专题62 绝对值不等式（押题专练）-2018年高考数学（理）一轮复习精品资料
1．已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}。
(1)求实数a，b的值；
(2)求＋的最大值。
解析：(1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，
则解得a＝－3，b＝1。
(2)＋＝＋
≤
＝2＝4，
当且仅当＝，即t＝1时等号成立，
故(＋)max＝4。
2．设函数f(x)＝|x－3|＋|2x－4|－a。
(1)当a＝6时，解不等式f(x)>0；
(2)如果关于x的不等式f(x)<0的解集不是空集，求实数a的取值范围。
3．设函数f(x)＝|2x＋2|－|x－2|。[KS5UKS5UKS5U]
(1)求不等式f(x)>2的解集；
(2)若对于∀x∈R，f(x)≥t2－t恒成立，求实数t的取值范围。
解析：(1)f(x)＝
当x<－1时，－x－4>2，x<－6，∴x<－6；
当－1≤x<2时，3x>2，x>，∴
2，x>－2，∴x≥2。
综上所述，不等式f(x)>2的解集为。
(2)由(1)可知f(x)min＝f(－1)＝－3，
若∀x∈R，f(x)≥t2－t恒成立，
则只需f(x)min＝－3≥t2－t⇒2t2－7t＋6≤0⇒≤t≤2，
所以实数t的取值范围为≤t≤2。[KS5UKS5UKS5U]
4．已知函数f(x)＝x|x－a|(a∈R)。
(1)若a＝2，解关于x的不等式f(x)0，
∴函数g(x)在(0,4]上单调递增，
∴g(x)max＝g(4)＝3。
又∵p′(x)＝1－＝，
∴p(x)在(0,2]上单调递减，[2,4]上单调递增。
∴p(x)min＝p(2)＝4。
故a∈(3,4)。
5．已知a∈R，设关于x的不等式|2x－a|＋|x＋3|≥2x＋4的解集为A。
(1)若a＝1，求A；
(2)若A＝R，求a的取值范围。
解析：(1)若a＝1，不等式化为|2x－1|＋|x＋3|≥2x＋4。
当x≤－3时，原不等式可化为－3x－2≥2x＋4，可得x≤－3；
当－3＜x≤时，原不等式可化为4－x≥2x＋4，可得－3＜x≤0；
当x＞时，原不等式可化为3x＋2≥2x＋4，可得x≥2。
综上，A＝{x|－3＜x≤0或x≥2}。
(2)当x≤－2时，|2x－a|＋|x＋3|≥0≥2x＋4成立；
当x＞－2时，|2x－a|＋|x＋3|＝|2x－a|＋x＋3≥2x＋4，
∴x≥a＋1或x≤，
∴a＋1≤－2或a＋1≤，
∴a≤－2。
综上，a的取值范围为a≤－2。
6．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3。
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围。
解析：(1)当a＝－2时，不等式f(x)1。
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值。
解析：(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝
当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；
当2a.
(1)当a＝1时，解这个不等式；
(2)当a为何值时，这个不等式的解集为R.
(2)∵|x＋3|＋|x－7|≥|x＋3－(x－7)|＝10对任意x∈R都成立，
∴lg(|x＋3|＋|x－7|)≥lg 10＝1对任意x∈R都成立，即lg(|x＋3|＋|x－7|)>a，
当且仅当a<1时，对任意x∈R都成立．
10．已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x＋1|.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)<3；
(2)若f(x)的最小值为1，求a的值．
解：(1)因为f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝
且f(1)＝f(－1)＝3，
所以f(x)<3的解集为{x|－12的解集；
(2)若二次函数y＝x2＋2x＋3与函数y＝f(x)的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．
解：(1)当m＝5时，f(x)＝
由f(x)>2易得不等式的解集为(－，0)．
(2)y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，该函数在x＝－1处取得最小值2，
在x＝－1处取得最大值m－2，
所以要使二次函数y＝x2＋2x＋3与函数y＝f(x)的图象恒有公共点，
只需m－2≥2，即m≥4.[KS5UKS5U]
故实数m的取值范围是[4，＋∞)．
12．设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1，记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.
(1)求M.
(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.
解：(1)f(x)＝2|x－1|＋x－1＝
当x≥1时，由f(x)≤1得x≤，故1≤x≤；
当x<1时，由f(x)≤1得x≥0，故0≤x＜1；
综上可知，f(x)≤1的解集为M＝.
[KS5UKS5U.KS5U
