宁夏石嘴山市平罗中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题

宁夏石嘴山市平罗中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题

平罗中学2019-2020学年度第一学期第三次月考 高一数学 一．选择题（每小题只有一个正确答案。共60分） ‎ ‎1.已知集合，，则( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求集合，再求.‎ ‎【详解】或，.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算，属于简单题型.‎ ‎2.已知点在第三象限，则角的终边在（　 ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据同角三角函数间基本关系和各象限三角函数符号的情况即可得到正确选项.‎ ‎【详解】因为点在第三象限，则，，‎ 所以，‎ 则可知角的终边在第二象限.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查各象限三角函数符号判定，属基础题.相关知识总结如下：‎ 第一象限：；‎ 第二象限：；‎ 第三象限：；‎ 第四象限：.‎ ‎3.函数的零点所在区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 很明显函数在定义域内单调递增，函数在定义域内为连续函数，且：‎ ‎，‎ 利用函数零点存在定理可得：函数零点所在区间为.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：三个防范　一是严格把握零点存在性定理的条件，；‎ 二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；‎ 三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点.‎ ‎4.已知角的终边过点，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数的广义定义可得的值.‎ ‎【详解】因为，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的概念及定义，考查基本运算能力.‎ ‎5.下列函数中,在区间上为增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本初等函数的单调性逐一分析，即可确定答案.‎ ‎【详解】选项A，，底数，在上单调递增，故A正确;‎ 选项B，在上单调递增，则在上单调递减，故B错误；‎ 选项C，，底数，在上单调递减，故C错误；‎ 选项D，，在上单调递减，故D错误.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数单调性的判断，考查常见基本初等函数的单调性，属于基础题.‎ ‎6.在上，满足的的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数和的图像，根据图像求得不等式的解集.‎ ‎【详解】如图所示，在同一坐标系内作出在上的图像和的图像.由图可知：满足的的取值范围是.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎7.与角的终边相同的角的集合是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在范围内找出与角终边相同的角，然后可得出与角终边相同的角的集合.‎ ‎【详解】因为，所以角与角的终边相同，所以与角的终边相同的角的集合为.‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查终边相同的角的集合，一般要在范围内找出终边相同的角，并以此角来表示相应的集合，属于基础题.‎ ‎8.若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中函数的解析式，讨论对称轴与区间的位置关系求出结果 ‎【详解】函数的图象是开口方向朝上，以直线为对称轴的抛物线 又函数在区间上是减函数，‎ 故 解得 则实数的取值范围是 故选 ‎【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，由单调性来判断对称轴的位置，数形结合有助于解题 ‎9.设，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用所给的数所在的区间和指数函数的单调性比较大小即可.‎ ‎【详解】由题意可得：，，，‎ 指数函数单调递减，故，‎ 综上可得：.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．‎ ‎10.是奇函数，当时，，则（ ）‎ A. 2 B. ‎1 ‎C. -2 D. -1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数对称性特点进行求解即可 ‎【详解】是奇函数，，当时，，‎ 故选D ‎【点睛】本题考查奇函数具体函数值的求法，奇函数的对称性，属于基础题 ‎11.函数的图像的大致形状是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分x＞0与x＜0两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状．‎ ‎【详解】且，根据指数函数的图象和性质， ‎ 时，函数为减函数，时，函数为增函数，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】此题考查了函数的图象，熟练掌握指数函数的图象与性质是解本题的关键．‎ ‎12.函数则函数的零点个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 通过对式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数．‎ ‎【详解】函数的零点 即方程和的根，‎ 函数的图象如图所示：‎ 由图可得方程和共有个根，‎ 即函数有个零点,‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．‎ 二．填空题(每题5分，共20分)‎ ‎13.函数的定义域为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分式分母不为零、偶次根式被开方数大于等于零和对数真数大于零可构造不等式求得结果.‎ ‎【详解】由题意得：，解得：‎ 的定义域为：‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查具体函数定义域的求解问题，涉及到分式、偶次根式和对数的形式，关键是明确不同形式有意义的具体要求，属于基础题.‎ ‎14.已知幂函数的图象过点，则____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设幂函数解析式为，将点的坐标代入求出参数即可．‎ ‎【详解】解：设幂函数解析式为 因为函数过点 所以 解得 故答案为 ‎【点睛】本题考查待定系数法求幂函数的解析式，属于基础题．‎ ‎15.函数的单调减区间___________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当时，，由，得，所以减区间为．‎ ‎16.当时，若，则的值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出的取值范围，利用同角三角函数的基本关系可求出的值，再利用商数关系计算出的值，最后利用诱导公式得出的值.‎ ‎【详解】，，‎ 又，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 因此，．‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用同角三角函数的基本关系以及诱导公式求值，解题时要考查角的取值范围，确定所求三角函数值的符号，在利用诱导公式求值时，要注意角与角之间的关系，考查计算能力，属于中等题.‎ 三．解答题（6小题，共70分）‎ ‎17.，‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据的值得出集合，再由集合的补集运算得出；‎ ‎（2）先求出集合，再由，得出，分集合和两种情况讨论可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）若，则，所以，‎ ‎（2）由得，所以，‎ 因为，所以，‎ ‎①当时，，；‎ ‎②当时，即时，要使，则需，解得，解得，‎ 所以此时无解.‎ 综上：实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查集合间的子集关系和并集、补集运算，由集合的并集结果得出集合间的子集关系是本题的关键，注意需考虑子集是空集和不是空集的情况分类讨论，属于基础题.‎ ‎18.已知角的终边在直线上. ‎ ‎（1）求，的值 ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）角的终边在第一象限，，，角的终边在第三象限，，；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分角的终边在第一象限和第三象限两种情况分类讨论，分别在直线上取一点，再求得，再根据，的定义可求得，的值；‎ ‎（2）运用三角函数的诱导公式化简所求的表达式，再根据同角三角函数的关系将所求的表达式转化为关于角的正切的关系式，代入其值可得解.‎ ‎【详解】（1）若角的终边在第一象限，取直线上一点，则，‎ 所以，，‎ 若角的终边在第三象限，取直线上一点，则，‎ 所以，，‎ 综上：角的终边在第一象限，，，‎ 角的终边在第三象限，，，‎ ‎（2）由（1），所以 ‎，‎ 所以的值为.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的定义和三角函数的诱导公式和同角三角函数的关系，在求三角函数的值时，注意分终边在第一象限和第三象限两种情况讨论，属于基础题.‎ ‎19.已知函数；‎ ‎（1）求函数的最小正周期和函数的单调递增区间；‎ ‎（2）求函数在上的最大值与最小值及对应的的值.‎ ‎【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据正弦函数的周期公式 ,即可求得函数的周期.利用正弦函数的单调性求得函数的单调递增区间.‎ ‎(2)根据正弦函数的定义域的单调性,即求得函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【详解】（1） 得:‎ 根据正弦函数的周期公式 得:‎ 又 的单调增区间为: ‎ ‎ 单调增区间为: ‎ 化简可得: ‎ ‎ 函数的单调递增区间为: ‎ ‎(2)由上问可知的单调递增区间为: ‎ ‎ 在上单调递增, 在上单调递减,‎ ‎ 在 处取得最大值为:‎ ‎ 在 处取得最小值为: ‎ 综上所述:当 ,取得最大值为 当,,取得最小值为 ‎【点睛】本题考查了正弦函数的周期公式,单调区间和最值问题,熟练掌握正弦函数的相关知识,并且能够灵活运用是解本题关键.‎ ‎20.已知.‎ ‎（1）化简；‎ ‎（2）若为第三象限角，且，求的值；‎ ‎（3），求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用诱导公式“奇变偶不变,符号看象限”化简即可. (2)利用诱导公式算出,再由(1),利用 计算即可.注意为第三象限角. (3)利用诱导公式进行化简计算即可.‎ ‎【详解】(1)；‎ 即 (2) ,故,因为为第三象限角,‎ 故,即. (3)当时,‎ ‎,‎ 故此时.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式.‎ ‎21.指数函数的图像过点 ‎（1）求的零点.‎ ‎（2）讨论根的个数.‎ ‎【答案】（1）2（2）答案不唯一，具体见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意先求出的表达式，再令求解出具体的的值，再验证合理性即可；‎ ‎（2）先画出的图像，再令 ‎【详解】设（且）‎ ‎，∴‎ ‎①‎ 或 即，∴，无解 则零点为2‎ ‎②画出的图像，令 结合数形结合的思想，‎ 当时，根的个数为0；‎ 当或时，根的个数为1；‎ 当时，根的个数为2‎ ‎【点睛】本题考查指数函数解析式的求法，函数零点的求值，分类讨论求解函数零点个数，数形结合思想，函数表达式整体添加绝对值的含义是函数值为负值部分要向上翻折，数形结合为函数中的重要思想，应重点培养，属于中档题 ‎22.已知定义域为的函数是奇函数 ‎（1）求实数的值（2）判断并证明在上的单调性 ‎（3）若对任意实数,不等式恒成立,求的取值范围 ‎【答案】（1）（2）见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由是上的奇函数，得，且，代入可得 的值；（2）由的解析式，用单调性定义可以证明是定义域上的减函数；（3）对任意实数，不等式恒成立，结合奇函数可得对恒成立，即可求得的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由于定义域为的函数是奇函数,‎ ‎∴‎ ‎∴经检验成立 ‎（2）在上是减函数.‎ 证明如下:设任意 ‎∵∴‎ ‎∴在上是减函数 ,‎ ‎（3）不等式,‎ 由奇函数得到所以,‎ 由在上是减函数,∴对恒成立 ‎∴或 综上:.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性的性质和应用，以及不等式恒成立问题.解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.‎ ‎ ‎