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文档介绍
【数学】2020届一轮复习人教B版直线平面垂直的判定与性质学案
§8.5 直线、平面垂直的判定与性质 最新考纲 考情考向分析 1.理解空间线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理. 2.理解直线与平面所成角的概念,了解二面角及其平面角的概念. 直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容,涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用等内容.题型主要以解答题的形式出现,解题要求有较强的推理论证能力,广泛应用转化与化归的思想. 1.直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,则直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α,直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2.直线和平面所成的角 (1)定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面,它们所成的角是直角,若一条直线和平面平行,或在平面内,它们所成的角是0°的角. (2)范围:. 3.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角; ②二面角的平面角:在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (2)平面和平面垂直的定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 概念方法微思考 1.若两平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面吗? 提示 垂直.若两平行线中的一条垂直于一个平面,那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直,根据异面直线所成的角,可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角,即垂直于平面内的这两条相交直线,所以垂直于这个平面. 2.两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面吗? 提示 垂直.在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线,则这两条直线都垂直于第三个平面,那么这两条直线互相平行.由线面平行的性质定理可知,这两个相交平面的交线与这两条垂线平行,所以该交线垂直于第三个平面. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.( × ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行.( × ) (3)直线a⊥α,b⊥α,则a∥b.( √ ) (4)若α⊥β,a⊥β,则a∥α.( × ) (5)若直线a⊥平面α,直线b∥α,则直线a与b垂直.( √ ) (6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.( × ) 题组二 教材改编 2.[P73T1]下列命题中错误的是( ) A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β 答案 D 解析 对于D,若平面α⊥平面β,则平面α内的直线可能不垂直于平面β,即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内,其他选项均是正确的. 3.[P67练习T2]在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的________心; (2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的________心. 答案 (1)外 (2)垂 解析 (1)如图1,连接OA,OB,OC,OP, 在Rt△POA,Rt△POB和Rt△POC中,PA=PC=PB, 所以OA=OB=OC,即O为△ABC的外心. (2)如图2,延长AO,BO,CO分别交BC,AC,AB于点H,D,G. ∵PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB, ∴PC⊥平面PAB,又AB⊂平面PAB,∴PC⊥AB, ∵AB⊥PO,PO∩PC=P,PO,PC⊂平面PGC, ∴AB⊥平面PGC,又CG⊂平面PGC, ∴AB⊥CG,即CG为△ABC边AB上的高. 同理可证BD,AH分别为△ABC边AC,BC上的高, 即O为△ABC的垂心. 题组三 易错自纠 4.(2018·台州模拟)若l,m为两条不同的直线,α为平面,且l⊥α,则“m∥α”是“m⊥l”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由l⊥α且m∥α能推出m⊥l,充分性成立; 若l⊥α且m⊥l,则m∥α或者m⊂α,必要性不成立, 因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件,故选A. 5.如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,点O,M,N分别是线段BD,DD1,D1C1的中点,则直线OM与AC,MN的位置关系是( ) A.与AC,MN均垂直 B.与AC垂直,与MN不垂直 C.与AC不垂直,与MN垂直 D.与AC,MN均不垂直 答案 A 解析 因为DD1⊥平面ABCD,所以AC⊥DD1, 又因为AC⊥BD,DD1∩BD=D,所以AC⊥平面BDD1B1, 因为OM⊂平面BDD1B1,所以OM⊥AC. 设正方体的棱长为2, 则OM==,MN==, ON==, 所以OM2+MN2=ON2,所以OM⊥MN.故选A. 6.如图所示,AB是半圆O的直径,VA垂直于半圆O所在的平面,点C是圆周上不同于A,B的任意一点,M,N分别为VA,VC的中点,则下列结论正确的是( ) A.MN∥AB B.平面VAC⊥平面VBC C.MN与BC所成的角为45° D.OC⊥平面VAC 答案 B 解析 由题意得BC⊥AC,因为VA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以VA⊥BC.因为AC∩VA=A,所以BC⊥平面VAC.因为BC⊂平面VBC,所以平面VAC⊥平面VBC.故选B. 题型一 直线与平面垂直的判定与性质 例1 如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=3,BC=2,D是BC的中点,F是CC1上一点.当CF=2时,证明:B1F⊥平面ADF. 证明 因为AB=AC,D是BC的中点,所以AD⊥BC. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, 因为BB1⊥底面ABC,AD⊂底面ABC, 所以AD⊥B1B. 因为BC∩B1B=B,BC,B1B⊂平面B1BCC1, 所以AD⊥平面B1BCC1. 因为B1F⊂平面B1BCC1,所以AD⊥B1F. 方法一 在矩形B1BCC1中, 因为C1F=CD=1,B1C1=CF=2, 所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1, 所以∠CFD=∠C1B1F, 所以∠B1FD=90°,所以B1F⊥FD. 因为AD∩FD=D,AD,FD⊂平面ADF, 所以B1F⊥平面ADF. 方法二 在Rt△B1BD中,BD=CD=1,BB1=3, 所以B1D==. 在Rt△B1C1F中,B1C1=2,C1F=1, 所以B1F==. 在Rt△DCF中,CF=2,CD=1, 所以DF==. 显然DF2+B1F2=B1D2, 所以∠B1FD=90°. 所以B1F⊥FD. 因为AD∩FD=D,AD,FD⊂平面ADF, 所以B1F⊥平面ADF. 思维升华证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明线面垂直的常用方法:①判定定理;②垂直于平面的传递性;③面面垂直的性质. (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直,而证明线线垂直,则需借助线面垂直的性质. 跟踪训练1 (2019·绍兴模拟)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求证:(1)EF∥平面ABC; (2)AD⊥AC. 证明 (1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD, 则AB∥EF. 又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC, 所以EF∥平面ABC. (2)因为平面ABD⊥平面BCD, 平面ABD∩平面BCD=BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD, 所以BC⊥平面ABD. 因为AD⊂平面ABD,所以BC⊥AD. 又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以AD⊥平面ABC. 又因为AC⊂平面ABC,所以AD⊥AC. 题型二 平面与平面垂直的判定与性质 例2 (2018·全国Ⅰ)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°.以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA. (1)证明:平面ACD⊥平面ABC; (2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q-ABP的体积. (1)证明 由已知可得,∠BAC=90°,即BA⊥AC. 又BA⊥AD,AD∩AC=A,AD,AC⊂平面ACD, 所以AB⊥平面ACD. 又AB⊂平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC. (2)解 由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3. 又BP=DQ=DA,所以BP=2. 如图,过点Q作QE⊥AC,垂足为E, 则QE∥DC且QE=DC. 由已知及(1)可得,DC⊥平面ABC, 所以QE⊥平面ABC,QE=1. 因此,三棱锥Q-ABP的体积为VQ-ABP=×S△ABP×QE =××3×2sin45°×1=1. 思维升华 (1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义; ②面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β). (2)在已知平面垂直时,一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直. 跟踪训练2 (2018·宁波调研)如图,三棱锥P-ABC中,底面ABC是边长为2的正三角形,PA⊥PC,PB=2. (1)求证:平面PAC⊥平面ABC; (2)若PA=PC,求三棱锥P-ABC的体积. 证明 (1)如图,取AC的中点O,连接BO,PO, 因为△ABC是边长为2的正三角形, 所以BO⊥AC,BO=. 因为PA⊥PC,所以PO=AC=1. 因为PB=2,所以OP2+OB2=PB2, 所以PO⊥OB. 因为AC∩OP=O,AC,OP⊂平面PAC, 所以BO⊥平面PAC.又OB⊂平面ABC, 所以平面PAC⊥平面ABC. (2)解 因为PA=PC,PA⊥PC,AC=2, 所以PA=PC=. 由(1)知BO⊥平面PAC, 所以VP-ABC=VB-APC=S△PAC·BO=××××=. 题型三 与垂直有关的探索性问题 例3 如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是棱BC,AB的中点,点F在棱CC1上,已知AB=AC,AA1=3,BC=CF=2. (1)求证:C1E∥平面ADF; (2)设点M在棱BB1上,当BM为何值时,平面CAM⊥平面ADF. (1)证明 连接CE交AD于O,连接OF. 因为CE,AD为△ABC的中线, 则O为△ABC的重心,故==,故OF∥C1E, 因为OF⊂平面ADF,C1E⊄平面ADF, 所以C1E∥平面ADF. (2)解 当BM=1时,平面CAM⊥平面ADF. 证明如下:因为AB=AC,AD⊂平面ABC, 故AD⊥BC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中, BB1⊥平面ABC,BB1⊂平面B1BCC1, 故平面B1BCC1⊥平面ABC. 又平面B1BCC1∩平面ABC=BC,AD⊂平面ABC, 所以AD⊥平面B1BCC1, 又CM⊂平面B1BCC1,故AD⊥CM. 又BM=1,BC=2,CD=1,FC=2, 故Rt△CBM≌Rt△FCD. 易证CM⊥DF,又DF∩AD=D,DF,AD⊂平面ADF, 故CM⊥平面ADF. 又CM⊂平面CAM, 故平面CAM⊥平面ADF. 思维升华对命题条件的探索的三种途径 途径一:先猜后证. 途径二:先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性. 途径三:将几何问题转化为代数问题. 跟踪训练3 如图所示的空间几何体ABCDEFG中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AE⊥平面ABCD,EF∥AB,EG∥AD,EF=EG=1. (1)求证:平面CFG⊥平面ACE; (2)在AC上是否存在一点H,使得EH∥平面CFG?若存在,求出CH的长,若不存在,请说明理由. (1)证明 连接BD交AC于点O,则BD⊥AC. 设AB,AD的中点分别为M,N,连接MN,则MN∥BD, 连接FM,GN,则FM∥GN,且FM=GN, 所以四边形FMNG为平行四边形, 所以MN∥FG,所以BD∥FG,所以FG⊥AC. 由于AE⊥平面ABCD,所以AE⊥BD. 所以FG⊥AE, 又因为AC∩AE=A,AC,AE⊂平面ACE, 所以FG⊥平面ACE. 又FG⊂平面CFG,所以平面CFG⊥平面ACE. (2)解 存在.设平面ACE交FG于Q,则Q为FG的中点, 连接EQ,CQ,取CO的中点H,连接EH, 由已知易知,平面EFG∥平面ABCD, 又平面ACE∩平面EFG=EQ, 平面ACE∩平面ABCD=AC, 所以CH∥EQ,又CH=EQ=, 所以四边形EQCH为平行四边形,所以EH∥CQ, 又CQ⊂平面CFG,EH⊄平面CFG, 所以EH∥平面CFG, 所以在AC上存在一点H,使得EH∥平面CFG,且CH=. 1.已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( ) A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 答案 C 解析 因为α∩β=l,所以l⊂β,又n⊥β,所以n⊥l. 2.(2019·宁波模拟)已知直线l,m与平面α,β,l⊂α,m⊂β,则下列命题中正确的是( ) A.若l∥m,则必有α∥β B.若l⊥m,则必有α⊥β C.若l⊥β,则必有α⊥β D.若α⊥β,则必有m⊥α 答案 C 解析 对于选项A,平面α和平面β还有可能相交,所以选项A错误; 对于选项B,平面α和平面β还有可能相交或平行,所以选项B错误; 对于选项C,因为l⊂α,l⊥β,所以α⊥β.所以选项C正确; 对于选项D,直线m可能和平面α不垂直,所以选项D错误. 3.如图,在四面体D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是( ) A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABD⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE 答案 C 解析 因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE. 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是BC1,CD1的中点,则( ) A.MN∥C1D1 B.MN⊥BC1 C.MN⊥平面ACD1 D.MN⊥平面ACC1 答案 D 解析 对于选项A,因为M,N分别是BC1,CD1的中点,所以点N∈平面CDD1C1,点M∉平面CDD1C1,所以直线MN是与平面CDD1C1相交的直线, 又因为直线C1D1在平面CDD1C1内,故直线MN与直线C1D1不可能平行,故选项A错; 对于选项B,正方体中易知NB≠NC1,因为点M是BC1的中点,所以直线MN与直线BC1不垂直,故选项B不对; 对于选项C,假设MN⊥平面ACD1,可得MN⊥CD1,因为N是CD1的中点, 所以MC=MD1,这与MC≠MD1矛盾,故假设不成立,所以选项C不对; 对于选项D,分别取B1C1,C1D1的中点P,Q,连接PM,QN,PQ. 因为点M是BC1的中点, 所以PM∥CC1且PM=CC1. 同理QN∥CC1且QN=CC1. 所以PM∥QN且PM=QN, 所以四边形PQNM为平行四边形. 所以PQ∥MN. 在正方体中,CC1⊥PQ,PQ⊥AC, 因为AC∩CC1=C,AC⊂平面ACC1,CC1⊂平面ACC1, 所以PQ⊥平面ACC1. 因为PQ∥MN,所以MN⊥平面ACC1. 故选项D正确. 5.已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为( ) A.B.C.D. 答案 B 解析 如图,取正三角形ABC的中心O,连接OP, 则∠PAO是PA与平面ABC所成的角. 因为底面边长为, 所以AD=×=,AO=AD=×=1. 三棱柱的体积为×()2AA1=, 解得AA1=,即OP=AA1=, 所以tan∠PAO==, 因为直线与平面所成角的范围是, 所以∠PAO=. 6.如图,已知PA⊥平面ABC,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为________. 答案 4 解析 ∵PA⊥平面ABC,AB,AC,BC⊂平面ABC, ∴PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,则△PAB,△PAC为直角三角形.由BC⊥AC,且AC∩PA=A,得BC⊥平面PAC,从而BC⊥PC,因此△ABC,△PBC也是直角三角形. 7.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上. 答案 AB 解析 ∵AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B,∴AC⊥平面ABC1. 又∵AC⊂平面ABC,∴平面ABC1⊥平面ABC. ∴C1在平面ABC上的射影H必在两平面交线AB上. 8.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可) 答案 DM⊥PC(或BM⊥PC等) 解析 ∵PA⊥底面ABCD,∴BD⊥PA,连接AC,则BD⊥AC,且PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC. ∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD, 而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD. 9.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________. 答案 解析 连接A1C1,则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角. 因为AB=BC=2,所以A1C1=AC=2,又AA1=1,所以AC1=3, 所以sin∠AC1A1==. 10.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上.点P到直线CC1的距离的最小值为________. 答案 解析 点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离,设点P在平面ABCD上的射影为P′,显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值.当P′C⊥DE时,P′C的长度最小,此时P′C==. 11.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,点E在棱PC上(异于点P,C),平面ABE与棱PD交于点F. (1)求证:AB∥EF; (2)若AF⊥EF,求证:平面PAD⊥平面ABCD. 证明 (1)因为四边形ABCD是矩形, 所以AB∥CD. 又AB⊄平面PDC,CD⊂平面PDC, 所以AB∥平面PDC, 又因为AB⊂平面ABE,平面ABE∩平面PDC=EF, 所以AB∥EF. (2)因为四边形ABCD是矩形, 所以AB⊥AD. 因为AF⊥EF,(1)中已证AB∥EF, 所以AB⊥AF. 又AB⊥AD, 由点E在棱PC上(异于点C),所以点F异于点D, 所以AF∩AD=A,AF,AD⊂平面PAD, 所以AB⊥平面PAD, 又AB⊂平面ABCD, 所以平面PAD⊥平面ABCD. 12.(2019·浙江省台州中学模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=AB=BC=,AD=CD=1,∠ADC=120°,点M是AC与BD的交点,点N在线段PB上,且PN=PB. (1)证明:MN∥平面PDC; (2)求直线MN与平面PAC所成角的正弦值. (1)证明 因为AB=BC,AD=CD, 所以BD垂直平分线段AC. 又∠ADC=120°, 所以MD=AD=,AM=. 所以AC=. 又AB=BC=, 所以△ABC是等边三角形, 所以BM=,所以=3, 又因为PN=PB, 所以==3, 所以MN∥PD. 又MN⊄平面PDC,PD⊂平面PDC, 所以MN∥平面PDC. (2)解 因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD, 所以BD⊥PA, 又BD⊥AC,PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC, 所以BD⊥平面PAC. 由(1)知MN∥PD, 所以直线MN与平面PAC所成的角即直线PD与平面PAC所成的角, 故∠DPM即为所求的角. 在Rt△PAD中,PD=2, 所以sin∠DPM===, 所以直线MN与平面PAC所成角的正弦值为. 13.(2018·湖州质检)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点.现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H.那么,在这个空间图形中必有( ) A.AG⊥平面EFH B.AH⊥平面EFH C.HF⊥平面AEF D.HG⊥平面AEF 答案 B 解析 根据折叠前、后AH⊥HE,AH⊥HF不变, ∴AH⊥平面EFH,B正确; ∵过A只有一条直线与平面EFH垂直,∴A不正确; ∵AG⊥EF,EF⊥GH,AG∩GH=G,AG,GH⊂平面HAG,∴EF⊥平面HAG,又EF⊂平面AEF, ∴平面HAG⊥平面AEF,过点H作直线垂直于平面AEF,一定在平面HAG内,∴C不正确; 由条件证不出HG⊥平面AEF,∴D不正确.故选B. 14.(2018·全国Ⅰ)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A.B.C.D. 答案 A 解析 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1D1与棱A1A,A1B1,A1D1所成的角都相等,又正方体的其余棱都分别与A1A,A1B1,A1D1平行,故正方体ABCD-A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等. 取棱AB,BB1,B1C1,C1D1,DD1,AD的中点E,F,G,H,M,N,则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大,此截面面积为S正六边形EFGHMN=6×××sin60°=. 故选A. 15.(2019·金华模拟)如图,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,且E为CD的中点,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,则下列说法正确的是________.(写出所有正确说法的序号) ①不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥平面DEC; ②不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN⊥AE; ③不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥AB; ④在折起过程中,一定不会有EC⊥AD. 答案 ①② 解析 由已知,在未折叠的原梯形中,易知四边形ABCE为矩形, 所以AB=EC,所以AB=DE, 又AB∥DE, 所以四边形ABED为平行四边形, 所以BE=AD,折叠后如图所示. ①过点M作MP∥DE,交AE于点P,连接NP. 因为M,N分别是AD,BE的中点, 所以点P为AE的中点,故NP∥EC. 又MP∩NP=P,DE∩CE=E, 所以平面MNP∥平面DEC, 故MN∥平面DEC,①正确; ②由已知,AE⊥ED,AE⊥EC, 所以AE⊥MP,AE⊥NP, 又MP∩NP=P,所以AE⊥平面MNP, 又MN⊂平面MNP,所以MN⊥AE,②正确; ③假设MN∥AB,则MN与AB确定平面MNBA, 从而BE⊂平面MNBA,AD⊂平面MNBA, 与BE和AD是异面直线矛盾,③错误; ④当EC⊥ED时,EC⊥AD. 因为EC⊥EA,EC⊥ED,EA∩ED=E, 所以EC⊥平面AED,AD⊂平面AED, 所以EC⊥AD,④不正确. 16.在如图所示的五面体ABCDEF中,四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,EA=ED=AB=2EF=2,EF∥AB,M为BC的中点. (1)求证:FM∥平面BDE; (2)若平面ADE⊥平面ABCD,求点F到平面BDE的距离. (1)证明 取BD的中点O,连接OM,OE, 因为O,M分别为BD,BC的中点, 所以OM∥CD,且OM=CD. 因为四边形ABCD为菱形,所以CD∥AB, 又EF∥AB,所以CD∥EF, 又AB=CD=2EF, 所以EF=CD, 所以OM∥EF,且OM=EF, 所以四边形OMFE为平行四边形, 所以MF∥OE. 又OE⊂平面BDE,MF⊄平面BDE, 所以MF∥平面BDE. (2)解 由(1)得FM∥平面BDE, 所以点F到平面BDE的距离等于点M到平面BDE的距离. 取AD的中点H,连接EH,BH, 因为EA=ED,四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°, 所以EH⊥AD,BH⊥AD. 因为平面ADE⊥平面ABCD, 平面ADE∩平面ABCD=AD,EH⊂平面ADE, 所以EH⊥平面ABCD,所以EH⊥BH, 易得EH=BH=,所以BE=, 所以S△BDE=××=. 设点F到平面BDE的距离为h, 连接DM,则S△BDM=S△BCD=××4=, 连接EM,由V三棱锥E-BDM=V三棱锥M-BDE, 得××=×h×, 解得h=, 即点F到平面BDE的距离为.查看更多