数学文卷·2018届天津市部分区(武清区等)高三上学期期末考试(2018

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数学文卷·2018届天津市部分区(武清区等)高三上学期期末考试(2018

天津市部分区2017-2018学年度第一学期期末考试 高三数学(文)‎ 第Ⅰ卷(共40分)‎ 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知全集,集合,集合,则集合( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为( )‎ A. 7 B. 6 C. 5 D.4‎ ‎3. 一个四棱柱的三视图如图所示,该四棱柱的体积为( )‎ A.12 B.24 C.36 D. 48‎ ‎4.设,若“”是“”的充分而不必要条件,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 已知双曲线的一个焦点为,一条渐近线的斜率为,则该双曲线的方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知函数,且,则实数的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.设函数,其图象的一条对称轴在区间内,且的最小正周期大于,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 如图,平面四边形中,,,点在对角线上,,则的值为( )‎ A. 17 B.13 C. 5 D.1‎ 第Ⅱ卷(共110分)‎ 二、填空题(每题5分,满分30分,将答案填在答题纸上)‎ ‎9.已知,为虚数单位,若为纯虚数,则的值为 .‎ ‎10.已知函数,为的导函数,则的值为 .‎ ‎11.阅读如图所示的程序框图,若输入的分别为1,2,运行相应的程序,则输出的值为 .‎ ‎12.已知函数,则的最小值为 .‎ ‎13.以点为圆心的圆与直线相切于点,则该圆的方程为 .‎ ‎14.已知函数,函数,若函数有4个零点,则实数的取值范围为 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎15.某公司需要对所生产的三种产品进行检测,三种产品数量(单位:件)如下表所示:‎ 产品 A B C 数量(件)‎ ‎180‎ ‎270‎ ‎90‎ 采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取6件.‎ ‎(1)求分别抽取三种产品的件数;‎ ‎(2)将抽取的6件产品按种类编号,分别记为,现从这6件产品中随机抽取2件.‎ ‎(ⅰ)用所给编号列出所有可能的结果;‎ ‎(ⅱ)求这两件产品来自不同种类的概率.‎ ‎16. 在中,角的对边分别为,且满足.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,求的值.‎ ‎17. 如图,在多面体中,已知是边长为2的正方形,为正三角形,分别为的中点,且,.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求证:平面;‎ ‎(3)求与平面所成角的正弦值.‎ ‎18. 已知为等差数列,且,其前8项和为52,是各项均为正数的等比数列,且满足,.‎ ‎(1)求数列和的通项公式;‎ ‎(2)令,数列的前项和为,若对任意正整数,都有成立,求实数的取值范围.‎ ‎19. 设椭圆的左焦点为,离心率为,为圆的圆心.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点,过且与垂直的直线与圆交于两点,求四边形面积的取值范围.‎ ‎20. 已知函数,.‎ ‎(1)求的单调区间;‎ ‎(2)若图像上任意一点处的切线的斜率,求的取值范围;‎ ‎(3)若对于区间上任意两个不相等的实数都有成立,求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题:‎ ‎1-4 BDCA 5-8 BDCA 二、填空题:‎ ‎9. 10. 11. 12. 13. 14. ‎ 三、解答题:‎ ‎15.解:(I)设产品抽取了件,则产品抽取了件,产品抽取了件, ‎ ‎ ‎ 所以A、B、C三种产品分别抽取了2件、3件、1件. ‎ ‎(II)(i)设产品编号为; 产品编号为产品编号为. ‎ 则从这6件产品中随机抽取2件的所有结果是:‎ 共个 ‎ ‎(ii)根据题意,这些基本事件的出现是等可能的;‎ 其中这两件产品来自不同种类的有:‎ 共11个. ‎ 因此这两件产品来自不同种类的概率为 ‎ ‎16.解:(1)由及正弦定理得:‎ 即 由余弦定理得:,‎ 所以 ‎(II)由及 得 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎17.(1)证明:如图1,取的中点,连接,‎ 因为,分别为的中点,所以,‎ 因为为的中点,,‎ 所以,所以四边形为平行四边形,所以,‎ 又因为平面,平面,‎ 所以平面.‎ ‎(II)证明:因为,,所以,‎ 在正方形中,,所以平面. ‎ 又平面,所以,‎ 在正三角形中,所以平面. ‎ ‎(III)如图2,连接,由(I)(II)可知平面. ‎ 所以为与平面所成的角 .‎ 在中,,,‎ 所以,所以. ‎ ‎18.解:(Ⅰ)在等差数列中,‎ 由 ‎ 得, ‎ 所以 在各项均为正数的等比数列中,‎ 由 ‎ 得 ‎ 所以 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知 所以 因为对任意正整数,都有成立 即对任意正整数恒成立,所以. ‎ ‎19.解:(Ⅰ)由题意知,则, ‎ 圆的标准方程为,从而椭圆的左焦点为,即, ‎ 所以,又,得. ‎ 所以椭圆的方程为:. ‎ ‎(Ⅱ)可知椭圆右焦点. ‎ ‎(ⅰ)当l与x轴垂直时,此时不存在,直线l:,直线,‎ 可得:,,四边形面积12. ‎ ‎(ⅱ)当l与x轴平行时,此时,直线,直线,‎ 可得:,,四边形面积为. ‎ ‎(iii)当l与x轴不垂直时,设l的方程为,并设,.‎ 由得. ‎ 显然,且, . ‎ 所以. ‎ 过且与l垂直的直线,则圆心到的距离为,所以 ‎. ‎ 故四边形面积:.‎ 可得当l与x轴不垂直时,四边形面积的取值范围为(12,). ‎ 综上,四边形面积的取值范围为. ‎ ‎20.解:(I)由得 ‎ 因为,所以 ‎ ‎ ‎ 所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为. ‎ ‎(II)由(I)可知 所以, ‎ 由,得,即 ‎ 又因为,所以的取值范围为. ‎ ‎(Ⅲ)不妨设,‎ 当时,在区间上恒单调递减,有 ‎①当时,在区间上恒单调递减,‎ ‎,‎ 则等价于,‎ 令函数,由知在区间上单调递减,‎ ‎,当时,,‎ 即,求得:‎ ‎② ‎ ‎③当,在区间上恒单调递增,‎ 则等价于,‎ 令函数,由知在区间上单调递减,‎ ‎,当时,,‎ 即,求得,‎ 由得的取值范围为.‎
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