不等式成立， 即 则当 n=k+1 时， 所以当 n=k+1 时，不等式也成立 . 由①②知，对于一切大于 1 的正整数 n ，不等式都成立 . 【 延伸探究 】 试用数学归纳法证明 (1) 中的不等式 . 【 证明 】 ① 当 n=2 时， ②假设当 n=k(k≥2 且 k∈N * ) 时不等式成立， 即 那么当 n=k+1 时， 这就是说，当 n=k+1 时，不等式也成立 . 由①②可知，原不等式对任意大于 1 的正整数都成立 . 【 方法技巧 】 用数学归纳法证明不等式的四个关键 (1) 验证第一个 n 的值时，要注意 n 0 不一定为 1 ，若 n>k(k 为正整数 ) ，则 n 0 =k+1. (2) 证明不等式的第二步中，从 n=k 到 n=k+1 的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设 . (3) 用数学归纳法证明与 n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对 n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个 n 值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明 . (4) 用数学归纳法证明不等式的关键是由 n=k 时成立得 n=k+1 时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等 . 【 变式训练 】 用数学归纳法证明： (n∈N * ). 【 证明 】 ① 当 n=1 时，左边 =1 ，右边 =1 ，左边≥右边，结论成立； ②假设 n=k(k∈N * ) 时，不等式成立， 即 当 n=k+1 时， 下面证： 作差得 = ＞ 0 ， 得结论成立， 即当 n=k+1 时，不等式也成立 . 由①和②知，不等式对一切 n∈N * 都成立 . 【 补偿训练 】 已知函数 f(x)=ax- x 2 的最大值不大于 ，又当 x∈[ ] 时， f(x)≥ (1) 求 a 的值 . (2) 设 0a 2k-1 ，求 c 的取值范围 . 【 解题探究 】 1. 题 (1) 中怎样计算 a 2 ， a 3 ， a 4 的值，猜想 a n 的依据是什么？ 2. 题 (2)① 中怎样处理 a n+1 中的 c ，用数学归纳法证明的关键是什么？②中对恒成立问题怎样处理？ 【 探究提示 】 1. 利用 a n 与 S n 之间的关系将条件转化为 a n+1 与 a n 的关系，求 a 2 ， a 3 ， a 4 ，猜想的依据是归纳推理 . 2.① 中将 c 视为常数，利用数学归纳法的关键是用上归纳假设 .② 中将恒成立问题转化为函数问题解决 . 【 自主解答 】 (1) 选 B. 由 S n =n 2 a n 知 S n+1 =(n+1) 2 a n+1 ， 所以 S n+1 -S n =(n+1) 2 a n+1 -n 2 a n ， 所以 a n+1 =(n+1) 2 a n+1 -n 2 a n ， 所以 a n+1 = a n (n≥2). 当 n=2 时， S 2 =4a 2 ，又 S 2 =a 1 +a 2 ， 所以 a 2 = a 1 = ， a 3 = a 2 = ， a 4 = a 3 = 由 a 1 =1= ， a 2 = ， a 3 = ， a 4 = ，猜想 (2)① 由 a 1 =1 ， a 2 =ca 1 +c 2 · 3=3c 2 +c=(2 2 -1)c 2 +c ， a 3 =ca 2 +c 3 · 5=8c 3 +c 2 =(3 2 -1)c 3 +c 2 ， a 4 =ca 3 +c 4 · 7=15c 4 +c 3 =(4 2 -1)c 4 +c 3 ， 猜想 a n =(n 2 -1)c n +c n-1 ， n∈N * . 下面用数学归纳法证明： (i) 当 n=1 时，等式成立 . (ii) 假设当 n=k(k≥1 ， k∈N * ) 时，等式成立，即 a k =(k 2 -1)c k +c k-1 ， 则当 n=k+1 时， a k +1 =ca k +c k+1 (2k+1) =c[(k 2 -1)c k +c k-1 ]+c k+1 (2k+1) =(k 2 +2k)c k+1 +c k =[(k+1) 2 -1]c k+1 +c (k+1)-1 ， 即当 n=k+1 时，等式也成立 . 由 (i) ， (ii) 可知， a n =(n 2 -1)c n +c n-1 对任意 n∈N * 都成立 . ② 由 a 2 k >a 2 k-1 ，得 [(2k) 2 -1]c 2k +c 2k-1 >[(2k-1) 2 -1] · c 2k-1 +c 2k-2 . 因为 c 2k-2 >0 ，所以 4(c 2 -c)k 2 +4ck-c 2 +c-1>0 对 k∈N * 恒成立 . 记 f(x)=4(c 2 -c)x 2 +4cx-c 2 +c-1 ，下面分三种情况讨论 . (i) 当 c 2 -c=0 ，即 c=0( 舍去 ) 或 c=1 时，代入验证可知 c=1 满足要求 . (ii) 当 c 2 -c<0 时，抛物线 y=f(x) 开口向下，因此当正整数 k 充分大时， f(k)<0 ，不符合题意，此时无解 . (iii) 当 c 2 -c>0 ，即 c<0 或 c>1 时，抛物线 y=f(x) 开口向上，其对称轴 x= 必在直线 x=1 的左边，因此， f(x) 在［ 1 ， +∞) 上是增函数 . 所以要使 f(k)>0 对 k∈N * 恒成立，只需 f(1)>0 即可 . 由 f(1)=3c 2 +c-1>0 ，解得 或 结合 c<0 或 c>1 得 或 c>1. 综合以上三种情况， c 的取值范围为（ -∞ ， ）∪［ 1 ， +∞). 【 方法技巧 】 1. “ 归纳 — 猜想 — 证明 ” 的一般环节 2. “ 归纳 — 猜想 — 证明 ” 的主要题型 (1) 已知数列的递推公式，求通项或前 n 项和 . (2) 由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在 . (3) 给出一些简单的命题 (n=1 ， 2 ， 3 ， … ) ，猜想并证明对任意正整数 n 都成立的一般性命题 . 【 变式训练 】 (2014 · 厦门高二检测 ) 已知函数 y=f(n)(n∈N * ) ，设 f(1)=2 ，且任意的 n 1 ， n 2 ∈N * ，有 f(n 1 +n 2 )=f(n 1 ) · f(n 2 ). (1) 求 f(2) ， f(3) ， f(4) 的值 . (2) 试猜想 f(n) 的解析式，并用数学归纳法给出证明 . 【 解析 】 (1) 因为 f(1)=2 ， f(n 1 +n 2 )=f(n 1 ) · f(n 2 ) ， 所以 f(2)=f(1+1)=f(1) · f(1)=2 2 =4 ， f(3)=f(2+1)=f(2) · f(1)=2 2 · 2=2 3 =8. f(4)=f(3+1)=f(3) · f(1)=2 3 · 2=2 4 =16. (2) 猜想： f(n)=2 n (n∈N * ). 用数学归纳法证明如下： ①当 n=1 时， f(1)=2 1 =2 ，所以猜想正确 . ② 假设当 n=k(k≥1 ， k∈N * ) 时猜想正确，即 f(k)=2 k ， 那么当 n=k+1 时， f(k+1)=f(k) · f(1)=2 k · 2=2 k+1 ， 所以，当 n=k+1 时，猜想正确 . 由①②知，对任意的 n∈N * ， f(n)=2 n 正确 . 【 补偿训练 】 已知 f(x)= ， x 1 =1 ， x n =f(x n-1 )(n≥2 ， n∈N * ) ，则 x 2 ， x 3 ， x 4 分别为多少？猜想 x n ，并用数学归纳法证明 . 【 解题指南 】 利用 x n =f(x n-1 ) 结合函数解析式，准确计算出 x 2 ， x 3 ， x 4 ，猜想出一般性结论后用数学归纳法证明 . 【 解析 】 因为 f(x)= ， x 1 =1 ， x n =f(x n-1 ) ， 所以 x 2 =f(x 1 )=f(1)= 猜想： 用数学归纳法证明如下： (1) 当 n=1 时，左边 =x 1 =1 ，右边 = =1 ，左边 = 右边，等式成立 . (2) 假设当 n=k(k∈N * ， k≥1) 时，等式成立， 即 当 n=k+1 时， 所以当 n=k+1 时，等式成立 . 由 (1) ， (2) 可知猜想成立 . 【 拓展类型 】 用数学归纳法证明几何问题 【 备选典例 】 (1) 凸 n 边形有 f(n) 条对角线，则凸 n+1 边形对角线的条数 f(n+1) 为 ( ) A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2 (2) 平面内有 n(n∈N * ， n≥2) 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数 f(n)= 【 解析 】 (1) 选 C. 增加一个顶点，就增加 n+1-3 条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故 f(n+1)=f(n)+1+n+1-3=f(n)+n-1. 故应选 C. (2)① 当 n=2 时，两条直线的交点只有一个，又 f(2)= ×2 ×(2-1)=1 ，所以当 n=2 时，命题成立 . ② 假设当 n=k(k∈N * ， k≥2) 时命题成立，即平面内满足题设的任何 k 条直线的交点个数 f(k)= k(k-1) ， 那么，当 n=k+1 时，任取一条直线 l ，除 l 以外其他 k 条直线的交点个数为 f(k)= k(k-1) ， l 与其他 k 条直线交点个数为 k ，从而 k+1 条直线共有 f(k)+k 个交点， 即 f(k+1)=f(k)+k= k(k-1)+k= k(k-1+2) = k(k+1)= (k+1) ［ (k+1)-1 ］， 所以当 n=k+1 时，命题成立 . 由①，②可知，对任意 n∈N * (n≥2) 命题都成立 . 【 方法技巧 】 用数学归纳法证明几何问题的三个关注点 (1) 用数学归纳法可以证明与正整数 n 有关的几何问题，常见的形式有交点的个数问题，直线的条数问题，划分区域问题，以及构成的角的个数问题 . (2) 证明几何问题的关键是 “ 找项 ” ，即几何元素由 k 个变成 k+1 个，所证的几何量将增加多少，这需要用到几何知识或借助几何图形分析 . (3) 几何问题的证明既要注意数形结合，又要注意有必要的文字证明 . 【 规范解答 】 数学归纳法在证明不等式中的应用 【 典例 】 (12 分 ) 用数学归纳法证明 ≤ +n(n∈N * ). 【 审题 】 抓信息，找思路 【 解题 】 明步骤，得高分 【 点题 】 警误区，促提升 失分点 1 ：若①处把 “ 1+ ” 写成 “ 1 ” ，第一步就不能得分 . 失分点 2 ：解答中，若②处写成 “ ” ，则漏掉了中间的一些项，造成该步不得分，即使用了归纳假设也是徒劳 . 失分点 3 ：在解答中，若③处放缩的方向不正确，或放缩不适度，都直接导致解不出来，这一般要扣多半分数 . 失分点 4 ：解答时若忽视④处，则导致证明过程不完整，考试时最多得 11 分 . 【 悟题 】 提措施，导方向 1. 搞清式子结构 在使用数学归纳法时，要分析透彻式子的结构，防止验证初始值或 n=k+1 时证明出错，如本例 n=1 时，中间为 1+ ； n=k+1 时增加的不是 1 项而是很多项 . 2. 放缩要适度 作为 n=k+1 时证明的目标，证明中要瞄准这个方向，既要有方向性，也要放缩适度，如本例中③处， “ 度 ” 的把握非常关键 . 【 类题试解 】 (2014· 石家庄高二检测 ) 求证： (n≥2 ， n∈N * ). 【 证明 】 (1) 当 n=2 时，左边 = ，不等式成立 . (2) 假设 n=k(k≥2 ， k∈N * ) 时命题成立，即 则当 n=k+1 时， 所以当 n=k+1 时，不等式也成立 . 由 (1)(2) 可知，原不等式对一切 n≥2 ， n∈N * 均成立 .