上海市华东师范大学第二附属中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题
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华二附中高一期中数学卷
一. 填空题
1.若，，，则为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先计算，再求即可.
【详解】,，
，
因此.
故答案为：.
【点睛】本题考查集合的并、补的基本运算，属于基础题.
2.不等式的解集是
【答案】
【解析】
【分析】
将分式不等式转化为一元二次不等式来求解.
【详解】依题意，，解得，故原不等式的解集为.
【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
3.某班有50名同学，参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人，则两种竞赛都参加的有________人.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出参加数学与化学竞赛的人数和，再加上两种竞赛都不参加的人数，这样就比全班总人数多算了一次数学与化学都参加的人数，因此减去总人数，就得出结果.
【详解】因为参加数学竞赛的有36人，参加化学竞赛的有20人，两种竞赛都不参加的有8人
，
全班有人，
因此两种竞赛都参加的有（人）
故答案为： .
【点睛】本题考查了容斥原理公式：既是 类又是 类的元素=属于类元素个数+属于 类的元素个数+非非元素的个数-元素总个数.是基础题.
4.命题A：|x－1|＜3，命题B：(x＋2)(x＋a)＜0；若A是B的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是 .
【答案】(－∞,－4)
【解析】
【详解】对于命题A：∵|x－1|＜3，∴-2
4,即实数a的取值范围是(－∞,－4)
5.不等式的解集为________.
【答案】
【解析】
【分析】
先找到使两个绝对值等于零的点，然后分类讨论，再求得解集的并集.
【详解】当 时，不等式等价于，解的，
当 时，不等式等价于，不等式无解，
当 时，不等式等价于，解得，
所以不等式解集是.
故答案为：.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法（零点分段讨论法），属于中档题.
6.已知，集合，将集合
用列举法表示________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据集合求出，再解方程，即可得到集合 .
【详解】集合,即方程，有两个相等的实数根为 ,
,即，
，
，
即，
解得，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查一元二次方程的解，及集合的表示方法，是基础题.
7.已知正实数、满足，则的最小值为________.
【答案】9
【解析】
【分析】
利用“乘法”与基本不等式的性质即可得出.
【详解】正实数、满足,
则，
当且仅当，即时取等号，
的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查基本不等式的性质的应用，“1”的灵活代换，属于中档题.
8.的解集为________.
【答案】
【解析】
【分析】
将分式不等式转化为高次不等式，再利用穿根法（奇穿偶不穿）求解高次不等式即可.
【详解】原不等式等价于且，，
又 可得，
，且，，
利用穿根法得原不等式解集为.
故答案为：.
【点睛】本题考查分式不等式和高次不等式的解法，属于中档题.
9.已知集合，，若集合的子集个数为2，则实数的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】
集合的子集个数为2，判断出只有一个元素，即在上只有一解，即可求得实数的取值范围.
【详解】由 ，
得 ①
因为 的子集个数为2，
所以只有一个元素，
所以等价于方程①在区间 上只有一个实数根，
令 ，
又 ，
得 ，
或 ，得 .
或 ，无解
实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查学生对集合子集的理解，及方程在给定区间的解的问题，是比较难的题..
10.若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】
试题分析：设则，，∴∴，不等式恒成立可化为恒成立，即
恒成立，故∴.
考点：均值不等式及恒成立问题
二. 选择题
11.设、是两个非空集合，称集合为集合与的差集，现定义如下：，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用Venn图表示即可求解.
【详解】根据题意集合如图所示的阴影部分，
,
则 .
故选：B
【点睛】本题主要考查集合的新定义问题，借助Venn图求解，属于基础题.
12.有四个命题：
① 若，则；②若，则；
③ 若，则；④若且，则；
其中真命题的数量是（ ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】
对于①、②、③、④利用不等式基本性质证明命题成立.
【详解】①,, , , ,即 ，是真命题.
② ， ， ，即，是真命题.
③ ，， ， ，是真命题.
④，，又， ，是真命题.
故选：.
【点睛】本题主要考查不等式的性质的应用，是基础题.
13.对三个正实数、、，下列说法正确的是（）
A. 存在（、、）的一组值，使得、、均小于2
B. 存在（、、）的一组值，使得、、中恰有两个小于2
C. 对（、、）任意值，、、都不小于2
D. 对（、、）任意值，、、中至多有两个不小于2
【答案】B
【解析】
【分析】
假设，，可根据正实数的条件确定，根据不等关系可得，利用函数思想可求得，即恒成立，从而排除；通过特殊值可验证出正确，错误.
【详解】若、、均小于，则，
但由基本不等式可得
、、不能均小于，则错误
当，，时
，，
存在的一组值，使得、、中恰有两个小于，则正确
当，时
，，
存在的一组值，使得、、中有小于的值，则错误
当时，
存在的一组值，使得、、均不小于，则错误
本题正确选项：
【点睛】本题考查含逻辑联结词的命题真假性的判断，通常可采用特殊值的方式来进行排除；难点是本题中对于存在命题的排除，需借用函数恒成立的思想来进行求解，通过证明任意性来得到结论.
14.已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
本道题反复运用基本不等式,即可.
【详解】结合题意可知,,
而,得到
解得,故可以推出结论,
而当得到
,故由结论推不出条件,故为充分不必要条件.
【点睛】本道题考查了基本不等式运用,关键注意,即可,属于中等难度的题.
三. 解答题
15.已知，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
利用分析法进行证明，同时利用，即可证得.
【详解】证明：由于a，b∈R+，要证，即证（a2+b2）3≥（a3+b3）2，即证3a2b4+3a4b2≥2a3b3，即证3b2+3a2≥2ab，由于3b2+3a2≥6ab＞2ab，故．
【点睛】本题考查证明方法中的分析法，及重要不等式的应用问题，是中档题.
16.已知集合，，若，求实数的取值范围.
【答案】（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[3，+∞）
【解析】
【分析】
先求出集合,，根据,得出关于的不等式，解不等式可得实数的取值范围.
【详解】解：A＝{x|x2﹣x﹣6≤0，x∈R}＝{x|﹣2≤x≤3}，
B＝{x|x2﹣3ax+2a2＜0，x∈R}＝{x|（x﹣a）（x﹣2a）＜0}，
则∁RA＝{x|x＞3或x＜﹣2}，∁RB＝{x|（x﹣a）（x﹣2a）≥0}，
若a＝0，则∁RB＝R，满足条件．∁RA∪∁RB＝R，
若a＞0，
则∁RB＝{x|（x﹣a）（x﹣2a）≥0}＝{x|x≥2a或x≤a}，
若∁RA∪∁RB＝R，则得a≥3，
若a＜0，
则∁RB＝{x|（x﹣a）（x﹣2a）≥0}＝{x|x≥a或x≤2a}，
若∁RA∪∁RB＝R，则得a≤﹣2，
综上a＝0或a≥3或a≤﹣2，
即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[3，+∞）．
【点睛】本题主要考查不等式的解法，以及集合的基本运算的应用，是中档题.
17.某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元（）满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.
（1）将该产品的年利润万元表示为年促销费用万元的函数；
（2）该厂家年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
【答案】（1） ；（2）厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大
【解析】
【分析】
（1）先求出，利用题设中给出的计算公式可得故.
（2）利用基本不等式可求函数的最大值.
【详解】（1）由题意可知，当时， （万件），
所以，所以，所以，
每件产品的销售价格为 （万元），
所以年利润
所以，其中.
（2）因为时，，即
所以，当且仅当，即 （万元）时， （万元）
所以厂家年促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.
【点睛】本题为应用题，主要考查数学建模和解模，注意建模时要依据题设给出的公式构建模型并关注自变量的范围，解模时可以依据模型的函数特点选择合适的解模方法（如基本不等式、导数等）.
18.已知集合.
（1）证明：若，则，；
（2）证明：若，则，并由此证明中的元素若满足，则；
（3）设，试求满足的所有的可能值.
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）c＝7+4
【解析】
【分析】
（1）若，则且，, ,得到 ， 均满足集合的性质，进而得到结论.
（2）构造函数，分析其单调性，进而得到中元素若满足，则.
（3）设，结合（1）（2）中的结论，可得值.
【详解】证明：（1）若a∈A，则a＝m+n且m2﹣3n2＝1，m，n∈Z，
则m+（﹣n）且m2﹣3（﹣n）2＝1，m，﹣n∈Z，
故∈A，
则（m+n）＝（2m﹣3n）+（2n﹣m），
此时（2m﹣3n）2﹣3（2n﹣m）2＝m2﹣3n2＝1，
故∈A；
（2）令f（x）＝x（x≥1），则在上的单调递增，
证明：设，
则
∵ ，
∴，，
故，即，在上的单调递增
∵1＜p≤q，f（1）＝2
∴2；
令b＝m+n且m2﹣3n2＝1，m，n∈Z，
∵1，
∴2＜b，
∴2＜2m≤4，
则m＝2，n＝1，则b＝2；
（3）∵c∈A，且2c≤（2）2，
∴∈A，且12，
由（2）得：2，
∴c＝（2）2＝7+4
【点睛】本题主要考查集合与元素之间的关系，对勾函数的单调性，是集合、函数、不等式的综合应用，是中档题.
