山西省高三高考适应性演练三数学理试题解析

山西省高三高考适应性演练三数学理试题解析

‎2016届山西省高三高考适应性演练三数学（理）试题 一、选择题 ‎1．复数的共轭复数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：，共轭复数为．故选B．‎ ‎【考点】复数的运算，复数的概念．‎ ‎2．若集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：，，则．故选D．‎ ‎【考点】集合的运算．‎ ‎3．、分别为抛物线上不同的两点，为焦点，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：在抛物线中焦参数为，因此，，所以，即．故选A．‎ ‎【考点】抛物线的定义．‎ ‎4．设四点都在同一个平面上，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由得，即．故选A．‎ ‎【考点】向量的线性运算．‎ ‎5．将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象可能为（ ）‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：函数的图象向左平移个单位后得 ‎，图象为D。故选D．‎ ‎【考点】三角函数的图象变换，函数的图象．‎ ‎6．四位男演员与五位女演员（包含女演员甲）排成一排拍照，其中四位男演员互不相邻，且女演员甲不站两端的排法数为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：四位男演员互不相邻可用插入法，有种排法，其中女演员甲站在两端的方法有，因此所求排法数为．故选A．‎ ‎【考点】排列的综合应用．‎ ‎【名师点睛】对有限制条件的排列问题，我们可以采用优先法、捆绑法、插空法、缩倍法等特殊方法，如本题中有“在”或“不在”等限制条件时，对这种特殊元素或位置首先考虑排列，然后排列其他一般元素或位置，对不相邻问题，先把不受限制的元素排列好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空档中．‎ ‎7．已知为等差数列数列的前n项和.给出下列两个命题：‎ 命题：若都大于9，则大于11.‎ 命题：若不小于12，则中至少有1个不小于9.‎ 那么，下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由等差数列的性质知，则，命题为真，若、都小于9，则，因此命题为真，所以为真，故选C．‎ ‎【考点】等差数列的性质，复合命题的真假．‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，则输出的等于（ ）‎ A． B．‎0 C．1021 D．2045‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：依据程序框图，值依次为，，，，，，…，，，因此输出．故选C．‎ ‎【考点】程序框图 ‎9．设，且满足约束条件，且的最大值为7，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：作出可行域，如图四边形内部（含边界），再作直线，平移直线，当它过点时，取得最大值7，由解得，即，所以，，从而得，表示可行域内点与点连线斜率，，所以的最大值为．故选D．‎ ‎【考点】简单的线性规划的非线性应用．‎ ‎10．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由三视图知该几何体是一个半圆柱，上面有一个四面体，‎ ‎．故选B．‎ ‎【考点】三视图，体积．‎ ‎11．设函数与函数的图象恰有3个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：易，在时，不合题意，因此只能有，注意的函数定义域是，由题意方程有三个不同的解，即 有三个解，也可理解为直线与函数的三个交点．考虑函数，由知，当时，，当时，，因此在时，取得极大值也是最大值，而，因此当和时，递减，当时，递增，因此要使方程有三个解，则，即．故选C．‎ ‎【考点】函数的零点．‎ ‎【名师点睛】解决由函数零点（方程根）的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．常见的方法和技巧有：‎ ‎（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎（2）分离参数法：先将参数分离，转化为求函数值域问题加以解决．‎ ‎（3）数形结合：先对解析式变形，在同一坐标系中画出函数的图象，然后观察求解．此时需要根据零点个数命合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍．‎ ‎12．已知分别为数列与的前项和，若，则的最小值为（ ）‎ A.1023 B‎.1024 C.1025 D.1026‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：，所以，‎ ‎，所以，，由得，即，故最小值为1024．‎ ‎【考点】分组求和，裂项相消法求和，等比数列的和．‎ ‎【名师点睛】数列求和方法较多，根据数列的不同特征应采取不同的方法，常用方法有：分组求和法、裂项相消法、错位相减法、并项求和法、倒序相加法．‎ 二、填空题 ‎13．已知函数为奇函数，则 .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】试题分析：，所以，．‎ ‎【考点】函数的奇偶性．‎ ‎14．设，则为 .‎ ‎【答案】－2‎ ‎【解析】试题分析：令，则得，令得，，所以．‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎15．长方体的8个顶点都在球的球面上，为的中点，，异面直线与所成角的余弦值为，且四边形为正方形，则球的直径为 .‎ ‎【答案】4或 ‎【解析】试题分析：由于，因此就是异面直线与所成的角，即，设，则，，由余弦定理得，解得或．‎ ‎， 所以或，此即为球的直径．‎ ‎【考点】长方体与外接球．‎ ‎【名师点睛】在长方体或正方体中其对角线就是外接球的直径，因此本题实质就是求长方体的对角线长，从而只要求得三棱长即可．对其他的组合体的外接球要注意应用公式求解．‎ ‎16．如图，在中，，点为的中点，点为线段垂直平分线上的一点，且.固定边，在平面内移动顶点，使得 的内切圆始终与切于线段的中点，且在直线的同侧，在移动过程中，当取得最小值时，点到直线的距离为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：以为轴建立直角坐标系，则，设中点为，则由题意，因此点轨迹是以为焦点的双曲线在每一象限的部分，由得，双曲线方程为，，易知的最小值为，此时三点共线，直线方程为，由，解得（舍去），即点到直线的距离为．‎ ‎【考点】双曲线的综合应用．‎ ‎【名师点睛】在双曲线中求最值时经常考虑双曲线的定义，涉及到双曲线上的点到一个焦点的距离时，有时要利用定义转化为到另一个焦点的距离，再利用三角形的两边之和（差）大于（小于）第三边以及两点之间线段最短等几何性质求解．‎ 三、解答题 ‎17．在中，角的对边分别是，且.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）求证：边上的高依次成等差数列.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析．‎ ‎【解析】试题分析：（1）要求，如果能求得三角形的三边或其关系，再由余弦定理可得结论，因此对已知应用正弦定理可得 ‎，对，得，从而也有，由此可得；（2）三角形三边上的高，显然可以通过面积与边长联系，设边上的高分别为，则，因此要证明，就是要证，即要证，而这就是（1）中已知条件得出的结论，由此结论证毕．‎ 试题解析：（1）由正弦定理及得，又，‎ ‎∴，∴，∴，故由余弦定理得.‎ ‎（2）证明：设边上的高分别为，的面积为，则 ‎，∴，∵，∴，‎ ‎∴，∴，即，从而边上的高依次成等差数列.‎ ‎【考点】正弦定理与余弦定理，等差数列的判断．‎ ‎18．某脐橙基地秋季出现持续阴雨寡照等异常天气，对脐橙物候和产量影响明显，导致脐橙春季物候期推迟，畸形花增多，果实偏小，落果增多，对产量影响较大.为此有关专家提出2种在异常天气下提高脐橙果树产量的方案，每种方案都需分两年实施.实施方案1：预计第一年可以使脐橙产量恢复到灾前的1.0倍、0.8倍的概率分别是0.4、0.6；第二年可以使脐橙产量为第一年的1.25倍、1.1倍的概率分别是0.5、0.5. 实施方案2：预计第一年可以使脐橙产量恢复到灾前的1.2倍、0.8倍的概率分别是0.5、0.5；第二年可以使脐橙产量为第一年的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.6、0.4.实施每种方案第一年与第二年相互独立，令表示方案1实施两年后脐橙产量达到灾前产量的倍数，表示方案2实施两年后脐橙产量达到灾前产量的倍数.‎ ‎（1）分别求，的分布列和数学期望；‎ ‎（2）不管哪种方案，如果实施两年后，脐橙产量不高于和高于灾前产量的预计利润分别为12万元和20万元.为了实现两年后的平均利润更大，应该选择哪种方案？‎ ‎【答案】（1）分布列见解析，期望分别为；（2）应选择方案2．‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用相互独立事件同时发生的概率思想可求得 的所有可能取值及相应的概率，从而得分布列，再由期望公式可得期望，同理可得的分布列与期望；（2）平均利润可用概率进行估计，如方案1，利润1可估计为，同样计算方案2的利润，比较可得．‎ 试题解析：（1）的可能取值为，其分布列为 ‎0.88‎ ‎1‎ ‎1.1‎ ‎1.25‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ 的可能取值为，其分布列为 ‎0.88‎ ‎1‎ ‎1.2‎ ‎1.5‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎（2）设实施方案1、2的平均利润为利润1、利润2，根据题意：‎ 利润1（万元）‎ 利润2（万元），‎ ‎∴利润1<利润2，∴实施方案2平均利润更大，故应选择方案2.‎ ‎【考点】随机变量分布列，数学期望，用样本估计总体．‎ ‎19．如图，已知四棱台的上下底面分别是边长为3和6的正方形，，且底面，点分别在棱上，且，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）要证线面平行，一般要证线线平行，考虑到点的位置 ‎，，因此在线段上取一点，使得，可证是平行四边形，从而有线线平行，即得线面平行；（2）要求二面角．而从已知可得两两垂直，因此以所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，然后写出各点坐标，再求得平面和平面的法向量，由法向量的夹角可求得二面角（它们相等或互补）．‎ 试题解析：（1）证明：在线段上取一点，使得，连结.‎ ‎∵，，，∴,又,∴,‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）解；由题设知，两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别为 ‎.‎ 由题设知，.设是平面的一个法向量，则 ‎，即，取得，又平面的一个法向量，‎ ‎∴，故二面角的余弦值为.‎ ‎【考点】线面平行的判定，二面角．‎ ‎【名师点睛】求二面角，通常是用空间向量法，即建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角求得二面角．在用这种方法求解时，有一个易错的地方就是不判断二面角是锐角不是钝角，就想当然地认为法向量的夹角就是等于二面角．‎ ‎20．如图，为椭圆的左右焦点，是椭圆的两个顶点，，，若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”.直线与椭圆交于两点，两点的“椭点”分别为，已知以为直径的圆经过坐标原点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）试探讨的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）的面积为定值1.‎ ‎【解析】试题分析：（1）要求椭圆标准方程，一般要找到两个关于的等式，由椭圆的几何性质，题中两个线段长正好提供了两个等式，一个，即为，，即为，再由，可得值；（2）本小题是定值问题的研究，首先设，，写出“椭圆点”坐标，.由已知可得它们的关系：.接着考虑直线 ‎，分类讨论斜率不存在，以及斜率存在两种情形，对斜率不存在的特殊情形可直接求出点坐标，对斜率存在时，可设方程为，代入椭圆方程后可得，从而得，代入得的关系式，此时可验证下判别式，由直线与椭圆相交的弦长公式求得，由点到直线距离公式可求得上的高，从而求得．‎ 试题解析：（1）由题可得解得，故椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）设，，则，.由，即.（）‎ ‎①当直线的斜率不存在时，.‎ ‎②当直线的斜率存在时，设其直线为，联立得 ‎，则，，同理，代入（），整理得，此时，，∴.‎ 综上，的面积为定值1.‎ ‎【考点】椭圆的标准方程，解析几何中的新定义问题．‎ ‎【名师点睛】解答圆锥曲线中平面图形的面积问题，如果图形不是三角形，通常把它分割为几个三角形，然后利用弦长公式求得三角形的一边长，再利用点到直线的距离公式公式求得三角形的高，其边长与高通常都用直线的斜率表示，从而确定平面图形面积是定值．‎ ‎21．已知函数，且曲线与轴切于原点.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若恒成立，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由切线的定义可得，从而求得；（2）题设不等式问题，可先研究的解，不等式整理为，此式可转化为两个不等式组：或，因此可研究函数的单调性以便得出其正负的范围，从而可得出的正负或的根，求得．‎ 试题解析：（1）∵‎ ‎，‎ ‎∴，又，∴.‎ ‎（2）不等式，整理得 ‎，即或，‎ 令，，当时，；当时，，∴在单调递减，在单调递增，∴，‎ 即，‎ ‎∴当或时，；同理可得当时，.‎ ‎∴由恒成立可得，当或时，；‎ 当时，，故0和1是方程的两根，从而 ‎，‎ ‎∴.‎ ‎【考点】导数的几何意义，不等式恒成立，导数的综合应用．‎ ‎22．选修4-1：几何证明选讲 如图，在⊙的直径的延长线上取点，作⊙的切线，为切点，在上找一点，使，连接并延长交⊙于点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若⊙的半径为，，求的长.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）2．‎ ‎【解析】试题分析：（1）要证，可先证,由已知，，，再利用可得结论；（2）由，利用勾股定理可求得，从而得，在直角三角形中得，最后由相交弦定理可得．‎ 试题解析：（1）证明：连接，则，且为等腰三角形，则，‎ ‎∵,∴,∵,∴，∴.‎ ‎（2）在中，由于，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴，从而，‎ ‎∴，‎ 由相交弦定理可得，又，‎ ‎∴.‎ ‎【考点】直角三角形的判定，相交弦定理．‎ ‎23．选修4-4：坐标系与参数方程 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）写出曲线的参数方程；‎ ‎（2）在曲线上任取一点，过点作轴，轴的垂线，垂足分别为，求矩形的面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）（为参数）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由公式先把极坐标方程化为直角坐标方程，再由三角公式可把直角坐标方程化为参数方程；（2）利用参数方程可设点坐标为，这样易得矩形面积，对于此三角式，可设换元后转化为二次函数形式，从而求得最大值．‎ 试题解析：（1）由得，所以，即.‎ 故曲线的参数方程（为参数）.‎ ‎（2）由（1）可设点的坐标为，则矩形的面积为 令，，‎ ‎，‎ 故当时，.‎ ‎【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，直角坐标方程与参数方程的互化，参数方程的应用．‎ ‎24．选修4-5：不等式选讲 已知不等式对恒成立.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）不等式的解集为，不等式的解集为，试判断是否一定为空集？请证明你的结论.‎ ‎【答案】（1）；（2）不一定为空集.‎ ‎【解析】试题分析：（1）在时，原不等式可转化为，这样只要求得函数的最大值和最小值即可求得范围；（2）从不等式的形式知集合可为空集，也可能不为空集，而，取为最大值4，代入求得集合，发现，因此此时．‎ 试题解析：（1）不等式对恒成立等价于不等式对恒成立.‎ 设，则.‎ ‎∴，∴.‎ ‎（2）设，‎ 由的图象及知，当时，满足不等式的的最大可能取值为2.‎ 又，故当时，，当时，.‎ 即不一定为空集.‎ ‎【考点】不等式恒成立，绝对值不等式．‎