天津市东丽区第一百中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 (1)
天津市第 100 中学 2019-2020 学年高二数学期中考试试卷
一、选择题（本大题共 8 小题）
1.设命题 2: , 2nP n N n ，则 P 为（ ）
A. 2, 2nn N n B. 2, 2nn N n
C. 2, 2nn N n D. 2, 2nn N n
【答案】C
【解析】
【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题 的否命题应该为 2, 2nn N n ≤ ，即本题
的正确选项为 C.
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2.已知向量 a =（2m+1，3，m-1），b =（2，m，-m），且 a //b ，则实数 m 的值等于（ ）
A. 3
2 B. 2 C. 0 D. 3
2
或 2
【答案】B
【解析】
【分析】
由空间向量共线的充要条件求解，即存在 ，使（2m+1，3，m-1）=λ （2，m，-m）．列方程
组解得 m ．
【详解】∵空间平面向量 a =（2m+1，3，m-1）， b =（2，m，-m），且 a ∥b ，
∴（2m+1，3，m-1）=λ （2，m，-m）=（2λ，λm，-λm），
∴
2 1 2
3
1
m
m
m m
，解得 m =-2.
故选：B.
【点睛】本题考查空间向量共线的充要条件．空间 ,a b
（ 0b
r r ）， / /a b 存在实数 ，使
得 λa b= ．
3.等比数列{ }na 的前 n 项和为 13n
nS a b ，则 a
b
（ ）
A. 3 B. 1 C. 1 D. 3
【答案】A
【解析】
13n
nS a b ， 1 1 , 2a S a b n 时, 2
1 2 ·3n
n n na S S a
,因为数列是等比数
列, 12 3a b a ,即 1
3b a ,故选 A.
点睛:本题考查等比数列的通项公式与求和公式,属于中档题目. 等比数列的判断方法有：(1)
定义法：若 1n
n
a qa
(q 为非零常数)或
1
n
n
a qa
(q 为非零常数且 n≥2 且 n∈ *N )，则 na 是
等比数列．(2)中项公式法：在数列 na 中， 0na 且 1 2n n na a a (n∈ *N )，则数列 na
是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成 · n
na c q (c，q 均是不为 0 的常数，
n∈ *N )，则 na 是等比数列．
4.关于 x 的不等式 0ax b 的解集是 1, ，则关于 x 的不等式 3 0ax b x 的解集是
( )
A. , 1 3, B. 1,3
C. 1,3 D. ,1 3,
【答案】C
【解析】
关 于 x 的 不 等 式 0ax b , 即 ax b 的 解 集 是 1, , 0a b ， ∴ 不 等 式
3 0ax b x ,可化为 1 3 0x x ，解得 1 3x- < < ，∴所求不等式的解集是
1,3 ,故选 C.
5.空间四边形 ABCD 中，若向量 ， ( 7, 1, 4)CD ，点 E，F 分别为线段 BC，
AD 的中点，则 EF
的坐标为（ ）
A. (2,3,3) B. ( 2, 3, 3) C. (5, 2,1) D.
( 5,2, 1)
【答案】B
【解析】
试 题 分 析 ： 取 中 点 ， 连 接
, , , 而
,故选 B.
考点：空间向量
6.已知数列 na 中， 1 11, 2 1 ,n n na a a n N S
为其前 n 项和， 5S 的值为（ ）
A. 63 B. 61 C. 62 D. 57
【答案】D
【解析】
解：由数列的递推关系可得： 1 11 2 1 , 1 2n na a a ，
据此可得：数列 1na 是首项为 2 ，公比为 2 的等比数列，则：
11 2 2 , 2 1n n
n na a ，
分组求和有： 5
5
2 1 2
5 571 2S
.
本题选择 D 选项.
7.在数列 na 中， 1 2a ， 1 1ln(1 )1
n na a
n n n
，则 na （ ）
A. 2 lnn n B. 2 ( 1)lnn n n
C. 2 lnn n n D. 1 lnn n n
【答案】C
【解析】
由 题 意 得 1
1
n na a
n n
ln( 1) lnn n ， n 分 别 用 取 1 ， 2 ， 3 （ n-1 ） 代 ， 累 加 得
1 ln ln1 ln , 2 ln , (ln 2)1
n n
n
a aa n n n a n nn n
，选 C.
8.设 0a b＞ ＞ ，则
2 1 1a ab a a b
的最小值是 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
原式化为 2 1 1
( )a ab ab ab a a b
，再利用基本不等式求解即可.
【详解】
2 1 1a ab a a b
2 1 1
( )
1 1( ) ( )
2 2
4
a ab ab ab a a b
ab a a bab a a b
当 1, ( ) 1ab a a b 时，等号成立，
2 1 1a ab a a b
的最小值是 4，
故选：D
【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式
中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的
条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
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二、填空题（本大题共 6 小题，共 24.0 分）
9.已知 a =（2，3，1），b =（-4，2，x）且 a ⊥b ，则|b |=______.
【答案】2 6
【解析】
【分析】
由 0a b 得 x ，再由模的坐标运算求模．
【详解】∵ a =（2，3，1），b =（-4，2，x）且 a ⊥ b ，
∴ a b =-8+6+x=0，
解得 x=2，
∴b =（-4，2，2），
∴| b |= 2 2 2( 4) 2 2 = 24 =2 6 .
故答案为：2 6 .
【点睛】本题考查向量垂直与数量积之间的关系，考查模的坐标运算． 0a b a b 是数
量积中的一个重要性质．
10.A 不等式 2
5 2( 1)
x
x
的解集是 .
【答案】
【解析】
试题分析：∵ 2
5 2( 1)
x
x
，∴ 2
5 2 0( 1)
x
x
，∴
2
2
2 5 3 0( 1)
x x
x
，∴
22 5 3 0{
1 0
x x
x
，
∴ 1 32 x 且 1x ，∴不等式 2
5 2( 1)
x
x
的解集是 1 1 132
， ，
考点：本题考查了分式不等式的解法
点评：熟练掌握分式不等式的解法是解决此类问题的关键，属基础题
11.等比数列{an}的各项均为实数，其前 n 项和为 Sn.已知 S3＝ 7
4
，S6＝ 63
4
，则 a8＝________.
【答案】32
【解析】
【分析】
利用等比数列的前 n 项和公式列方程求出首项和公差，进而可得 a8
【详解】设{an}的首项为 a1，公比为 q，
则
3
1
6
1
1 7
1 4
1 63
1 4
a q
q
a q
q
两式相除得
3
6
1
1
q
q
＝
3
3 3
1
1 1
q
q q
＝ 1
9
，
解得 1
1
4
2
a
q
，
所以 a8＝ 1
4 ×27＝25＝32.
故答案为：32．
【点睛】本题考查等比数列的通项公式和前 n 项和公式，考查了计算能力，是基础题.
12.在等差数列{an}中，S12＝354，前 12 项中偶数项和与奇数项和之比为 32∶27，则公差 d＝
________．
【答案】5
【解析】
354
{ 32
27
S S
S
S
奇 偶
偶
奇
＋ ＝ ，
＝ ， ∴S 奇＝162，S 偶＝192，∴6d＝30，d＝5
13.已知 p：(x－m)2>3(x－m)是 q：x2＋3x－4<0 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围为
________．
【答案】{m|m≥1 或 m≤－7}
【解析】
由命题 p 中的不等式(x－m)2>3(x－m)变形，得(x－m)(x－m－3)>0，解得 x>m＋3 或 x
0 时，不等式的解集为（- 1
a
，
6
a
）；a<0 时，不等式的解集为（ 6
a
，- 1
a
）.
【解析】
【分析】
（1）解不等式求出集合 A ， B ，再由集合运算法则计算．
（2）分类讨论， 0a ， 0a 时，方程 2 2 5 6 0a x ax 两根为 1
a
和 6
a
，按它们的大小
分类得解集．
【详解】（1）a=1 时，A={x|x2-5x-6<0}={x|-10，则- 1
a < 6
a
，不等式的解集为（- 1
a
， 6
a
）；
若 a<0，则- 1
a > 6
a
，不等式的解集为（ 6
a
，- 1
a
）；
综上知，a=0 时，不等式的解集为 R；
a>0 时，不等式的解集为（- 1
a
， 6
a
）；
a<0 时，不等式的解集为（ 6
a
，- 1
a
）.
【点睛】本题考查集合的运算，考查解一元二次不等式．解含参数的一元二次不等式一般要
分类讨论．注意分类讨论标准的确定．首先最高次项系数是否为 0，是正是负，其次相应二次
方程是否有实数解，是否有两个不等的实数解，第三如有两个不等实根，还要讨论这两根的
大小．
16.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为正方形，AA1=2，AB=1，E 为 AD 中点，F 为
CC1 中点.
（1）求证：AD⊥D1F；
（2）求证：CE//平面 AD1F；
（3）求 AA1 与平面 AD1F 成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 30
6
.
【解析】
【分析】
长方体中有垂直关系，因此以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直
角坐标系，写出各点坐标，
（1）求出两条直线的方向向量，由向量垂直得直线垂直；
（2）求直线方向向量，平面的法向量，由方向向量与法向量垂直，证得线面平行；
（3）求直线方向向量，平面的法向量，由直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值
等于线面角的正弦值，再计算余弦值．
【详解】（1）证明：以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1 为 z 轴，建立空间直角坐标
系，
A（1，0，0），D（0，0，0），D1（0，0，2），F（0，1，1），
AD
=（-1，0，0）， 1D F
=（0，1，-1），
1AD D F
=0，
∴AD⊥D1F.
（2）证明：E（ 1
2
，0，0），C（0，1，0），A（1，0，0），
D1（0，0，2），F（0，1，1），
CE
=（ 1
2
，-1，0）， 1AD
=（-1，0，2）， AF
=（-1，1，1），
设平面 AD1F 的法向量 n =（x，y，z），
则 1 2 0
0
n AD x z
n AF x y z
，取 z=1，得 n =（2，1，1），
∵ n CE = 1 2 ( 1) 1 0 12
=0，CE⊄平面 AD1F，
∴CE//平面 AD1F.
（3）解： 1AA
=（0，0，2），平面 AD1F 的法向量 n =（2，1，1），
设 AA1 与平面 AD1F 成角为θ，
则 sinθ=
1
1
AA n
AA n
=
2
2 6 =
1
6
，
cosθ= 211 ( )
6
= 30
6
.
∴AA1 与平面 AD1F 成角的余弦值为 30
6
.
【点睛】本题考明线线垂直，证明线面平行，求线面角，解题方法是建立空间直角坐标系，
用空间向量法求解．掌握平面的法向量和直线的方向向量是解题基础．
17.已知公差不为 0 的等差数列 na 的首项 1 2,a 且 1 2 41, 1, 1a a a 成等比数列.
（1）求数列 na 的通项公式;
（2）设 *
1
1 , ,n n
n n
b n Sa a
N 是数列 nb 的前 n 项和,求使 3
19nS 成立的最大的正整数 n .
【答案】（Ⅰ） 3 1na n ， *Nn .（Ⅱ） 11n .
【解析】
试题分析：（1）设数列 na 的公差为 d ，由 1 1a ， 2 1a ， 4 1a 成等比数列，得
23 3 3 3d d ，解得 3d . 从而求得 3 1na n .
（2）由（1）
1
1 1 1 1
3 3 1 3 2n
n n
b a a n n
， 得
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
3 2 5 3 5 8 3 3 1 3 2 2 3 2 19n
nS n n n
，解得 12n . 故最
大的正整数 11n .
试题解析：（Ⅰ）设数列 na 的公差为 d ，则 2 1na n d ， *Nn .
由 1 1a ， 2 1a ， 4 1a 成等比数列，得 2
2 1 41 1 1a a a ，
即 23 3 3 3d d ，得 0d （舍去）或 3d .
所以数列 的通项公式为 3 1na n ， *Nn .
（Ⅱ）因为 1
1 1 1 1 1
3 1 3 2 3 3 1 3 2n
n n
b a a n n n n
，
所以
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 2 5 3 5 8 3 3 1 3 2 3 2 3 2 2 3 2n
nS n n n n
.
由 3
19nS ，即
3
2 3 2 19
n
n
，得 12n .
所以使 3
19nS 成立的最大的正整数 11n .
18.如图所示，直角梯形 ABCD 中， / /AD BC ，AD AB ， 2 2AB BC AD ，四边形 EDCF
为矩形， 3CF ，平面 EDCF 平面 ABCD．
(1)求证： DF 平面 ABE；
(2)求平面 ABE 与平面 EFB 所成锐二面角的余弦值．
(3)在线段 DF 上是否存在点 P，使得直线 BP 与平面 ABE 所成角的正弦值为 3
4
，若存在，求
出线段 BP 的长，若不存在，请说明理由．
【答案】（I）见解析（II） 5 31
31
（III） 2BP
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）取 D 为原点，DA 所在直线为 x 轴，DE 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，由题意
可得平面 ABE 的法向量 3,0,1n ，且 1,2, 3DF ，据此有 0DF n ，则 / /DF
平面 ABE ．
（Ⅱ）由题意可得平面 BEF 的法向量 2 3, 3,4m ，结合(Ⅰ)的结论可得
5 31cos 31
m n
m n
，即平面 ABE 与平面 EFB 所成锐二面角的余弦值为 5 31
31
．
（Ⅲ）设 ,2 , 3DP DF ， 0,1 ，则 1,2 2, 3BP ，而平面
ABE 的法向量 3,0,1n ，据此可得 3sin cos , 4BP n ，解方程有 1
2
或
1
4
．据此计算可得 2BP ．
试题解析：
（Ⅰ）取 D 为原点， DA 所在直线为 x 轴， DE 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 1,0,0A ， 1,2,0B ， 0,0, 3E ， 1,2, 3F ，∴ 1, 2, 3BE ， 0,2,0AB ，
设平面 ABE 的法向量 , ,n x y z ，∴ 2 3 0,
2 0,
x y z
y
不妨设 3,0,1n ，又
1,2, 3DF ，
∴ 3 3 0DF n ，∴ DF n ，又∵ DF 平面 ABE ，∴ / /DF 平面 ABE ．
（Ⅱ）∵ 1, 2, 3BE ， 2,0, 3BF ，设平面 BEF 的法向量 , ,m x y z ，
∴ 2 3 0,
2 3 0,
x y z
x z
不妨设 2 3, 3,4m ，∴ 10 5 31cos 312 31
m n
m n
，
∴平面 ABE 与平面 EFB 所成锐二面角的余弦值为 5 31
31
．
（Ⅲ）设 1,2, 3DP DF ,2 , 3 ， 0,1 ，∴ ,2 , 3P ，
∴ 1,2 2, 3BP ，又∵平面 ABE 的法向量 3,0,1n ，
∴
2 2 2
3 3 3 3sin cos , 42 1 2 2 3
BP n
，∴ 28 6 1 0 ，∴ 1
2
或
1
4
．
当 1
2
时， 3 3, 1,2 2BP
，∴ 2BP ；当 1
4
时， 5 3 3, ,4 2 4BP
，
∴ 2BP ．
综上， 2BP ．
19.已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，公比 q＞0，S2=2a2-2，S3=a4-2，数列{an}满足 a2=4b1，
nbn+1-（n+1）bn=n2+n，（n∈N*）.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明数列{ nb
n }为等差数列；
（3）设数列{cn}的通项公式为：Cn= 2
4
n n
n n
a b n
a b n
， 为奇数
， 为偶数
，其前 n 项和为 Tn，求 T2n.
【答案】（1） 2n
na ；（2）证明见解析；（3） 2
7 12 7 49 9
n
n
nT .
【解析】
【分析】
（1）由等比数列的基本量法求解；
（2）求得 1 1b ，再证 1
1
n nb b
n n
为常数即可；
（3）先并项，设 2 1 2n n np c c ，然后有 2 1 2n nT p p p ，用错位相减法计算．
【详解】（1）由于等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，公比 q>0，S2=2a2-2，S3=a4-2，
所以 S3-S2=a4-2a2=a3，
整理得 2
2 2 22a q a a q ，
由于 a2≠0，
所以 q2-q-2=0，由于 q>0，
解得 q=2.
由于 a1+a2=2a2-2，解得 a1=2，
所以 2n
na .
（2）数列{an}满足 a2=4b1，解得 b1=1，
由于 nbn+1-（n+1）bn=n2+n，
所以 1 11
n nb b
n n
（常数）.
所以数列数列{ nb
n }是以 1 为首项 1 为公差的等差数列.
（3）由于数列数列{ nb
n }是以 1 为首项 1 为公差的等差数列.
所以 1 1nb n nn
，解得 2.nb n
由于数列{cn}的通项公式为：Cn= 2
4
n n
n n
a b n
a b n
， 为奇数
， 为偶数
，
所以令 2 1 2n n np c c = 2 1 2 22 1 2 (2 ) 2
2 4
n nn n =（4n-1） 4n-1.
所以 0 1 2 1
2 3 4 7 4 11 4 4 1 4n
nT n ①，
4 1 2 3
2 3 4 7 4 11 4 4 1 4n
nT n ②，
①-②得： 0 1 1
23 3 4 4 4 4 4n
nT -（4n-1） 4n，
整理得 2
4 13 3 4 4 1 44 1
n
n
nT n
，
故： 2
7 12 7 49 9
n
n
nT .
【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查用定义法证明等差数列，考查并项求和与错位
相减法求和．数列中数列求和是一个难点，如果数列的项中出现正负相间，可能考虑并项求
和法或分组求和法．在数列的项是一个等差数列与一个等比数列的项相乘所得时，用错位相
减法求和，如果项是等差数列相邻两项积的倒数，则用裂项相消法求和．
