2018-2019学年安徽省蚌埠市第二中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年安徽省蚌埠市第二中学高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

蚌埠二中2018-2019学年第二学期期中考试 高二数学试题（理科）‎ ‎（满分150分，考试时间120分钟）‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知是虚数单位，复数z满足，则的虚部是 A．1 B． C．－1 D．‎ ‎2.利用反证法证明“若，则且”时，下列假设正确的是 A．且 B．且 C．或 D．或 ‎3.若，则的值为 A．1 B．7 C．20 D．35 ‎ ‎4. 展开式中，含项的系数为 A． 30 B．70 C．90 D．－150‎ ‎5.下面四个命题：其中正确的有 ‎①是两个相等的实数，则是纯虚数；②任何两个复数不能比较大小；‎ ‎③若，，且，则；④两个共轭虚数的差为纯虚数．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎6.在直角坐标平面内，由曲线，，和x轴所围成的封闭图形的面积为 A． B． C. D．‎ ‎7.已知，则的值等于 ‎ A．64 B．32 C. 63 D．31‎ ‎8.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为 A．232 B．252 C. 472 D．484‎ ‎9.设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则 A.f(x)的极大值为，极小值为 B. f(x)的极大值为，极小值为 C. f(x)的极大值为，极小值为 D. f(x)的极大值为，极小值为 ‎10. 在平面直角坐标系中，满足，，的点的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系中，满足,，， 的点的集合对应的空间几何体的体积为 A . B. C. D. ‎11. 函数 A.极大值为，极小值为B.极大值为，极小值为 C.极大值为，极小值为 D.极大值为，极小值为，‎ ‎12.设函数在上存在导函数，对于任意的实数，都，当时，，若，则实数的最小值为 A． B． C． D．‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.若函数不是单调函数，则实数的取值范围是　 　．‎ ‎14.将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不相同，则共有________种不同的放法.　 　　 　　 　‎ ‎15.设且，若能被整数，则　 　．‎ ‎16.如图所示的数阵中，第20行第2个数字是　 　．‎ 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17. （10分）已知复数满足（其中为虚数单位）‎ ‎（Ⅰ）求； （Ⅱ）若为纯虚数，求实数的值。‎ ‎18. （12分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求曲线的单调区间及在上的最大值．‎ ‎19. （12分）已知（，）展开式的前三项的二项式系数之和 为16，所有项的系数之和为1.‎ ‎（Ⅰ）求和的值；‎ ‎（Ⅱ）展开式中是否存在常数项？若有，求出常数项；若没有，请说明理由；‎ ‎（Ⅲ）求展开式中二项式系数最大的项.‎ ‎20. （12分）由四个不同的数字1，2，4，组成无重复数字的三位数.（最后的结果用数字表达）‎ ‎（Ⅰ）若,其中能被5整除的共有多少个？ ‎ ‎（Ⅱ）若，其中能被3整除的共有多少个？ ‎ ‎（Ⅲ）若，其中的偶数共有多少个？ ‎ ‎（Ⅳ）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求． ‎ ‎21. （12分）已知，‎ ‎（其中）.‎ ‎（Ⅰ）求及；‎ ‎（Ⅱ）试比较与的大小，并用数学归纳法给出证明过程.‎ ‎22. （12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当函数有两个零点，求实数a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎试卷答案 ‎1.C 2.C 3.D 4.B 5.A 6.A 7.C 8.C 9.D 10.B 11.B 12.A ‎13. 14.18 15.12 16. ‎ ‎17. (1) (2) ‎ ‎18. (1)；‎ ‎(2)单调递增区间为和,单调递减区间为,最大值为17.‎ ‎19.（1）由题意，，即.‎ 解得，或（舍去），所以.‎ 因为所有项的系数之和为1，所以，解得.‎ ‎（2）因为，.‎ 令，解得，所以展开式中不存在常数项.‎ ‎（3）由展开式中二项式系数的性质，知展开式中中间两项的二项式系数最大，二项式系数最大的两项为：； .‎ ‎20.解：（1）若x=5，则四个数字为1，2，4，5； ‎ 又由要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾， ‎ 在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32=6种情况， ‎ 即能被5整除的三位数共有6个； ‎ ‎（2）若x=9，则四个数字为1，2，4，9； ‎ 又由要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9， ‎ 取出的三个数字为1、2、9时，有A33=6种情况， ‎ 取出的三个数字为2、4、9时，有A33=6种情况， ‎ 则此时一共有6+6=12个能被3整除的三位数； ‎ ‎（3）若x=0，则四个数字为1，2，4，0； ‎ 又由要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4， ‎ 当末位是0时，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32=6种情况，‎ 当末位是2或4时，有A21×A21×A21=8种情况， ‎ 此时三位偶数一共有6+8=14个， ‎ ‎（4）若x=0，可以组成C31×C31×C21=3×3×2=18个三位数，即1、2、4、0四个数字最多出现18次， 则所有这些三位数的各位数字之和最大为（1+2+4）×18=126，不合题意，故x=0不成立； ‎ 当x≠0时，可以组成无重复三位数共有C41×C31×C21=4×3×2=24种，共用了24×3=72个数字，则每个数字用了=18次， ‎ 则有252=18×（1+2+4+x），解可得x=7． ‎ ‎21.‎ ‎（1）取x=1，则a0=2n； 取x=2，则a0+a1+a2+a3++an=3n，∴Sn=a1+a2+a3++an=3n-2n；‎ ‎（2）要比较Sn与（n-2）2n+2n2的大小， 即比较：3n与（n-1）2n+2n2的大小， 当n=1时，3n＞（n-1）2n+2n2； 当n=2，3时，3n＜（n-1）2n+2n2； 当n=4，5时，3n＞（n-1）2n+2n2 猜想：当n≥4时，3n＞（n-1）2n+2n2，‎ 下面用数学归纳法证明： 由上述过程可知，n=4时结论成立，‎ 假设当n=k，（k≥4）时结论成立，即3k＞（k-1）2k+2k2， 两边同乘以3得：3k+1＞3 [（k-1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k-3）2k+4k2-4k-2] 而（k-3）2k+4k2-4k-2=（k-3）2k+4（k2-k-2）+6=（k-3）2k+4（k-2）（k+1）+6＞0 ∴3k+1＞（（k+1）-1）2k+1+2（k+1）2 即n=k+1时结论也成立，∴当n≥4时，3n＞（n-1）2n+2n2成立．‎ ‎22.（1）解：由题意得 ‎①当时，令，则；令，则，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎②当时，令，则或，‎ ‎（ⅰ）当时，令，则或；令，则，‎ ‎∴在和上单调递增，在上单调递减；‎ ‎（ⅱ）当时，，∴在上单调递增；‎ ‎（ⅲ）当时，令，则或；令，则，‎ ‎∴在和上单调递增，在上单调递减；‎ ‎（2）由（1）得当时，在和上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极大值，‎ ‎∵，∴此时不符合题意；‎ 当时，在上单调递增，∴此时不符合题意；‎ 当时，在和上单调递增，在上单调递减；‎ ‎∴的处取得极大值，∵，∴此时不符合题意；‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∵，，∴在上有一个零点，‎ ‎（ⅰ）当时，令，当时，‎ ‎∵，‎ ‎∴在上有一个零点，∴此时符合题意；‎ ‎（ⅱ）当时，当时，，‎ ‎∴在上没有零点，此时不符合题意；‎ 综上所述，实数的取值范围为. ‎