学而思小升初培优六:数论综合-学生版

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学而思小升初培优六:数论综合-学生版

小升初培优(六):数论综合 专题回顾练习:‎ ‎1加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成个零件,第二道工序每名工人每小时可完成个零件,第三道工序每名工人每小时可完成个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?‎ ‎2甲、乙两数的最小公倍数是,乙、丙两数的最小公倍数是,甲、丙两数的最小公倍数是,那么甲数是多少? ‎ 例题解析 枚举法 枚举法(也称为穷举法)是把讨论的对象分成若干种情况(分类),然后对各种情况逐一讨论,最终解决整个问题。运用枚举法有时要进行恰当的分类,分类的原则是不重不漏。正确的分类有助于暴露问题的本质,降低问题的难度。数论中最常用的分类方法有按模的余数分类,按奇偶性分类及按数值的大小分类等。‎ 【例1】 求这样的三位数,它除以所得的余数等于它的三个数字的平方和。‎ ‎【分析】三位数只有个,可用枚举法解决,枚举时可先估计有关量的范围,以缩小讨论范围,减少计算量。设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为,,。由于任何数除以11所得余数都不大于,所以。‎ 从而,,。所求三位数必在以下数中:‎ 不难验证只有,两个数符合要求。‎ 【例1】 写出个都是合数的连续自然数。‎ ‎【分析】(法一)在寻找质数的过程中,我们可以看出以内最多可以写出个连续的合数:,,,,,,。我们把筛选法继续运用下去,把考查的范围扩大一些就行了。用筛选法可以求得在与之间共有个都是合数的连续自然数:,,,,,,,,,,,,。‎ ‎ (法二)如果设这个数分别是,,,,,如果能被到中任意一个数整除,那么,,,,,能分别被、、,,整除,所以,只要取即可得到符合条件的个数。‎ ‎ (法三)上面的方法虽然巧妙,但是计算非常困难,所以应该选取折中的方法,设这个数分别是,,,,,。所以只要使能被到的所有整数整除,并且保证和都是合数即可,通过试验可得到即是符合条件的值。‎ 【例2】 如图,有三张卡片,在它们上面分别写着,,。从中抽出一张、两张、三张,按任意次序排起来,可以得到不同的一位数、两位数、三位数。请将其中的素数都写出来。(素数即质数)‎ 【分析】 因为这三个数字的和为,能被整除,所以用这三个数字任意排成的三位数都能被整除,所以不可能是素数。再看两张卡片的情形。因为,根据同样的道理,用,组成的两位数也能被整除,因此也不是素数。这样剩下要讨论的两位数只有,,,这四个了。其中,,都是素数。最后一位数素数只有,。‎ ‎【拓展练习】、和都是两位数,、的个位分别是和,的十位是,如果它们满足等式,则。‎ 代数表示法 对于某些研究整数本身的特性的问题,若能合理地选择整数的表示形式,则常常有助于问题的解决。这些常用的形式有:‎ 1. 十进制表示形式:;‎ 2. 二进制表示形式:;‎ 3. 带余形式:;(奇数可以表示为,偶数表示为,其中为整数)‎ 4. 标准分解式:;‎ 5. 的乘方与奇数之积式:;(其中为奇数)。‎ 6. 最大公约数与系数之积式:,,其中,。‎ 7. 【例3】 求一个四位数,它的前两位数字及后两位数字分别相同,而该数本身等于一个整数的平方.‎ ‎【分析】设所求的四位数为,则,其中,。可见平方数被整除,从而被整除.因此,数能被整除,于是能被整除.但,以.于是,由此可知是某个自然数的平方.对,,,逐一检验,易知仅时,为平方数,故所求的四位数是。‎ ‎【拓展练习】一个两位数,其十位与个位上的数字交换以后,所得的两位数比原来小,则满足条件的两位数共有______个。‎ 【例1】 求一个最大的完全平方数,在划掉它的最后两位数后,仍得到一个完全平方(假定划掉的两个数字中的一个非零)。‎ ‎【分析】设 满足条件,令,其中。于是,即。因此,由此得,所以。 经验算,仅当时,满足条件。若则。因此,满足条件的最大的完全平方数为。‎ 【例2】 从自然数,,,,中,最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除?‎ ‎【分析】设,,,是所取出的数中的任意个数,则,,其中,是自然数。于是。上式说明所取出的数中任意个数之差是的倍数,即所取出的每个数除以所得的余数均相同。设这个余数为,则,,,其中,,是整数。于是。因为,所以,即,推知,,。因为,所以,从,,…,中可取,,,,共个数,它们中的任意个数之和能被整除。‎ 【例3】 如果被除余数为2,被除所得的余数为,求证:能被整除。(、都是自然数)‎ ‎【分析】(法一)设,,‎ ‎ 解方程组得到,所以能被整除。‎ ‎ (法二)由题目条件能被整除,即能被整除,继而得到能被整除,所以能被整除。‎ ‎【拓展练习1】如果是的倍数,证明:也是的倍数。(、都是自然数)‎ ‎【拓展练习2】如果是的倍数,求证也是的倍数。(、都是自然数)‎ ‎【拓展练习3】如果是的倍数,也是的倍数,求证是的倍数。(、、都是自然数)‎ 【例1】 有一个自然数,它除以、、所得到的商()与余数()之和都相等,这样的数最小可能是多少。‎ ‎【分析】‎ 至少为,‎ 至少为,‎ 至少为,[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ 最小为1081。‎ 如何计算一个自然数的约数个数:‎ a 将该自然数用标准分解式表达:;‎ b 将该自然数的约数用标准分解式表达:,则,,,;‎ c 对于任意的可以取值到这个整数;‎ d 根据乘法原理不同的约数有个。‎ 【例2】 在到中,恰好有个约数的数有几个?‎ ‎【分析】只能表示为,所以符合条件的数含有的不同质因数只有1个,且该质因数有个,注意到有个约数的数一定是质数的完全平方,,,,,,,,,这个数的平方数在到之间,共有个符合要求。‎ ‎【拓展练习】在到中,恰好有个约数的数有多少个?‎ 【例3】 两个自然数的平方差,则称这个自然数为“智慧数”比如,就是一个“智慧数”.在自然数列中从开始数起,试问第个“智慧数”是哪个数?并请你说明理由。‎ ‎【分析】显然不是“智慧数”,而大于的奇数,都是“智慧数”。‎ ‎,可见大于且能被整除的数都是“智慧数”而不是“智慧数”,由于=(其中、),当,奇偶性相同时,被整除。当,奇偶性相异时,为奇数,所以形如的数不是“智慧数”,在自然数列中前四个自然数中只有是“智慧数”,此后每连续四个数中有三个“智慧数”,由于,所以是第个“智慧数”。‎ ‎【拓展练习1】如果自然数使得和都恰好是平方数,试问能否是一个素数?‎ ‎【拓展练习2】将表示成两个自然数的倒数之和,有多少中表示方法?请给出所有的答案。‎ 13, 假设n是自然数,是的正约数.证明:不是完全平方。[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【分析】设,是正整数,如果是整数的平方,那么但这是不可能的,因为与都是完全平方,而由得出不是平方数。‎ 14, 设正整数 不等于、、。求证:、、这三个数中至少有一个不是完全平方数。‎ ‎【分析】、、这三个数中至少有一个不是完全平方数即可.‎ ‎ 用反证法,设…………………………⑴[来源:学科网ZXXK]‎ ‎ …………………………⑵‎ ‎ …………………………⑶‎ 其中、、是正整数.‎ 由⑴式知,是奇数,不妨设。‎ 代入有 即 …………………⑷‎ ‎⑷式说明也是奇数.于是由⑵、⑶知、是偶数,‎ 设,,代入⑵、⑶相减后除以有 。‎ 因是偶数,即是偶数,所以、同为偶数或同为奇数,从而和都是偶数,即是的倍数,因此是偶数.这与是奇数相矛盾,故命题正确。‎ 15, 将写成若干个(至少两个)连续自然数的和,有多少种不同的写法?给出全部可能的答案。‎ ‎【分析】设这个自然数可以表示为个连续自然数和的形式,如果是奇数,那么一定存在中间数,即为,则这个连续自然数的和为,即为一个奇数和一个自然数的乘积形式,如果是偶数,那么存在两个中间的数,即为,,则这 个联系自然数的和为,是奇数,为偶数,所以为整数,也是奇数与一个自然数的乘积形式。,其大于的奇约数有,,这三个,如果有奇数个连续自然数相加:‎ 当时,,即个连续的自然数,中间数为,有,,,,;‎ 当或时,在在自然数范围内没有符合条件的连续数。‎ 如果有偶数个连续自然数相加:‎ 当时,,即个自然数相加,中间两个数中较小的数是,有,;‎ 当时,,即个自然数相加,中间两数中较小的是,有,,,;‎ 当或时,自然数范围内不存在符合条件的连续数。‎ ‎ 所以符合条件的自然数一共有种。[来源:学科网]‎ 巅峰练习:‎ 1. 自然数的数字和用来表示。是否存在一个自然数,使得;‎ ‎[来源:Z*xx*k.Com]‎ 2. 一个三位数,个位和百位数字交换后还是一个三位数,它与原三位数的差的个位数字是7,试求它们的差。‎ 3. 如果被除余的倍数,被除余,求证:是的倍数。(、都是自然数)‎ 4. 红、黄、白、蓝卡片各一张,每张上写有一个数字。小明将这4张卡片如下图放置,使它们组成一个四位数,并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。‎ 小明发现,无论白色卡片上是什么数字,计算结果都是5544。那么红、黄、蓝三张卡上的数字分别是_____、_____、_____。 ‎ ‎ ‎
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