甘肃省兰州市兰大附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

甘肃省兰州市兰大附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 含解析

甘肃省兰州市2019-2020年兰大附中高一上学期数学期中试卷 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卡上.‎ ‎1.已知实数集,集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的定义域求得集合，根据交集的概念和运算求得的值.‎ ‎【详解】由题意得，故.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.‎ ‎2.在区间上增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】在区间上是增函数，没有增区间，与在上递减，在上递增，故选A ‎3.不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用一元二次不等式的解法即可得出．‎ ‎【详解】∵‎ ‎∴‎ 解得：，即不等式的解集为 故选：A ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题，易错点是忘记把二次项系数化“+”.‎ ‎4.下列函数中，值域为的是()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出每一个选项的函数的值域即得解.‎ ‎【详解】对于选项A,函数的值域为，所以该选项不符；‎ 对于选项B,函数的值域为R，所以该选项不符；‎ 对于选项C,函数的值域为，所以该选项不符；‎ 对于选项D, 函数的值域为[0,1],所以该选项符合.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查函数值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎5.下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）‎ A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据同一函数的要求，定义域相同，对应法则相同，分别对四个选项进行判断，得到答案.‎ ‎【详解】表示同一个函数，要求两个函数的定义域相同，对应法则相同，‎ 选项中，定义域为，定义域为，故不是同一函数，‎ 选项中，定义域为，定义域为，故不是同一函数，‎ 选项中，和对应法则不同，故不是同一函数，‎ 选项中，和定义域相同，都是，化简后，对应法则也相同，故是同一函数，‎ 故选项.‎ ‎【点睛】本题考查对两个函数是否是同一函数的判断，属于简单题.‎ ‎6.已知函数定义域为，则函数的定义域为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得定义域，根据分式和复合函数定义域的要求可构造不等式求得结果.‎ ‎【详解】定义域为 ，即定义域为 由题意得：，解得：或 定义域为：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查函数定义域的求解问题，关键是能够通过复合函数定义域确定定义域，从而利用分式和复合函数定义域的要求构造不等式.‎ ‎7.已知定义在上的奇函数和偶函数，则（　　）‎ A. 是奇函数 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 是偶函数 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐个选项去判断是否是奇函数或者偶函数。‎ ‎【详解】A．若f（x）=x，g（x）=2，满足条件，则f（x）+g（x）不奇函数，故A错误， ‎ B．|f（-x）|g（-x）=|-f（x）|g（x）=|f（x）|g（x）是偶函数，故B错误， ‎ C．f（-x）•g（-x）=-f（x）•g（x），则函数是奇函数，故C错误， ‎ D．f（|-x|）•g（-x）=f（|x|）•g（x），则f（|x|）•g（x）是偶函数，故D正确 ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，结合函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键．‎ ‎8.已知函数，若，则的值（ ）‎ A. 3 B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别令分段函数中的每一段解析式的函数值为列方程，由此解得的值.‎ ‎【详解】由，得（舍）；由， ，得；由得（舍）；综上 故选：C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据分段函数的函数值求对应的自变量，属于基础题.‎ ‎9.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 代入特殊值和后排除选项，得到正确答案.‎ ‎【详解】当时，，排除B,D，当时，，排除A,只有C符合条件，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了由解析式判断函数图象，根据图象需分析函数的定义域和奇偶性，特殊值的正负，以及是否过定点等函数的性质，从而排除选项，本题意在考查分析和解决问题的能力.‎ ‎10.‎ 设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则f（﹣2），f（3），f（﹣π）的大小顺序是（　　）‎ A. f（3）＞f（﹣2）＞f（﹣π）‎ B. f（﹣π）＞f（﹣2）＞f（3）‎ C. f（﹣2）＞f（3）＞f（﹣π）‎ D. f（﹣π）＞f（3）＞f（﹣2）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为f（x）是R上的偶函数，所以 ，因为 在[0，+∞）上单调递增，所以 ，所以 。故选D。‎ ‎11.若二次函数对任意的，且，都有，则实数的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可知，在上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解．‎ ‎【详解】∵二次函数对任意的，且，都有，‎ ‎∴在上单调递减，‎ ‎∵对称轴，‎ ‎∴，解可得，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化，属于中档题.‎ ‎12.已知在上单调递减，则实数a的取值范围为 （　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知，在各自的区间上均应是减函数，且当时，应有，求解即可．‎ ‎【详解】由已知，在上单减，‎ ‎∴，①‎ 在上单调递减， ∴，解得②‎ 且当时，应有，‎ 即，∴ ③，‎ 由①②③得，的取值范围是，故选B．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的单调性，严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小．特别注意的最小值大于等于的最大值，属于中档题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在答题卡的横线上.‎ ‎13.设集合，，若A＝B，则______‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 首先根据两集合相等，列出对应的方程组，求出参数的值之后再验证是否满足集合中元素的互异性，对所求的值进行相应的取舍，最后求得结果.‎ ‎【详解】因为，若，‎ 则或，解得或，‎ 当时，不成立，‎ 当时，，满足条件，‎ 所以，故选C.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关利用集合相等，求参数的值的问题，在解题的过程中，需要明确两集合相等的条件是两个集合中元素是完全相同的，得到相应的方程组，求出结果之后需要对所求结果进行验证，是否满足元素的互异性，从而求得结果.‎ ‎14.函数的单调递减区间为_____．‎ ‎【答案】（﹣∞，﹣3]．‎ ‎【解析】‎ 由题意得 ，即单调递减区间为（﹣∞，﹣3]．‎ 点睛：1．复合函数单调性的规则 若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．‎ ‎2．函数单调性的性质 ‎(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；‎ ‎(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；‎ ‎(3)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≠0)与y＝－f(x)，y＝单调性相反；‎ ‎(4)在公共定义域内，函数y＝f(x)(f(x)≥0)与y＝单调性相同；‎ ‎(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．‎ ‎15.的解集为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原不等式两边平方转化为一元二次不等式，由此求得原不等式的解集.‎ ‎【详解】不等式左右两边平方可得，化简得：，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎16.已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由奇函数的性质可得f（﹣3）＝0，结合函数的单调性分析可得f（x）＞0与f（x）＜0的解集，又由（x﹣1）f（x）＞0⇒或，分析可得x的取值范围，即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，f（x）为奇函数且f（3）＝0，则f（﹣3）＝0，‎ 又由f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，则在（﹣∞，﹣3）上，f（x）＞0，在（﹣3，0）上，f（x）＜0，‎ 又由f（x）为奇函数，则在（0，3）上，f（x）＞0，在（3，+∞）上，f（x）＜0，‎ 则f（x）＜0的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞），f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（0，3）；‎ ‎（x﹣1）f（x）＞0⇒或，‎ 分析可得：﹣1＜x＜0或1＜x＜3，‎ 故不等式的解集为（﹣3，0）∪（1，3）；‎ 故答案为（﹣3，0）∪（1，3）；‎ ‎【点睛】本题函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析f（x）＞0与f（x）＜0的解集，属于基础题 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.，‎ 若，求;‎ 若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解分式不等式求得集合，由此求得.‎ ‎（2）根据（1）中求得的集合，以及列不等式组，解不等式组求得的取值范围.‎ ‎【详解】由得；当时，；从而 由于，‎ 当时，，即时，满足.‎ 当时，得无解.‎ 综上所述，实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，考查根据并集的结果求参数的取值范围.‎ ‎18.已知函数 为奇函数．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)用定义证明：函数在区间上是减函数.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)利用此奇函数的必要条件，求的值；（2）利用单调性定义证明函数在区间上是减函数.‎ 试题解析：‎ ‎(1)∵函数为定义在上的奇函数， ‎ ‎(2)由(1)可得，下面证明函数在区间(1，＋∞)上是减函数．‎ 证明设，‎ 则有，‎ 因为，所以 ， ， ， ‎ ‎,‎ 即，所以函数在区间(1，＋∞)上是减函数.‎ 点睛：证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断 的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.‎ ‎19.已知函数是定义域为的奇函数，当时，.‎ ‎（1）写出函数的解析式；‎ ‎（2）若方程恰有3个不同的解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设，先求，再根据函数为奇函数，即可求出（2）作出函数的图象，根据数形结合即可求出.‎ ‎【详解】（1）当 时， ，‎ 函数是奇函数，‎ ‎，‎ ‎ ．‎ ‎（2）作出函数图象，如图所示，‎ 根据图象，若方程恰有3个不同的解，则，即实数的取值范围是 ．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用奇函数求函数解析式，数形结合求参数取值范围，属于中档题.‎ ‎20.‎ 求的值域；‎ 求的单调增区间；‎ 求的对称轴.‎ ‎【答案】； ；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用零点分段法将表示为分段函数的形式.‎ ‎（1）根据的解析式，求得的值域.‎ ‎（2）根据的解析式，求得的增区间为 ‎（3）结合对称性，根据求得函数的对称轴.‎ ‎【详解】当时，；当时，；当时，；故.‎ 当时，;当时，；从而的值域为 由可知，的增区间为 由于和斜率互为相反数，而，故的对称轴为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查用分段函数表示含有绝对值函数，考查分段函数单调性和值域，考查分段函数的对称性，属于基础题.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数；‎ ‎（Ⅱ）当时，求的单调区间．‎ ‎【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）增区间为，减区间为．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）函数的对称轴方程为，要使在区间上是单调函数，易得关于的不等式，从而求出实数的取值范围；（Ⅱ）把代入函数，去掉绝对值化为分段函数，再结合函数图象求得的单调区间．‎ 试题解析：（Ⅰ）由数形结合分析知或 ‎∴或 ‎（Ⅱ）当时，‎ 结合函数图象分析知，增区间为 减区间为 考点：1、二次函数的单调性；2、分段函数．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎22.已知定义在上的函数满足：当时，且对任意都有 ‎（1）求的值，并证明是上的单调增函数.‎ ‎（2）若解关于的不等式 ‎【答案】（1），证明详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，代入即可解出的值。利用函数单调性的定义证明利用等式化简判断正负即可。‎ ‎（2）依次计算出将等价变形为 ‎，即，再利用单调性等价变形为 ‎，解出即可。‎ ‎【详解】（1）令 任取则 则可得证：是上的单调增函数.‎ ‎（2）‎ 或，‎ ‎【点睛】本题考查隐函数的单调性，利用单调性解不等式，属于中档题。‎