山东省实验中学2019-2020学年高二下学期（3月线上）阶段测试数学试题

山东省实验中学2019-2020学年高二下学期（3月线上）阶段测试数学试题

‎2020年高中数学阶段测试 一、单选题 ‎1.设函数在可导，则（ ）‎ A. B. C. D. 不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据极限的运算法则有结合导数的极限定义求解即可．‎ ‎【详解】函数在可导，则 ‎ ‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查导数的定义和极限的概念和运算，转化为极限形式是解决本题的关键．属于基础题.‎ ‎2.义乌国际马拉松赛，某校要从甲乙丙丁等人中挑选人参加比赛，其中甲乙丙丁人中至少有人参加且甲乙不同时参加，丙丁也不同时参加，则不同的报名方案有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分3种情况讨论：①，甲乙丙丁4人中，只从甲乙中选出1人，②，甲乙丙丁4人中，只从丙丁中选出1人，③，甲乙丙丁4人中，从甲乙、丙丁中各选1人，由加法原理计算可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，分3种情况讨论：‎ ‎①，甲乙丙丁4人中，只从甲乙中选出1人，需要在其他6人中选出2人，有种报名方案，‎ ‎②，甲乙丙丁4人中，只从丙丁中选出1人，需要在其他6人中选出2人，有种报名方案，‎ ‎③，甲乙丙丁4人中，从甲乙、丙丁中各选1人，需要在其他6人中选出1人，‎ 有种报名方案；‎ 故有种报名方案；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中档题．‎ ‎3.的展开式中项的系数是（ ）‎ A. 420 B. ‎-420 ‎C. 1680 D. -1680‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 表示的是8个相乘，要得到，则其中有2个因式取，有两个因式取，其余4个因式都取1，然后算出即可.‎ ‎【详解】表示的是8个相乘，‎ 要得到，则其中有2个因式取，有两个因式取 其余4个因式都取1‎ 所以展开式中 项的系数是.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查的是二项式定理，属于典型题.‎ ‎4.小明的妈妈为小明煮了 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件，事件，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意，P（A）==，P（AB）==，‎ ‎∴P（B|A）==，‎ 故选B．‎ ‎5.某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立．若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为（ ）‎ A. 0.23 ‎B. ‎0.2 ‎C. 0.16 D. 0.1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为,未命中敌机的概率为,且各次射击相互独立，若射击一次就击落敌机，则他击中利敌机的机尾，故概率为；若射击次就击落敌机，则他次都击中利敌机的机首，概率为；或者第一次没有击中机尾、且第二次击中了机尾，概率为 ,若至多射击两次，则他能击落敌机的概率为 ,故选.‎ ‎6.若对于函数图象上任意一点处的切线，在函数 的图象上总存在一条切线，使得，则实数a的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 转化条件得，，使得成立，利用基本不等式求得的取值范围后即可得解.‎ ‎【详解】函数，，‎ 函数，，‎ 要使过曲线 上任意一点的切线为，在函数 的图象上总存在一条切线 ，使得，‎ 则 即，，‎ ‎，当且仅当时等号成立，‎ ‎，‎ ‎，使得等式成立，所以，‎ 解得：或.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义和基本不等式的应用，考查了转化化归思想，属于中档题.‎ ‎7.若函数 在区间 内单调递增，则实数 的取值范围是(    )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，问题转化为a＞- ，而g（x）=﹣在（，2）递增，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．‎ ‎【详解】f′（x）=+2ax，‎ 若f（x）在区间（，2）内存在单调递增区间，‎ 则f′（x）＞0在x∈（，2）有解，‎ 故a＞- ，‎ 而g（x）=﹣在（，2）递增，‎ g（x）＞g（）=﹣2，‎ 故a＞﹣2，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的导数的应用，函数有解以及函数的最值的求法，可以用变量分离的方法求参数的范围，也考查转化思想以及计算能力．‎ ‎8.已知函数，若是的导函数，则函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导数，再利用二次求导研究导函数零点以及对应区间导函数符号，即可判断选择.‎ ‎【详解】‎ 因此当时，；当时，；当时，；‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及零点，考查基本分析判断能力，属中档题.‎ 二、多选题 ‎9.甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件 B. 甲的不同的选法种数为15‎ C. 已知乙同学选了物理，乙同学选技术概率是 D. 乙、丙两名同学都选物理的概率是 ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对立事件的概念可判断A；直接根据组合的意义可判断B；乙同学选技术的概率是可判断 C；根据相互独立事件同时发生的概率可判断D.‎ ‎【详解】甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A错误；‎ 由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选两门即可，即种选法，故B正确；‎ 由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是，故C错误；‎ 乙、丙两名同学各自选物理的概率均为，故乙、丙两名同学都选物理的概率是，故D正确；‎ 故选BD.‎ ‎【点睛】本题主要考查了对立事件的概念，事件概率的求法以及相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.‎ ‎10.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. 事件与事件相互独立 D. ，，是两两互斥的事件 ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，，是两两互斥的事件，由条件概率公式求出，对照四个选项判断即可.‎ ‎【详解】由题意，，是两两互斥的事件，‎ ‎，‎ ‎，故B正确；‎ ‎，故A，C不正确；‎ ‎，，是两两互斥的事件，故D正确.‎ 故选：BD．‎ ‎【点睛】本题考查了互斥事件和条件概率，考查了学生实际应用，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎11.已知函数，则以下结论正确的是( )‎ A. 在上单调递增 B. ‎ C. 方程有实数解 D. 存在实数，使得方程有个实数解 ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导得到函数的单调性得到错误；判断得到正确；根据得到正确；构造函数，画出函数图象知正确，得到答案.‎ 详解】，则，‎ 故函数在上单调递减，在上单调递增，错误；‎ ‎，根据单调性知，正确；‎ ‎，，故方程有实数解，正确；‎ ‎，易知当时成立，当时，，设，‎ 则，故函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 在上单调递增，且.‎ 画出函数图象，如图所示：当时有3个交点.‎ 综上所述：存在实数，使得方程有个实数解，正确；‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，比较函数值大小，方程解的个数，意在考查学生对于函数知识的综合应用.‎ ‎12.设函数，则下列说法正确的是 A. 定义域是（0，+）‎ B. x∈（0，1）时，图象位于x轴下方 C. 存在单调递增区间 D. 有且仅有两个极值点 E. 在区间（1，2）上有最大值 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的解析式有意义求得函数的定义域，再利用导数求解函数的单调区间和极值、最值，逐项判定，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，函数满足，解得且，所以函数的定义域为，所以A不正确；‎ 由，当时，，∴，所以在上的图象都在轴的下方，所以B正确；‎ 所以在定义域上有解，所以函数存在单调递增区间，所以C是正确；‎ 由，则，所以，函数单调增，则函数只有一个根，使得，当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D不正确；‎ 由，则，所以，函数单调增，‎ 且，，所以函数在先减后增，没有最大值，所以E不正确，‎ 故选BC．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，以及利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题，其中解答中准确求解函数的导数，熟记函数的导数与原函数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ 三、填空题 ‎13.代数式（1﹣x）（1+x）5的展开式中x3的系数为_____．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二项式定理写出（1+x）5的展开式，即可得到x3的系数.‎ ‎【详解】∵（1﹣x）（1+x）5＝（1﹣x）（•x•x2•x3•x4•x5），‎ ‎∴（1﹣x）（1+x）5 展开式中x3的系数为 ‎110．‎ 故答案为：0．‎ ‎【点睛】此题考查二项式定理，关键在于熟练掌握定理的展开式，根据多项式乘积关系求得指定项的系数.‎ ‎14.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量X，则P(X≤6)＝________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据题意可知取出的4只球中红球个数可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，其分值X相应为4，6，8，10．‎ ‎∴.‎ ‎15.甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮.乙恰好比甲多投进2次的概率是______.‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将事件拆分为乙投进3次，甲投进1次和乙投进2次，甲投进0次，再根据二项分布的概率计算公式和独立事件的概率计算即可求得.‎ ‎【详解】根据题意，甲和乙投进的次数均满足二项分布，且甲投进和乙投进相互独立；‎ 根据题意：乙恰好比甲多投进2次，‎ 包括乙投进3次，甲投进1次和乙投进2次，甲投进0次.‎ 则乙投进3次，甲投进1次的概率为；‎ 乙投进2次，甲投进0次的概率为.‎ 故乙恰好比甲多投进2次的概率为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二项分布的概率计算，属综合基础题.‎ ‎16.函数的极大值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的定义域，再对其求导，令，解得驻点，说明单调性，即可找到并求得极大值.‎ ‎【详解】因为函数，其定义域为 求其求导 令，得 所以当时，，函数单调递增；‎ 当时，，函数单调递减 所以时，由极大值 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的极大值，其过程优先确定定义域，求导并令导函数等于零得到驻点，分析驻点左右单调性，进而求得极值，属于较难题.‎ 四、解答题 ‎17.已知二项式的展开式中第五项为常数项.‎ ‎（1）求展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎（2）求展开式中有理项的系数和.‎ ‎【答案】（1）；（2）121‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），为常数项，所以，可求出的值，进而求得二项式系数最大的项；‎ ‎（2）由题意为有理项，直接计算即可.‎ ‎【详解】（1），∵为常数项，‎ ‎∴，∴‎ 二项式系数最大的项为第3项和第4项.∴，‎ ‎.‎ ‎（2）由题意为有理项，‎ 有理项系数和为.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式的展开式，需熟记二项式展开式的通项，属于基础题.‎ ‎18.私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了人，将调查情况进行整理后制成下表：‎ 年龄（岁）‎ 频数 赞成人数 ‎（）完成被调查人员的频率分布直方图．‎ ‎（）若从年龄在，的被调查者中各随机选取人进行追踪调查，求恰有人不赞成的概率．‎ ‎（）在在条件下，再记选中的人中不赞成“车辆限行”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据频率等于频数除以总数，再求频率与组距之比得纵坐标，画出对应频率分布直方图．（2）先根据2人分布分类，再对应利用组合求概率，最后根据概率加法求概率，（3）先确定随机变量，再根据组合求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.‎ 试题解析：（）‎ ‎（2）由表知年龄在内的有人，不赞成的有人，年龄在 内的有人，不赞成的有人，恰有人不赞成的概率为：‎ ‎．‎ ‎（3） 的所有可能取值为：，，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以的分布列是：‎ 所以的数学期望．‎ ‎19.在2016年8月巴西里约热内卢举办的第31届奥运会上，乒乓球比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场比赛即结束.甲、乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如下表：‎ 出场顺序 ‎1号 ‎2号 ‎3号 ‎4号 ‎5号 获胜概率 若甲队横扫对手获胜（即3∶0获胜）的概率是，比赛至少打满4场的概率为.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求甲队获胜场数的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用甲队横扫对手获胜（即获胜）的概率是，比赛至少打满4场的概率为，建立方程组，即可求，的值；‎ ‎（2）求得甲队获胜场数的可能取值，求出相应的概率，可得分布列和数学期望．‎ ‎【详解】解：（1）由题意，‎ 解得．‎ ‎（2）设甲队获胜场数为，则的可取的值为0，1，2，3‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的分布列为 ‎ ‎ ‎ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查概率知识的运用，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎20.南昌市在2018年召开了全球VR产业大会，为了增强对青少年VR知识的普及，某中学举行了一次普及VR知识讲座，并从参加讲座的男生中随机抽取了50人，女生中随机抽取了70人参加VR知识测试，成绩分成优秀和非优秀两类，统计两类成绩人数得到如左的列联表：‎ 优秀 非优秀 总计 男生 a ‎35‎ ‎50‎ 女生 ‎30‎ d ‎70‎ 总计 ‎45‎ ‎75‎ ‎120‎ ‎（1）确定a,d的值；‎ ‎（2）试判断能否有90%的把握认为VR知识测试成绩优秀与否与性别有关；‎ ‎（3）现从该校测试成绩获得优秀的同学中按性别采用分层抽样的方法，随机选出6名组成宣传普及小组．从这6人中随机抽取2名到校外宣传，求“到校外宣传的2名同学中至少有1名是男生”的概率.‎ 附： ‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（1）；（2）没有；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）结合题表信息，即可计算a,d，即可．（2）结合，代入数据，计算，判定，即可．（3）计算概率，可以从反面进行进展，计算总数，计算2人全部都是女生的总数，计算概率，即可．‎ ‎【详解】（1），解得 ‎（2）结合卡方计算方法可知n=120，得到而要使得概率为则90%,，不满足条件，故没有．‎ ‎（3）结合a=15，结合分层抽样原理，抽取6人，则男生中抽取2人，女生抽取4人，则从6人中抽取2人，一共有，如果2人全部都是女生，则有，故概率为 ‎.‎ ‎【点睛】本道题考查了古典概率计算方法，考查了计算方法，考查了列联表，难度中等．‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数在定义域内的极值点的个数；‎ ‎（Ⅱ）若函数在处取得极值，对恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（Ⅰ）显然函数的定义域为.‎ 因为，所以，‎ 当时，在上恒成立，函数在单调递减，‎ ‎∴在上没有极值点； ‎ 当时，由得，由得，‎ ‎∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．‎ ‎∴当时在上没有极值点，当时在上有一个极值点 ‎（Ⅱ）∵函数在处取得极值，由（Ⅰ）结论知，‎ ‎∴，‎ 令，所以，‎ 令可得在上递减，令可得在上递增，‎ ‎∴，即. ‎ 考点：本小题主要考查函数的求导、函数的单调性、函数的极值最值和恒成立问题，考查学生分析问题、解决问题的能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力.‎ 点评：导数是研究函数问题的有力工具，常常用来解决函数的单调性、极值、最值等问题.对于题目条件较复杂，设问较多的题目审题时，应该细致严谨，将题目条件条目化，一一分析，细心推敲.对于设问较多的题目，一般前面的问题较简单，问题难度阶梯式上升，先由条件将前面的问题正确解答，然后将前面问题的结论作为后面问题解答的条件，注意问题之间的相互联系，使问题化难为易，层层解决.‎ ‎22.已知函数，.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数有个不同的零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时在上单调递减，当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分两种情况讨论导数的符号后可得函数的单调区间.‎ ‎（2）根据（1）可知且，后者可得实数取值范围为，再根据，结合零点存在定理可知当时函数确有两个不同的零点.‎ ‎【详解】（1）解：因为，‎ ‎①当时，总有，‎ 所以在上单调递减.‎ ‎②当时，令，解得.‎ 故时，，所以在上单调递增.‎ 同理时，有，所以在上单调递减.‎ ‎（2）由（1）知当时，单调递减，‎ 所以函数至多有一个零点，不符合已知条件，‎ 由（1）知当时，，‎ 所以当时，解得，从而.‎ 又时，有，因为，，‎ 令，则，‎ 所以在为增函数，故，‎ 所以，根据零点存在定理可知：‎ 在内有一个零点，在内有一个零点，‎ 故当函数有个零点时，的取值范围为.‎ ‎【点睛】导数背景下函数零点个数问题，应该根据单调性和零点存在定理来说明．取点时要依据函数值容易计算、与极值点有明确的大小关系这两个原则，讨论所取点的函数值的正负时，可构建新函数，通过导数讨论函数的最值的正负来判断.‎ ‎ ‎