2018-2019学年甘肃省庆阳二中高二上学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年甘肃省庆阳二中高二上学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

庆阳二中2018-2019学年度第一学期高二数学（理科）第三次月考卷 命题人：孙 毅 审题人：杨立东 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2．请将答案正确填写在答题卡上。‎ 第1卷 （选择题）‎ 一、选择题。（每小题5分，共60分）‎ ‎1.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知是椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于，两点,若的周长为,则椭圆方程为(    )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,则的方程是(      )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.若,，且与的夹角为钝角,则的取值范围是(    )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.如图所示,在平行六面体中,为与的交点,若,,.则下列向量中与相等的向量是(     )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎6.双曲线的左、右焦点分别是,,过作倾斜角为的直线交双曲线 右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为(    )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知点为抛物线上的动点,点在轴上的射影是,点坐标为,则的最小值是(     )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.设分别是椭圆，的左右焦点，过的直线与相交于两点，且成等差数列，则的长为（   ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.设平面上有四个互异的点,,,,已知,则的形状是(   )‎ A.直角三角形          B.等腰三角形 C.等腰直角三角形       D.等边三角形 ‎10.已知双曲线的左、右焦点分别是、,其一条渐近线方程为,点在双曲线上.则  (   )‎ A.-12         B.-2          C.0           D.4‎ ‎11.在正三棱柱中, ,则与所成角的大小为(    )‎ A.60°        B.90°        C.105°       D.75°‎ ‎12.已知,分别为双曲线的左、右焦点, 为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为,则双曲线的离心率的取值范围是(    )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题。（每小题5分，共20分）‎ ‎13.若焦点在轴上的椭圆的离心率为,则等于__________‎ ‎14.设抛物线的焦点为,点若线段的中点在抛物线上,则到该抛物线准线的距离为________.‎ ‎15.已知向量,且与互相垂直,则__________.‎ ‎16.直线被抛物线截得线段的中点坐标是        .‎ 三、解答题。‎ ‎17.（10分） 根据下列条件求双曲线的标准方程. （1） 经过点,焦点在轴上; （2）与双曲线有相同的焦点,且经过点.‎ ‎18.（12分）已知抛物线的顶点在原点,过点且焦点在轴。‎ ‎（1）求抛物线方程；‎ ‎（2）直线过定点,与该抛物线相交所得弦长为,求直线的方程。‎ ‎19.（12分） 如图(1)所示,在中, ,,,、分别是、上的点,且,,将沿折起到的位置,使,如图(2)所示。若是的中点,求与平面所成角的大小;‎ ‎ ‎ ‎20.（12分） 在直三棱柱中,,,是中点. （1）求证:平面; （2）求点到平面的距离; ‎ ‎21.（12分） 如图,在四棱锥中,底面梯形中, ,平面平面,是等边三角形,已知,.‎ ‎（1）求证:平面平面;‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎22.（12分） 已知椭圆的离心率,并且经过定点.‎ ‎（1）求椭圆的方程;‎ ‎（2）问是否存在直线,使直线与椭圆交于两点,满足,若存在,求值,若不存在说明理由。‎ 高二（理科）数学参考答案 一、选择题 ‎1.答案：C 解析：双曲线的一个顶点坐标为,一条渐近线为,故由对称性知顶点到渐近线的距离,选C 考点:双曲线的几何性质,点到直线的距离。 点评:简单题,通过确定双曲线的顶点、渐近线方程,利用点到直线的距离公式计算。‎ ‎2.答案：A 解析：∵是椭圆的两个焦点∴,又根据椭圆的定义, 的周长,得,进而得,所以椭圆方程为.‎ ‎3.答案：B 解析：∵,∴∴  ∴  ∴双曲线的标准方程为,故选B.‎ ‎4.答案：B 解析：∵为钝角,∴,即,∴.‎ ‎5.答案： A 解析： ‎ ‎。答案选A。‎ ‎6.答案：B 解析：在直角中于是 从而有代入,得,故 ‎7.答案：C 解析：由已知得焦点，点在抛物线外，故选C ‎8.答案 C 解析 根据椭圆定义，知,两式相加得，即,而,所以，即 ‎9.答案：B 解析：,得,所以是等腰三角形.‎ ‎10.答案：C 解析：因为双曲线的渐近线为,所以=1,解得.所以双曲线的方程为.又因为点在曲线上,所以.又因为.所以∴.故选C.本题通过渐近线求出双曲线的方程.从而求出的值.在根据向量的数量积即可求出答案. 考点:1.双曲线的渐近线.2.向量的数量积.3.椭圆的标准方程.‎ ‎11.答案：B 解析：解法一： 设,,且令, 则,,,, , ‎ ‎, ∴, ∴, ∴ 解法二： 取的中点,建立如图所示的空间直角坐标系, 设,则,,,, ∴ ∴与所成的角为90°‎ ‎12.答案：A 解析：设,,‎ 故,‎ 为使得等号成立,由基本不等式可知,‎ 只有在时,取得最小值,‎ 故,‎ 又∵,∴.‎ 二、填空题 ‎13.答案：‎ 解析：依题意有,解得 ‎14.答案：‎ 解析：如图,由已知得点的纵坐标为1,横坐标为,即的坐标为,将其代入得,解得则点到准线的距离为. ‎ ‎15.答案：‎ 解析：‎ 答案： (3,2)‎ 解析： 设直线与抛物线交于,其中.‎ 联立方程组得,即,‎ ‎∴,∴中点坐标为.‎ 三、解答题 ‎17.答案：1.线的焦点在轴上 ∴设所求双曲线的方程为 ∵双曲线过点,∴ 解得或 (舍去),故所求双曲线的标准方程为 2.所求双曲线与双曲线有相同的焦点, 可设所求双曲线的方程为 ‎ 双曲线过点∴ 解得或 (舍去),故所求双曲线的标准方程为 解析：‎ ‎18.答案：1.设抛物线方程为抛物线过点,,得则 2.①当直线的斜率不存在时,直线与抛物线交于,弦长为,不合题意;‎ ‎②当直线的斜率存在时,设斜率为,直线为,消得,‎ 弦长解得得,‎ 所以直线方程为或 解析：‎ ‎19.答案：如图,以为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系, 则,,,. 所以,. 设平面法向量为. 则所以 则故, 又因为,所以. 设与平面所成角的大小为 ‎, 则. 故与平面所成角的大小为.‎ 解析：‎ ‎20.答案：1.连结交于,连结.因为,平面,平面,所以平面 2.因为为的中点,所以,建立如图所示的坐标系。     则,,, 所以,, 设平面的法向量为,则,取,所以所求距离 21.答案：1.证明:在中,由于,‎ ‎∴,故.‎ 又平面平面,平面平面,‎ 平面,∴平面,‎ 又平面,故平面平面 . 2.如图,以所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系,,,‎ 设平面的法向量为,‎ 则,‎ 即 令,则 ‎∴.‎ 设平面的法向量为,‎ 则,即,令,则,‎ ‎∴.‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ 解析：‎ ‎22.答案：1.因为E经过点(0, 1),所以,‎ 又因为椭圆E的离心率为 所以 ‎ 所以椭圆E的方程为: 2.设 (*)‎ 所以 由得 ‎ 又方程(*)要有两个不等实根, m的值符合上面条件,所以