数学卷·2018届江苏省淮安市高二上学期期末数学试卷（理科）（解析版）

数学卷·2018届江苏省淮安市高二上学期期末数学试卷（理科）（解析版）

‎2016-2017学年江苏省淮安市高二（上）期末数学试卷 ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.‎ ‎1．抛物线y2=4x的焦点坐标为　　．‎ ‎2．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是　　．‎ ‎3．双曲线﹣=1的渐近线方程是　　．‎ ‎4．“x＞1”是“x2＞1”的　　条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）‎ ‎5．过点（1，1）且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为　　．‎ ‎6．函数f（x）=xex的最小值是　　．‎ ‎7．两直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0，若l1⊥l2，则a=　　．‎ ‎8．过点（2，1）且与点（1，3）距离最大的直线方程是　　．‎ ‎9．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是　　．‎ ‎10．过点A（0，2）且与圆（x+3）2+（y+3）2=18切于原点的圆的方程是　　．‎ ‎11．底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为　　．‎ ‎12．已知函数f（x）满足f（1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞1，则f（x）＞x的解集是　　．‎ ‎13．如图，过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A作直线交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且=2，则椭圆的离心率是　　．‎ ‎14．已知函数f（x）=，若函数y=f（f（x）﹣2a）有两个零点，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．‎ ‎15．（14分）命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数，命题q：方程+=1表示双曲线．‎ ‎（1）当a=1时，判断命题p的真假，并说明理由；‎ ‎（2）若命题“p且q“为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，F为A1B1的中点．求证：‎ ‎（1）B1C∥平面FAC1；‎ ‎（2）平面FAC1⊥平面ABB1A1．‎ ‎17．（14分）如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．‎ ‎（1）设BC为xcm，AB为ycm，请写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；‎ ‎（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？‎ ‎18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的坐标为A（﹣1，2），B（1，4），C（3，2）．‎ ‎（1）求△ABC外接圆E的方程；‎ ‎（2）若直线l经过点（0，4），且与圆E相交所得的弦长为2，求直线l的方程；‎ ‎（3）在圆E上是否存在点P，满足PB2﹣2PA2=12，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎19．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，），椭圆上顶点为A，过点A作圆（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的两条切线分别与椭圆E相交于点B，C（不同于点A），设直线AB，AC的斜率分别为kAB，KAC．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）求kAB•kAC的值；‎ ‎（3）试问直线BC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．‎ ‎20．（16分）已知函数f（x）=lnx+ax，g（x）=ax2+2x，其中a为实数，e为自然对数的底数．‎ ‎（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）若函数y=f（x）的极大值为﹣2，求实数a的值；‎ ‎（3）若a＜0，且对任意的x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江苏省淮安市高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.‎ ‎1．抛物线y2=4x的焦点坐标为　（1，0）　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先确定焦点位置，即在x轴正半轴，再求出P的值，可得到焦点坐标．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，‎ p=2∴焦点坐标为：（1，0）‎ 故答案为：（1，0）‎ ‎【点评】本题主要考查抛物线的焦点坐标．属基础题．‎ ‎　‎ ‎2．命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是　∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜0”的否定是∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0；‎ 故答案为：∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0．‎ ‎【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．双曲线﹣=1的渐近线方程是　y=±x　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】把曲线的方程化为标准方程，求出a和b的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．‎ ‎【解答】解：双曲线，‎ ‎∴a=2，b=3，焦点在x轴上，‎ 故渐近线方程为 y=±x=±x，‎ 故答案为 y=±．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，本题的关键是求出a、b的值，要注意双曲线在x轴还是y轴上，是基础题．‎ ‎　‎ ‎4．“x＞1”是“x2＞1”的　充分不必要　条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ ‎【解答】解：由x2＞1得x＞1或x＜﹣1．‎ ‎∴“x＞1”是“x2＞1”的充分不必要条件．‎ 故答案为：充分不必要．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用向量相等的定义是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．过点（1，1）且与直线2x﹣y+1=0平行的直线方程为　2x﹣y﹣1=0　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】由直线的平行关系可设要求直线方程为2x﹣y+c=0，代点求c值可得．‎ ‎【解答】解：由直线的平行关系可设要求直线方程为2x﹣y+c=0，‎ 由直线过点（1，1）可得2×1﹣1+c=0，解得c=﹣1，‎ ‎∴所求直线方程为2x﹣y﹣1=0，‎ 故答案为：2x﹣y﹣1=0．‎ ‎【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．‎ ‎　‎ ‎6．函数f（x）=xex的最小值是　﹣　．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数的最小值．‎ ‎【解答】解：求导函数，可得y′=ex+xex，令y′=0可得x=﹣1‎ 令y′＞0，可得x＞﹣1，令y′＜0，可得x＜﹣1‎ ‎∴函数在（﹣∞，﹣1）上单调减，在（﹣1，+∞）上单调增 ‎∴x=﹣1时，函数y=xex取得最小值，最小值是﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．两直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0，若l1⊥l2，则a=　　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】利用直线相互垂直与斜率的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：当a=0或a=1时，不满足条件，舍去．‎ 两条直线的斜率分别为：，．‎ ‎∴l1⊥l2，∴k1k2==﹣1，解得a=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．过点（2，1）且与点（1，3）距离最大的直线方程是　x﹣2y=0　．‎ ‎【考点】确定直线位置的几何要素．‎ ‎【分析】过点A（2，1）且与点B（1，3）距离最大的直线l满足：l⊥AB．则kl•kAB=﹣1，即可得出．‎ ‎【解答】解：过点A（2，1）且与点B（1，3）距离最大的直线l满足：l⊥AB．‎ ‎∴kl•kAB=﹣1，‎ ‎∴kl=．‎ ‎∴直线l的方程 为：y﹣1=（x﹣2），化为x﹣2y=0．‎ 故答案为：x﹣2y=0．‎ ‎【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是　　．‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】由圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形．‎ ‎【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，‎ ‎∴圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，‎ 则圆锥的高h=2×sin60°=．‎ ‎【点评】考查了学生的空间想象力．‎ ‎　‎ ‎10．过点A（0，2）且与圆（x+3）2+（y+3）2=18切于原点的圆的方程是　（x﹣1）2+（y﹣1）2 =2　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】设所求的圆的圆心为M，可得M、O、C共线，故圆心M在直线y=x上，设所求的圆的圆心为M（a，a），又所求的圆过点A（0，2），可得圆心M还在直线y=1上，故M（1，1），求得半径AM的值，可得要求的圆的方程．‎ ‎【解答】解：圆C：（x+3）2+（y+3）2=18的圆心C（﹣3，﹣3）．‎ 根据两圆相切于原点，设所求的圆的圆心为M，可得M、O、C共线，‎ 故圆心M在直线y=x上，设所求的圆的圆心为M（a，a），‎ 又所求的圆过点A（0，2），故圆心M还在直线y=1上，故M（1，1），半径为AM=，‎ 故要求的圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2 =2，‎ 故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2 =2．‎ ‎【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，两圆相切的性质，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的体积为　　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】作出棱锥的高，则顶点在底面的射影为底面中心，利用正方形的性质可求出底面中心到底面顶点的距离，借助勾股定理求出棱锥的高，代入体积公式计算．‎ ‎【解答】解：取底面中心O，过O作OE⊥AB，垂足为E，连接SO，AO，‎ ‎∵四棱锥S﹣ABCD为正四棱锥，‎ ‎∴SO⊥平面ABCD，∵AO⊂平面ABCD，‎ ‎∴SO⊥AO．‎ ‎∵四边形ABCD是边长为2的正方形，‎ ‎∴AE=AB=1，∠OAE=∠BAD=45°，‎ ‎∴OE=AE=1，‎ ‎∵OE2+AE2=AO2，‎ ‎∴AO=，∵SA=，‎ ‎∴SO==1．‎ V=•SABCD•SO=•22•1=．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题考查了正三棱锥的结构特征和体积计算，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）满足f（1）=1，对任意x∈R，f′（x）＞1，则f（x）＞x的解集是　（1，+∞）　．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．‎ ‎【分析】题目给出的函数f（x）为抽象函数，没法代式求解不等式f（x）＞x，结合题目给出了对任意x∈R，f′（x）＞1这一条件，想到借助于辅助函数解决，令令g（x）=f（x）﹣x，然后分析g（x）在实数集上的单调性，又f（1）=1，可求出g（1）=0，最后用g（x）与0的关系求解不等式f（x）＞x的解集．‎ ‎【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x，则，g′（x）=f′（x）﹣1，‎ ‎∵f′（x）＞1，∴g′（x）＞0，所以函数g（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，‎ 又g（1）=f（1）﹣1=0，则由g（x）＞0，得g（x）＞g（1），即x＞1，‎ ‎∴f（x）﹣x＞0的解集为（1，+∞），也就是f（x）＞x的解集为（1，+∞）‎ 故答案为：（1，+∞）．‎ ‎【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，解答此题的关键是引入辅助函数g（x）．‎ ‎　‎ ‎13．如图，过椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点A作直线交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且=2，则椭圆的离心率是　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用等腰三角形的性质和向量相等运算即可得出点Q的坐标，再代入椭圆方程即可．‎ ‎【解答】解：∵△AOP是等腰三角形，A（﹣a，0）∴P（0，a）．‎ 设Q（x0，y0），∵=2，‎ ‎∴（x0，y0﹣a）=2（﹣a﹣x0，﹣y0）．‎ ‎∴，解得．‎ 代入椭圆方程得+=1，化为=．‎ ‎∴e===．‎ 故答案：‎ ‎【点评】熟练掌握等腰三角形的性质和向量相等运算、“代点法”等是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．已知函数f（x）=，若函数y=f（f（x）﹣2a）有两个零点，则实数a的取值范围是　∅　．‎ ‎【考点】函数零点的判定定理．‎ ‎【分析】画出函数图象，令f（f（x）﹣2a）=0⇒f（x）﹣2a=﹣2或f（x）﹣2a=1，⇒f（x）=2a﹣2或f（x）=2a+1，由函数函数f（x）=的值域为R，可得f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1都至少有一个零点，要使函数y=f（f（x）﹣2a）有两个零点，必满足f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1各有一个零点．‎ ‎【解答】解：函数y=的定义域是（0，+∞），令y′＞0，‎ 解得：0＜x＜e，令y′＜0，解得：x＞e，‎ 故函数y=在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，‎ 故x=e时，函数y=取得最大值，最大值是，函数y=x2﹣4（ x≤‎ ‎0）是抛物线的一部分．‎ ‎∴函数f（x）=的图象如下：‎ 令y=f（f（x）﹣2a）=0⇒f（x）﹣2a=﹣2或f（x）﹣2a=1，⇒f（x）=2a﹣2或f（x）=2a+1，‎ ‎∵函数函数f（x）=的值域为R，‎ ‎∴f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1都至少有一个零点，函数y=f（f（x）﹣2a）有两个零点，‎ 则必满足f（x）=2a﹣2和f（x）=2a+1各有一个零点． ‎ ‎∵2a+1＞2a﹣3，∴2a﹣2＜﹣4且2a+1＞⇒a∈∅，故答案为∅‎ ‎【点评】本题考查了利用数形结合的思想求解函数的零点问题，同时也考查了函数的单调性及分类讨论思想，属于难题．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．‎ ‎15．（14分）（2016秋•淮安期末）命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数，命题q：方程+=1表示双曲线．‎ ‎（1）当a=1时，判断命题p的真假，并说明理由；‎ ‎（2）若命题“p且q“为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】（1）若命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数为真命题，则f′（x）=3x2+2ax+a≥0恒成立，解出a的范围，可判断命题p的真假；‎ ‎（2）若命题“p且q“为真命题，则命题p，命题q均为真命题，进而可得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）若命题p：f（x）=x3+ax2+ax在R上的单调递增函数为真命题，‎ 则f′（x）=3x2+2ax+a≥0恒成立，‎ 故△=4a2﹣12a≤0，‎ 解得：a∈[0，3]，‎ 故当a=1时，命题p为真命题；‎ ‎（2）若命题q：方程+=1表示双曲线为真命题，‎ 则（a+2）（a﹣2）＜0．‎ 解得：a∈（﹣2，2），‎ 若命题“p且q“为真命题，‎ 则命题p，命题q均为真命题，‎ 故a∈[0，2）．‎ ‎【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，导数法研究函数的单调性，双曲线的标准方程等知识点，难度中档．‎ ‎　‎ ‎16．（14分）（2016秋•淮安期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1‎ 中，AC=BC，F为A1B1的中点．求证：‎ ‎（1）B1C∥平面FAC1；‎ ‎（2）平面FAC1⊥平面ABB1A1．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）如图所示取AB的中点E，连接CE，EB1，可得面B1CE∥平面FAC1，即B1C∥平面FAC1‎ ‎（2）只需证明C1F⊥面AA1C1B1B，即可得平面FAC1⊥平面ABB1A1．‎ ‎【解答】解：（1）证明：如图所示取AB的中点E，连接CE，EB1，‎ ‎∵F为A1B1的中点，∴C1F∥CE，AF∥B1E，且C1F∩AF=F，CE∩B1E=E，‎ ‎∴面B1CE∥平面FAC1，∵B1C⊂B1CE，‎ ‎∴B1C∥平面FAC1‎ ‎（2）证明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥面A1C1B1，∵C1F⊂面A1C1B1，∴A1A ‎⊥C1F，‎ ‎∵AC=BC，F为A1B1的中点，∴A1B1⊥C1F，且AA1∩A1B1，∴C1F⊥面AA1C1B1B，‎ C1F⊂面A1C1B1，∴平面FAC1⊥平面ABB1A1．‎ ‎【点评】本题考查了线面平行、面面垂直的判定，关键是空间位置关系的判定与性质的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎17．（14分）（2016秋•淮安期末）如图，在半径为30cm的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD（点A，B在直径上，点C，D在半圆周上），并将其卷成一个以AD为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）．‎ ‎（1）设BC为xcm，AB为ycm，请写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；‎ ‎（2）若要求圆柱体罐子的体积最大，应如何截取？‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】（1）设BC=x，求出AB，写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；‎ ‎（2）用x表示出圆柱的底面半径，得出体积V（x）关于x的函数，判断V（x）的单调性，得出V（x）的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）连接OC，设BC=x，则y=2，（其中0＜x＜30），‎ ‎（2）设圆柱底面半径为r，高为x，‎ 则AB=2=2πr，解得r=，‎ ‎∴V=πr2h=（900x﹣x3），（其中0＜x＜30）；‎ ‎∴V′=（900﹣3x2），令V′（x）=0，得x=10；‎ 因此V（x）=（900x﹣x3）在（0，10）上是增函数，在（10，30）上是减函数；‎ ‎∴当x=10时，V（x）取得最大值V（10）=，‎ ‎∴取BC=10cm时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为cm3．‎ ‎【点评】本题考查了圆柱的结构特征，圆柱与体积计算，用函数单调性求函数最值，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（16分）（2016秋•淮安期末）在平面直角坐标系xOy中，△ABC顶点的坐标为A（﹣1，2），B（1，4），C（3，2）．‎ ‎（1）求△ABC外接圆E的方程；‎ ‎（2）若直线l经过点（0，4），且与圆E相交所得的弦长为2，求直线l的方程；‎ ‎（3）在圆E上是否存在点P，满足PB2﹣2PA2=12，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法求△ABC外接圆E的方程；‎ ‎（2）分类讨论，利用韦达定理，结合弦长公式，求直线l的方程；‎ ‎（3）求出P的轨迹方程，与圆E联立，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，‎ 则，‎ 解得D=﹣2，E=﹣4，F=1，‎ ‎∴△ABC外接圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+1=0．‎ ‎（2）当直线l的斜率k不存在时，直线l的方程为x=0，‎ 联立，得或，‎ 弦长为2，满足题意．‎ 当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y﹣4=kx，即t=kx+4，‎ 联立，得（1+k2）x﹣（2k﹣2）x﹣2=0，‎ ‎△=[﹣（2k﹣2）]2+8（1+k2）=12k2+8k+12＞0，‎ 设直线l与圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），‎ 则，，‎ ‎∵弦长为2，∴ =2，‎ 解得k=1，∴直线l的方程为x﹣y+4=0．‎ ‎∴直线l的方程为x=0，或x﹣y+4=0．‎ ‎（3）设P（x，y），‎ ‎∵PB2﹣2PA2=12，A（﹣1，2），B（1，4），‎ ‎∴（x﹣1）2+（y﹣4）2﹣2（x+1）2﹣2（y﹣2）2=12，‎ 即x2+y2+6x+16y+5=0．‎ 与x2+y2﹣2x﹣4y+1=0相减可得2x+5y+1=0，‎ 与x2+y2﹣2x﹣4y+1=0联立可得29y2+14y+9=0，方程无解，‎ ‎∴圆E上不存在点P，满足PB2﹣2PA2=12．‎ ‎【点评】本题考查圆的方程，考查轨迹方程，考查直线与圆、圆与圆的位置关系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（16分）（2016秋•淮安期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，），椭圆上顶点为A，过点A作圆（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的两条切线分别与椭圆E相交于点B，C（不同于点A），设直线AB，AC的斜率分别为kAB，KAC．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）求kAB•kAC的值；‎ ‎（3）试问直线BC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意可得：2c=2， =1，又a2=b2+c2，联立解得求出椭圆的方程．‎ ‎（2）设切线方程为y=kx+1，则（1﹣r2）k2﹣2k+1﹣r2=0，设两切线AB，AD的斜率为k1，k2（k1≠k2），k1•k2=1，由切线方程与椭圆方程联立得：（1+4k2）x2+8kx=0，由此能求出直线BD方程，进而得到直线．‎ ‎（3）设B（x1，y1），C（x2，y2），kAB=k1，kAC=k2．设经过点A所作的圆的切线方程为：y=kx+1．与椭圆方程联立可得：（1+4k2）x2+8kx=0，解得x=0，x=，可得：xB，xC．yB，yC，kBC=．可得直线BC的方程，即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得：2c=2， =1，又a2=b2+c2，联立解得c=，a=2，b=1．‎ ‎∴椭圆的标准方程为=1．‎ ‎（2）A（0，1），设经过点A的圆（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的切线方程为：y=kx+1．‎ 则=r，化为：（r2﹣1）k2+2k+r2﹣1=0，‎ 则kAB•kAC==1．‎ ‎（3）设B（x1，y1），C（x2，y2），kAB=k1，kAC=k2．‎ 设经过点A的圆（x﹣1）2+y2=r2（0＜r＜1）的切线方程为：y=kx+1．‎ 联立，化为：（1+4k2）x2+8kx=0，‎ 解得x=0，x=，‎ ‎∴xB=，xC==．‎ yB=，yC=．‎ ‎∴kBC==．‎ ‎∴直线BC的方程为：y﹣=，‎ 令x=0，可得：y=．‎ ‎∴直线BC经过定点．‎ ‎【点评】‎ 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、圆的切线方程、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎20．（16分）（2016秋•淮安期末）已知函数f（x）=lnx+ax，g（x）=ax2+2x，其中a为实数，e为自然对数的底数．‎ ‎（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）若函数y=f（x）的极大值为﹣2，求实数a的值；‎ ‎（3）若a＜0，且对任意的x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），从而求出切线方程即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，得到函数的极大值，从而求出a的值即可；‎ ‎（3）即a≥，设g（x）=，根据函数的单调性求出g（x）的最大值，从而求出a的范围即可．‎ ‎【解答】解：（1）a=1时，f（x）=lnx+x，‎ f′（x）=1+，f（1）=1，f′（1）=2，‎ 故切线方程是：y﹣1=2（x﹣1），‎ 即：2x﹣y﹣1=0；‎ ‎（2）f（x）的定义域是（0，+∞），‎ f′（x）=+a=，‎ a≥0时，f（x）在（0，+∞）递增，无极值，‎ a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＜﹣，令f′（x）＜0，解得：x＞﹣，‎ 故f（x）在（0，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减，‎ 故f（x）的极大值是f（﹣）=ln（﹣）﹣1，‎ 若函数y=f（x）的极大值为﹣2，‎ 则ln（﹣）﹣1=﹣2，解得：a=﹣e；‎ ‎（3）若a＜0，且对任意的x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，‎ 即x∈[1，e]时，ax2﹣lnx﹣（a﹣2）x≥0恒成立．‎ 即a≥，设g（x）=，‎ 则g′（x）=，‎ 当x＞1时，g′（x）＞0，‎ ‎∴g（x）在区间（1，+∞）上递增，‎ ‎∴当x∈[1，e]时，g（x）≤g（e）=，‎ ‎∴a＜0，且对任意的．x∈[1，e]，f（x）≥（a﹣2）x恒成立，‎ ‎∴实数a的取值范围为[，0）．‎ ‎【点评】本题考查利用导数研究函数的极值以及由函数恒成立的问题求参数的取值范围，求解本题关键是记忆好求导的公式以及极值的定义，对于函数的恒成立的问题求参数，要注意正确转化，恰当的转化可以大大降低解题难度．‎ ‎　‎