2013届高考数学一轮复习 数学归纳法

2013届高考数学一轮复习 数学归纳法

‎2013届高考一轮复习 数学归纳法 一、选择题 ‎1、已知…则f(k+1)等于( ) ‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎2、已知…则… ( ) ‎ A.f(n)中共有n项,当n=2时 ‎ B.f(n)中共有n+1项,当n=2时 ‎ C.f(n)中共有项,当n=2时 ‎ D.f(n)中共有项,当n=2时,f(2)= ‎ ‎3、某个与正整数n有关的命题,如果当N1)时,该命题成立,则一定可推得当n=k+1时,该命题也成立,现已知n=5时,该命题不成立,则有 ( ) ‎ A.当n=4时,该命题成立 ‎ B.当n=6时,该命题成立 ‎ C.当n=4时,该命题不成立 ‎ D.当n=6时,该命题不成立 ‎ ‎4、用数学归纳法证明等式……从k到k+1左端需增乘的代数式为( ) ‎ A.2k+1 B.2(2k+1) ‎ C. D. ‎ ‎5、设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(k)满足:当“成立时,总可推出 成立”.那么下列命题总成立的是( ) ‎ A.若成立,则当均有成立 ‎ B.若成立,则当k<5,均有成立 ‎ C.若f(7)<49成立,则当均有成立 ‎ D.若f(4)=25成立,则当均有成立 ‎ ‎6、设n棱柱有f(n)个对角面,则n+1棱柱的对角面的个数f(n+1)等于( ) ‎ A.f(n)+n+1 B.f(n)+n ‎ C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2 ‎ ‎7、对于不等式N某同学的证明过程如下: ‎ ‎(1)当n=1时不等式成立. ‎ ‎(2)假设当N时,不等式成立, ‎ 即 ‎ 则当n=k+1时 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴当n=k+1时,不等式成立. ‎ 则上述证法( ) ‎ A.过程全部正确 ‎ B.n=1验得不正确 ‎ C.归纳假设不正确 ‎ D.从n=k到n=k+1的推理不正确 ‎ ‎8、用数学归纳法证明“…N”时,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是( ) ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9、已知…b)+c对一切N都成立,则a、b、c的值为( ) ‎ A. ‎ B. ‎ C.a ‎ D.不存在这样的a、b、c ‎ 二、填空题 ‎10、用数学归纳法证明等式:…N验证n=1时,等式左边= . ‎ ‎11、若…则f(k+1)与f(k)的递推关系式是 . ‎ ‎12、设平面内有n条直线其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)= ;当n>4时,f(n)= (用n表示). ‎ ‎13、如图,这是一个正六边形的序列: ‎ ‎ ‎ 则第n个图形的边数为 . ‎ 三、解答题 ‎14、 是否存在常数a,b,c使得等式…+n(n+对于一切正整数n都成立?并证明你的结论. ‎ ‎15、已知数列{}满足N. ‎ ‎(1)计算的值; ‎ ‎(2)由(1)的结果猜想{}的通项公式,并证明你的结论. ‎ ‎16、已知数列{}满足:.求证: ‎ ‎; ‎ 对一切N都成立; ‎ ‎(3)数列{}为递增数列. ‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、 C ‎ 解析:… ‎ ‎… ‎ ‎… ‎ ‎… ‎ ‎. ‎ ‎2、D ‎ 解析:项数为. ‎ ‎3、C ‎ 解析:因为当N时,该命题成立,则一定可推得当n=k+1时,该命题也成立,所以当n=5时,该命题不成立,则一定有n=4时,该命题不成立. ‎ ‎4、 B ‎ 解析:当n=1时,显然成立.‎ 当n=k时,左边…‎ 当n=k+1时,左边=(k+…k+1+k+1)‎ ‎=(k+2…1+k)(k+1+k+1)‎ ‎=(k+1…‎ ‎=(k+1…. ‎ ‎5、D ‎ 解析:由题意设f(x)满足:“当成立时,总可推出成立.”, ‎ 因此,对于A,不一定有k=1,2时成立. ‎ 对于B、C显然错误. ‎ 对于D,∵f因此对于任意的有成立. ‎ ‎6、C ‎ 解析:当n棱柱增加一条侧棱时,该棱与其他n条棱构成n-2个对角面,但同时原先的一个侧面也变成了对角面,故共增加了n-1个对角面. ‎ ‎7、D ‎ 解析:用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设. ‎ ‎8、C ‎ 解析:增加的项数为. ‎ ‎9、A ‎ 解析:∵等式对一切N均成立, ‎ ‎∴n=1,2,3时等式成立, ‎ 即 ‎ 整理得 ‎ 解得. ‎ 二、填空题 ‎10、 ‎ 解析:当n=1时,左边最后一项应该是故此时左边是. ‎ ‎11、f(k+1)= ‎ 解析:∵… ‎ ‎∴f… ‎ ‎∴f(k+1)=. ‎ ‎12、5 2) ‎ 解析:f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9, ‎ 每增加一条直线,交点增加的个数等于原来直线的条数. ‎ ‎∴f(4)-f(3)=3, ‎ f(5)-f(4)=4, ‎ ‎… ‎ f(n)-f(n-1)=n-1. ‎ 累加得 ‎ f(n)-f(3)=3+4+…+(n-1) ‎ ‎. ‎ ‎∴2). ‎ ‎13、5n+1 ‎ 解析:图(1)共6条边,图(2)共11条边,图(3)共16条边,…,其边数构成等差数列,‎ 则图(n)的边数为6. ‎ 三、解答题 ‎14、 证明:假设存在符合题意的常数a,b,c, ‎ 在等式…中, ‎ 令n=1,得; ① ‎ 令n=2,得; ② ‎ 令n=3,得70=‎9a+3b+c; ③ ‎ 由①②③解得a=3,b=11,c=10, ‎ 于是,对于n=1,2,3都有 ‎ ‎…11n+10)(*)成立. ‎ 下面用数学归纳法证明:对于一切正整数n,(*)式都成立. ‎ ‎(1)当n=1时,由上述过程知,(*)成立. ‎ ‎(2)假设时,(*)成立, ‎ 即…成立, ‎ 那么当n=k+1时, ‎ ‎… ‎ ‎1 ‎ ‎ ‎ ‎10], ‎ 由此可知,当n=k+1时,(*)式也成立. ‎ 综上所述,当a=3,b=11,c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立. ‎15、解:(1)由 ‎ 当n=1时 ‎ n=2时 ‎ n=3时. ‎ ‎(2)由(1)猜想N. ‎ 证明如下: ‎ ‎①当n=1时成立. ‎ ‎②假设N时成立, ‎ 那么n=k+1时,有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即n=k+1时也成立. ‎ 所以由①②可知N. ‎ ‎16、 证明:已知条件可化为 ‎ 即. ‎ ‎(1)①当n=1时有成立; ‎ ‎②假设当N时结论成立,即 ‎ 那么当n=k+1时. ‎ ‎∵ ‎ 又在内为增函数, ‎ ‎∴ ‎ ‎∴则 ‎ ‎∴当n=k+1时结论成立. ‎ 由①②知,对一切N均有. ‎ ‎(2)①当n=1时成立; ‎ ‎②假设当且N时结论成立,即 ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ 即. ‎ 同上法可得 ‎ ‎∴当n=k+1时结论成立. ‎ 由①②知对一切N均有成立. ‎ 则 ‎ 两式相减得 ‎ ‎. ‎ 若把上式中的n换成2n-1, ‎ 则 ‎ ‎∴数列{}为递增数列. ‎