专题22 数列的概念与表示法-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题22 数列的概念与表示法-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

‎【高频考点解读】‎ ‎1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)‎ ‎2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数 ‎【热点题型】‎ 热点题型一 由数列的前几项归纳数列的通项公式 例1、【2017课标3，理14】设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【变式探究】根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：‎ ‎(1)－1,7，－13,19，…；‎ ‎(2)，，，，，…；‎ ‎(3)，2，，8，，…；‎ ‎(4)5,55,555,5 555，…。‎ 解析：(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)。‎ ‎(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积。知所求数列的一个通项公式为an＝。‎ ‎(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察。即，，，，，…，从而可得数列的一个通项公式为an＝。‎ ‎(4)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝(10n－1)。‎ ‎【提分秘籍】‎ 用观察法求数列的通项公式的方法 ‎(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要遵循先整体—再局部—再整体的观察次序，以常见的基本数列为基础，如自然数列、奇数列、偶数列、变号数列((－1)n或(－1)n＋1)等，注意观察项与其项数n之间的关系，同时，可以采取诸如添项、通分、分割等办法转化为一些常见数列；‎ ‎(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想。‎ ‎ ‎ ‎【举一反三】 ‎ 下列公式可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是(　　)‎ A．an＝1 B．an＝ C．an＝2－ D．an＝ 解析：由an＝2－可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，…。‎ 答案：C 热点题型二 由an与Sn的关系求通项an ‎ 例2、已知数列{an}的前n项和Sn，分别求它们的通项公式an。‎ ‎(1)Sn＝2n2＋3n。‎ ‎(2)Sn＝3n＋1。‎ ‎(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，‎ 当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1。‎ 当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，‎ 所以an＝ ‎【提分秘籍】 ‎ 已知Sn求an的三个步骤 ‎(1)先利用a1＝S1求出a1。‎ ‎(2)用n－1替换Sn中n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式。‎ ‎(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为__________。‎ 热点题型三 由递推关系式求通项公式 例3．根据下列条件，确定数列{an}的通项公式。‎ ‎(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；‎ ‎(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2)；‎ ‎(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an。‎ 解析：(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，‎ ‎∴＝3，‎ ‎∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，‎ 又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，‎ ‎∴an＝2·3n－1－1。‎ ‎(2)∵an＝an－1(n≥2)，∴an－1＝an－2，…，a2＝a1。‎ 以上(n－1)个式子相乘得an＝a1···…·＝＝。‎ ‎(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，‎ ‎∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2)。‎ 当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝n2＋。‎ ‎【提分秘籍】‎ 由递推关系式求通项公式的类型与方法 ‎①已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解。‎ ‎②当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现＝f(n)时，用累乘法求解。‎ ‎【举一反三】 ‎ ‎(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于(　　)‎ A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋nln n D．1＋n＋ln n ‎(2)若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝__________。‎ ‎(2)由于＝2n，故＝21，＝22，…，＝2n－1，将这n－1个等式叠乘得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2。‎ 答案：(1) A ‎ ‎(2) 2。‎ 热点题型四 数列的性质及其应用 ‎ 例4、 (1)已知an＝，那么数列{an}是(　　)‎ A．递减数列 B．递增数列 C．常数列 D．摆动数列 ‎(2) 数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第2 015项为________。‎ 答案：(1)B (2) ‎【提分秘籍】‎ ‎1．解决数列的单调性问题可用以下三种方法 ‎(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列。‎ ‎(2)用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断。‎ ‎(3)结合相应函数的图象直观判断。‎ ‎2．解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值。‎ ‎【举一反三】 ‎ 设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为Tr，则T2 014的值为(　　)‎ A．－ B．－1 C. D．－2‎ 解析：由a2＝，a3＝－1，a4＝2可知，‎ 数列{an}是周期为3的周期数列，‎ 从而T2 014＝T2 013·a1＝(－1)671×2＝－2。‎ 答案：D ‎【高考风向标】‎ ‎ ‎ ‎1.【2017课标3，理14】设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等比数列的公比为 ，很明显 ，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：‎ ‎，由 可得： ，代入①可得，‎ 由等比数列的通项公式可得： .‎ ‎1．（2014·江西卷）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.‎ ‎(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.‎ ‎2．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．‎ ‎(1)证明：an＋2－an＝λ.‎ ‎(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．‎ ‎【解析】(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，‎ 两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.‎ 因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.‎ ‎(2)由题设，a1＝1，a‎1a2＝λS1－1，可得 a2＝λ－1，‎ 由(1)知，a3＝λ＋1.‎ 若{an}为等差数列，则‎2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4.‎ 由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，‎ a2n－1＝4n－3；‎ ‎{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.‎ 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.‎ 因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．‎ ‎3．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.‎ ‎(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明＋＋…＋＜.‎ ‎4．（2014·重庆卷）设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N*)．‎ ‎(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．‎ ‎(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n0)，因为所有AnBn相互平行且a1＝1，a2＝2，所以S梯形A1B1B‎2A2＝‎3m，当n≥2时，＝＝＝，‎ 故a＝a，‎ a＝a，‎ a＝a，‎ ‎……‎ a＝a 以上各式累乘可得a＝(3n－2)a，因为a1＝1，‎ 所以an＝.‎ ‎6．（2013·辽宁卷）下面是关于公差d>0的等差数列的四个命题：‎ p1：数列是递增数列；‎ p2：数列是递增数列；‎ p3：数列是递增数列；‎ p4：数列是递增数列．‎ 其中的真命题为(　　)‎ A．p1，p2 B．p3，p‎4 C．p2，p3 D．p1，p4‎ ‎【答案】D　【解析】因为数列{an}中d>0，所以{an}是递增数列，则p1为真命题．而数列{an＋3nd}也是递增数列，所以p4为真命题，故选D.‎ ‎7．（2013·全国卷）等差数列{an}前n项和为Sn.已知S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．‎ ‎【高考冲刺】‎ ‎1．数列1，－，，－，…的一个通项公式是(　　)‎ A．an＝(－1)n＋1(n∈N*)‎ B．an＝(－1)n－1(n∈N*)‎ C．an＝(－1)n＋1(n∈N*)‎ D．an＝(－1)n－1(n∈N*)‎ 解析：观察数列{an}各项，可写成：，－，，－，故选D。‎ 答案：D ‎2．已知数列的通项公式为an＝n2－8n＋15，则3(　　)‎ A．不是数列{an}中的项 B．只是数列{an}中的第2项 C．只是数列{an}中的第6项 D．是数列{an}中的第2项和第6项 解析：令an＝3，即n2－8n＋15＝3，整理得n2－8n＋12＝0，解得n＝2或n＝6。‎ 答案：D ‎3．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是(　　)‎ A．2n－1 B.n－1‎ C．n2 D．n 答案：D ‎4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18＝(　　)‎ A．36 B．35‎ C．34 D．33‎ 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，故a2＋a18＝34。‎ 答案：C ‎5．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，6) B．(－∞，4]‎ C．(－∞，5) D．(－∞，3]‎ 解析：数列{an}的通项公式是关于n(n∈N*)的二次函数，若数列是递减数列，则－≤1，即λ≤4。‎ 答案：B ‎6．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为(　　)‎ A. B. C．10 D．21‎ 当x＞时，f′(x)＞0，‎ 即f(x)在区间(0，)上递减；在区间(，＋∞)上递增，又5＜＜6，且f(5)＝5＋－1＝，f(6)＝6＋－1＝，所以f(5)＞f(6)，所以当n＝6时，有最小值。‎ 答案：B ‎7．数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝__________。‎ 解析：将a8＝2代入an＋1＝，可求得a7＝；再将a7＝代入an＋1＝，可求得a6＝－1；再将a6＝－1代入an＋1＝，可求得a5＝2；由此可以推出数列{an}是一个周期数列，且周期为3，所以a1＝a7＝。‎ 答案： ‎8．已知数列{an}满足a1＝，an－1－an＝(n≥2)，则该数列的通项公式an＝__________。‎ 答案： ‎9．如图，一个类似杨辉三角的数阵，则第n(n≥2)行的第2个数为__________。‎ ‎1‎ ‎3　3‎ ‎5　6　5‎ ‎7　11　11　7‎ ‎9　18　22　18　9‎ ‎…‎ 解析：由题意可知：图中每行的第二个数分别为3,6,11,18，…，即a2＝3，a3＝6，a4＝11，a5＝18，…，‎ ‎∴a3－a2＝3，a4－a3＝5，a5－a4＝7，…，an－an－1＝2n－3，∴累加得：an－a2＝3＋5＋7＋…＋(2n－3)，∴an＝n2－2n＋3。‎ 答案：n2－2n＋3‎ ‎10．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，求数列{an}的通项公式。‎ 解析：因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝①‎ 则当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝②‎ ‎①－②得3n－1an＝，所以an＝(n≥2)。‎ 由题意知a1＝，符合上式，所以an＝(n∈N*)。‎ ‎11．数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4。‎ ‎(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值。‎ ‎(2)对于n∈N*，都有an＋1＞an，求实数k的取值范围。‎ ‎12．设函数f(x)＝log2x－logx2(0－＝an。可知an＋1>an(n∈N*)，故此数列为递增数列。‎ 方法二：由＝ ‎＝<1，且an<0，得an＋1>an。‎ ‎ ‎