高中同步数学教案第15章 简单几何

高中同步数学教案第15章 简单几何

第十五章 简单几何体 15、1 多面体的概念： 1、多面体的概念 例： 由平面多边形（或三角形）围成的封闭体——多面体； 构成多面体的各平面多边形（或三角形）——多面体的面； 相邻多边形（或三角形）的公共边——多面体的棱； 棱与棱的交点——多面体的顶点。 2、棱柱的概念： 如果一个多面体有两个全等的多边形的面相互平行，且不在这两个面 上的棱都相互平行，那么这个多面体叫棱柱。 棱柱的两个互相平行的面——棱柱的底面； 其余各面——棱柱的侧面，棱柱的侧面都是平行四边形； 不在底面上的棱——棱柱的侧棱； 两个底面间的距离——棱柱的高； 不在同一个面（指棱柱的底面与侧面）上的两个顶点的连线——棱柱的对角线。 (7) (6) (5) (4) (3) (2) (1) C 1 B 1 A 1 C B A 3、棱柱的表示：三棱柱 1 1 1ABC A B C ，四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D ，…… 4、棱柱的分类： （1）按底面多边形的边数分（或按侧棱条数分）：三棱柱，……，n 棱柱； （2）按侧棱与底面是否垂直分：    直棱柱：侧棱垂直底面棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直底面 其中底面为正多边形的直棱柱也叫正棱柱。 5、棱柱的性质： （1）棱柱的侧面都是平行四边形； （2）侧棱都平行且相等； （3）两个底面及平行于底面的截面的都是全等的多边形； （4）过棱柱的不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。 6、正棱柱的性质： （1）两个底面及平行于底面的截面都是正多边形； （2）正棱柱的侧面都是全等的矩形； （3）侧棱垂直于底面，且侧棱长全相等； （4）对角面为矩形。 7、几类特殊的四棱柱： 四棱柱；直四棱柱；正四棱柱；平行六面体；直平行六面体；长方体；正方体。 请说出它们的包含关系。 例 1、下列说法是否正确？为什么？ （1）有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱； （2）有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱； （3）斜棱柱不可能有两个相邻的侧面都是矩形； （4）底面是凸多边形的斜棱柱的侧面中，至多有两个矩形。 解：（1）×；（2）×；（3）√；（4）√。 例 2、已知长方体的长、宽、高分别为 5，4，3，求长方体的对角线与过它的一个端点的三 个面所成的余弦值。 解：在长方体 1AC 中， 1 1 1 1 1 1 1 1 15, 4, 3, , ,B C C D C C AC A AC B AC D      分 别是 1AC 与面 1 1 1 1 1 1 1 1, ,A B C D BB C C CC D D 所成角，分别设 为 , ,   。 1 1 1 82cos ,10 AC AC    1 1 1 1 17 2cos ,cos .5 2 BC DC AC AC      说明：长方体的对角线与过它的一个端点的三个面所成角的正弦值的平方和等于 1，与过它 的一个端点的三条棱所成角的余弦值的平方和等于 1. 例 3、已知直平行六面体的各棱长均为 a，底面是有一个角为 60°的菱形，求它的两条对角 线的长。 解：在底面菱形 ABCD 中， 3 ,AC a BD a  。所以对角线 1 2AC a ，同理 1 2BD a 例 4、若直棱柱的底面是菱形，过不相邻的两对侧棱的截面面积分别为50 2 和10 14 ，底 面边长为 8，求此棱柱对角线的长。 D 1 D C 1 B 1 A 1 C B A 解：设直棱柱底面菱形的两对角线长分别为 1 2,l l ，棱柱的高为 h ， 1 2 2 2 2 1 2 50 2 10 14 16 l h l h l l        ，   21 1 2 1 2 2 5 , 5 , 7 0 , 32 256 2 2, 10 2, 2 14, 5 7 l l k l k k k k l l hl             令 所以棱柱的两对角线之长为 2 2 1 15l h  和 2 2 2 9l h  。 8、棱锥的概念： 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些图形围成的几何体叫 棱锥。 棱锥的多边形的面——棱锥的底面； 其余的各三角形面——棱锥的侧面； 不在底面上的棱——棱锥的侧棱； 各侧棱的公共点——棱锥的顶点； 顶点到底面的距离——棱锥的高。 9、棱锥的分类及其表示 棱锥按底面多边形的边数分为三棱锥，四棱锥，……。如图棱锥记为四棱锥 S ABCD 。 S D C B A 10、正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点向底面作垂线，垂足是底面的中心， 这样的棱锥是正棱锥。 11、正棱锥的性质： （1）正棱锥的各侧棱长相等，各侧面是全等的等腰三角形； （2）高、斜高及斜高在底面上的射影组成一个 Rt ； 高、侧棱及侧棱在底面上的射影组成一个 Rt ； 侧棱、斜高、底面边长的一半组成一个 Rt ； 底面外接圆半径、内切圆半径及边长一半组成一个 Rt 。 例 5、（1）过棱锥高的中点，作平行于底面的截面，截面积：底面积= 。 （2）一个平行于底面的截面面积是底面积的一半，则此截面把棱锥的高截成的两段（自上 而下）之比为 。 解：（1）1：4；（2） 2 1 。 例 6、判断下列命题正确与否？并说明理由。 （1）各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥； （2）底面是正多边形的棱锥是正棱锥； （3）正三棱锥的各个侧面都是正三角形； （4）各条侧棱与底面所成角都相等的棱锥是正棱锥； （5）各侧面是全等的等腰三角形，底面是各边相等的多边形，这样的棱锥是正棱锥。 解：（1）×；（2）×；（3）×；（4）×；（5）×。 例 7、满足下列哪个条件的棱锥是正棱锥（ ） （A）相邻两条侧棱间的夹角都相等； （B）各条侧棱在底面的射影都相等； （C）顶点到底面各边的距离都相等； （D）侧棱相等且底面多边形的各边相等。 解：D 例 8、已知正三棱锥底面边长为 a，高为 h，求它的侧棱长和斜高。 解：设底面 ABC 中心 O，连接 SO，则 SO h 。连 AO 延长交 BC 于 H ， 则 H 为 BC 中 点 。 侧 棱 长 2 2 3 aSA h  ， 斜 高 2 2 12 aSH h  15、2 多面体的直观图 1、多面体的直观图 学习立体几何，往往需要在平面上作出具有立体感的空间图形，其中斜二轴测图作法 比较容易掌握，且视觉效果不错。 斜二轴测图的作法：（简称斜二测） （1）按图所示位置及夹角作出三条轴分别表示铅垂方向， 左右方向以及前后方向，并依次称为 z 轴，y 轴和 x 轴。 （2）规定在 z 轴和 y 轴方向上线段的长度与其表示的真 实长度相等，而在 x 轴方向上线段的长度表示其真实长度 的一半。 例 1、在水平位置的平面 上，画如图所示 ABC 的直观图。 H O S C B A D ‘ C ‘ B ‘ A ‘ D C B A 解：1、在 ABC 中作 AD BC 于 D，以 BC 为水平方向（y 轴），AD 为垂直方向（x 轴）， 2、作 ' 'B C BC ，在 ' 'B C 取 'D ，使 ' 'B D BD ，过 'D 作 ' 'D A ，使 ' ' ' 45A D C   ，且 ' ' 1 2A D AD 3、连接 ' ' ' ',A B AC ，则 ' ' 'A B C 是 ABC 的直观图。 例 2、在水平放置的平面 上，画一个边长为 a 的正六边形。 解：1、过 D 作 MN FC 交 ED 于 M，AB 于 N，以 FC 为 y 轴， MN 为 x 轴。 2、沿 y 轴方向作 ' 'F C FC ，在 ' 'F C 上找 'O ，使 'O 为 ' 'F C 中点。 过 'O 作 ' 'M N 使 ' ' ' 45M O C   且 ' ' ' ' 1 2O M O N OM  过 'M 作 ' ' ' '//E D F C 使 ' ' ' 'D M M E EM  过 'N 作 ' ' ' '//A B F C 使 ' ' ' 'A N N B AN  3、连接 ' ' ' ' ' ' ' ', , ,A F F E D C C B ，所以 ' ' ' ' ' 'A B C D E F 为 ABCDEF 的直观图。 由以上两例可以看到“斜二测”画图法的两条重要性质： （1）平行直线的斜二测图仍是平行直线； （2）线段及其线段上定比分点的斜二测图保持原比例不变。 例 3、画正三棱柱 ' ' 'ABC A B C 的直观图，使它的底面是边长为 2cm 的正三角形，高为 3cm。 解：1、先画正 ABC 的水平放置图； 2、再将 ABC 沿 z 轴正方向平移 3cm，得 ' ' 'A B C ； 3、连 ' ' ', ,AA BB CC ，即得 ' ' 'ABC A B C 的直观图。 注：直观图也可以从另两个方向画出，请学生叙述作图过程。 例 4、画底面边长为 1.5cm，侧棱长是 3cm 的正六棱锥的直观图。 解：1、先画正六边形 ABCDEF 的水平放置图； 2、取 OS 为 z 轴方向，以 F 为圆心，以 3cm 为半径作弧与交 OS 于 点 S 3、连 , , , , , ,SA SB SC SD SE SF S ABCDEF则 为所求的正六棱锥 的的直观图。 2、平面截多面体的截面 截面的作法关键在于确定截面所在平面与多面体有关面所在平面的交线。 F E O S D C B A A ‘ B ‘ C ‘ C B A C B A A ‘ B ‘ C ‘ C ‘ B ‘ A ‘ 作截面的理论依据： （1）如果两个平面有两个公共点，那么着两个平面的交线就是通过这两个公共点的一条直 线； （2）如果直线与平面平行，那么过这条直线的任意平面与平面的交线都平行于该直线。 例 5、正方体 1AC 中，点在平面 1 1BB C C 上（PQ 与 BC 不平行），点 R 在棱 AB 上，画出由 , ,P Q R 所确定的平面 截正方体所得的截面。 例 6、正方体 1AC 中， , ,E F H 分别是棱 1 1 1, ,C D C C AB 上的点，画出过点 , ,E F H 的正方 体的截面。 例 7、在四面体 ABCD 中， , ,P Q R 分别是棱 , ,AB CD DA 上的点，画出过点 , ,P Q R 的四面 体的截面。 A B C D G P R Q F E H D 1 C 1 B 1 A 1 H A 1 B 1 C 1 D 1 M E F Q P D C B A R N L E Q P D C B A R F 15、3 旋转体的概念 1、旋转体的定义： 平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而成的几何体叫旋 转体。这条定直线叫做旋转体的轴。 圆柱、圆锥和球都是常见的旋转体。 2、圆柱 将矩形 ABCD （及其内部）绕其一条边 AB 所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做 圆柱。 AB （即旋转轴）所在的直线——圆柱的轴； 线段 ,AD BC 旋转而成的圆面——圆柱的底面； 线段CD 旋转而成的曲面——圆柱的侧面； CD ——圆柱侧面的一条母线，（圆柱的母线有无数条，且所有母线都与 轴平行，母线长等于圆柱的高）； 圆柱两个底面间的距离——圆柱的高。 3、圆锥 将直角 ABC （及其内部）饶其一条直角边 AB 所在直线旋转一周， 所形成的几何体叫做圆锥。 AB （即旋转轴）所在直线——圆锥的轴； 点 A ——圆锥的顶点； C D B A C B A 另一条直角边 BC 旋转而成的圆面——圆锥的底面； 斜边 AC 旋转而成的曲面——圆锥的侧面； 斜边 AC 叫做圆锥侧面的一条母线（圆锥的母线有无数多条，它们共点且相等）； 圆锥的顶点到底面的距离——圆锥的高。 例 1、圆柱 1OO 中， 1 1,AA BB 是它的两条母线，线段 1A B 的长为 15， 1 1A B 长为 6， 1 1 1 60AO B   ，求圆柱的高 1OO 和底面半径 1 1AO 的长。 解：取 1 1A B 中点 D ， 1 1 1 1 1 1 1 1 1 160 , 3,2 2AO D AO B A D A B      1 1 1 2 3sin 60 A DAO   。 1 1,AA BB 为圆柱的母线， 1 1A A B B  且 1BB  ⊙ 1O 所在平面。 1 1A B BA 为矩形， 1 1 16, 15,A B A B  2 2 1 1 115 6 3 21, 3 21B B OO BB       D O O 1 B 1 A 1 B A 例 2、设圆锥的母线长为定值 2a 且等于高的二倍，求过其顶点且有最大面积的截面与底面 所成角大小。 解： 2 , , 60 ,PA a PO a APO     圆锥轴截面的顶角为 120° 设过点 P 且面积最大的截面为 ,PBC PBC  为等腰 ，且 2PB PC a  ， 21 sin 22PCBS PB PC BPC a       当 90BPC   时， max 22PCBS a 取 BC 中点 M ，连 , , ,OM PM PM BC OM BC   PMO 为面 PBC 与底面所成二面角的平面角，所以此时 PBC 是等腰 Rt ， 2 22 , sin , 452 2 POPM PB a PMO PMOPM           即所求二面角为 45° 反思：若 ,PA a PO h  时，如何求过顶点的最大截面面积？ 简解： arccos hAPO a   若 arccos 4 h a  ，即 2 2h a 时， 2 2 max 1 2S AB PO h a h   若 arccos 4 h a  ，即 20 2h a  时， 2 max 1 2S a M O C P B A 4、球的概念及其性质 将圆心为O 的半圆（及其内部）绕其直径所在直线 AB 旋转一 周，所形成的几何体叫做球，记作球O 。 半圆的圆弧旋转而成的曲面——球面； 点O ——球心； 连接球心与球面上任一点的线段——半径；连接球面上两点且经过球心的线段——直径。 5、球的性质 用一个平面去截一个球，截面是圆面。 球面被经过球心的平面所截得的圆叫大圆； 被不经过球心的截面所截得的圆叫小圆。 球的截面有下面性质： （1）球心与截面圆心的连线垂直于截面； （2）球心到截面的距离 d ，球的半径及截面圆的半径满足 2 2 2d R r  例 3、已知球的半径为 25，有两个平行平面截球所得的截面面积分别等于 49 和 400 ， 求这两个平行截面间的距离。 B O A 解：由题意，这两个截面圆的半径分别为 1 7r  和 2 20r  ，所以球心O 到这两个截面的距 离分别为 2 2 1 25 7 24d    和 2 2 2 25 20 15d    当这两个截面位于球心O 同侧时，两截面间距离 1 2 9d d d   当这两个截面位于球心O 同侧时，两截面间距离 1 2 39d d d   例 4、在半径为 30 的球面上有 , ,A B C 三点，已知 20, 12, 16AB BC CA   ，求经过这 三个点的截面和球心O 之间的距离。 解： 2 2 2 ,AB BC CA ABC    为 Rt ， ABC 的外接圆半径 102 ABr   ，而 ABC 的 外 接 圆 也 就 是 过 , ,A B C 三 点 的 截 面 圆 ， 所 以 球 心 O 到 截 面 的 距 离 2 230 10 20 2d    例 5、长方体的三个面的面积分别为 3, 5, 15 ，求长方体外接球的半径。 解：设长方体的长，宽，高分别为 , ,a b c 则 3 3 5 1 15 5 ab a bc b ca c             ， 的结论有，它的外接球半径 2 2 2 3 2 2 a b cR    例 6、球面上有四个点 , , ,P A B C ，若 , ,PA PB PC 两两互相垂直，且 PA PB PC a   ， 求这个球的半径 R 。 解：以 , ,PA PB PC 为长宽高，可将 ABC 补成一个正方体，该正方体为球的内接正方体， 32 3 , 2R a R a    例 7、棱长为 a 的正四面体内接于球，求球的半径 解：正四面体的中心即为外接球的球心。正四面体高 6 3h a ，设其外接球半径为 R ，球 心到四面体的一个面的距离为 d ， 2 2 2 66 43 1 6 3 12 R ad R a d a R d a              所以正四面体的外接球半径为 6 4 a 15、4 几何体的表面积 1、棱柱的侧面积和全面积 （1）棱柱的侧面展开图：把棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展开在一个平面上，就得到了棱 柱的侧面展开图。 （2）侧面积：棱柱侧面展开图的面积，就是棱柱的侧面积。 全面积：侧面积加上底面积（棱柱有两个底）叫全面积。 直棱柱的侧面展开图是一个矩形，所以 S c h 侧 ，其中 h 表示直棱柱的高，c 表示直棱 柱的底面周长。 2S ch S  全 底 。 例 1、直平行六面体对角线长为 9 和 33 ，底面周长为 18，侧棱长为 4，求其全面积。 解：设其底面边长为 ,a b ，则 9a b  （不妨设 a b ），其底面平行四边形的对角线长分 别为 2 2 29 4 65 33 4 17   和 。 设两边所夹锐角为 ，则 2 2 2 2 2 2 2 2 52 cos 17 41 42 cos 65 9 4 5 17 3 4 4cos , sin , 4 5 162 4 5 5 5 5 18 4 16 2 104 aa b ab a b ba b ab a b S S                                        底 全 例 2、直平行六面体底面是菱形，过不相邻的两对侧棱的截面（对角面）面积分别为 1 2,Q Q ， 求其侧面积。 解：设底面菱形边长为 a ，棱柱高为 h ，底面两对角线长分别为 ,m n ，则 1 2 22 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 , 4 4 , 4 22 Qmmh Q Q Qm nh anh Q Q hn h Q Qa S ah Q Qh               侧 2、圆柱的侧面积和全面积 （1）圆柱的侧面展开图：将圆柱的侧面沿一条母线剪开后展开在一个平面上，就得到圆柱 a b  的侧面展开图。圆柱的侧面展开图是一个矩形。 （2）设圆柱的高为 h ，底面半径为 r ，则 22 , 2 2S rh S rh r    侧 全 。 例 3、圆柱的侧面展开图的对角线长为 8，对角线与侧面展开图矩形的一边成 30°角，求其 全面积。 解：设圆柱的高为 h ，底面半径为 r ，有两种情形： （1） 244,2 4 3, 16 3h r S    全此时 （2） 84 3,2 4, 16 3h r S    全此时 例 4、若圆柱的轴截面面积为 S ，求其侧面积。 解：设圆柱的高为 h ，底面半径为 r ，则 2 , 2rh S S rh S    侧 3、正棱锥的侧面积、全面积 （1）正棱锥的侧面积 '1 2S Ch侧 ，其中C 表示底面周长， 'h 表示正棱锥的斜高； （2）正棱锥的全面积 '1 2S S S Ch S   侧全 底 底 例 5、正六棱锥底面边长为 2a ，侧棱长为3a ，求其全面积。 解：正六棱锥斜高 ' 2 29 2 2h a a a     2 2 2 1 36 2 2 2 12 2 , 6 4 6 32 4 6 2 2 3 S a a a S a a S S S a               侧 底 侧全 底 例 6、底面边长为 a 的正三棱锥，它的侧面积为底面积的二倍，求棱锥的高。 解：设正三棱锥高为 h ，则斜高 ' 2 21 12h h a  又 2 2 21 1 32 , 3 22 12 4 2 aS S a h a a h        侧 底 4、圆锥的侧面积、全面积 将底面半径为 r ，母线长为 'h 的圆锥侧面展开，可得到一个扇形，扇形的半径为 'h ，弧 长为 2 r ，所以圆锥的侧面积 ' '1 2S rh Ch 侧 （ C 为底面周长）。圆锥的全面积为 ' 2S rh r  全 。 例 7、已知圆锥的高 8h  ，它的侧面展开图的扇形圆心角为 216°，求其全面积。 解：设圆锥的底面半径为 r ，母线长 'h '' ' 2 '2 ' 2 2 216 65, ,2 360 10364 96 r rh rh hr h S rh r                   全 例 8、若轴截面为等边三角形的圆锥（等边圆锥）的轴截面面积为Q ，求其侧面积。 解：设圆锥的底面半径为 r ，则 2 23 4 ,4 3 Qr Q r   ，斜高 ' 2h r ， ' 2 2 2 32 33 QS rh r Q      侧 5、球的表面积：设球的半径为 r ，则球的表面积为 24S r 例 9、湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下了一个面直径为 24cm，深为 8cm 的空穴，求该球的表面积。 解：设球的半径为 R ，  2 2 28 12 13R R R      2 24 676S r cm    15、5 几何体的体积 1、祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所 截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 2、柱体的体积公式： 已知棱柱的底面积为 S ，高为 h ，体积为V ，则V sh 圆柱的体积 2V Sh r h  ，其中 r 为圆柱底面半径， h 为圆柱的高。 例 1、已知正六棱柱的最长对角线长 13，侧面积为 180，求其体积。 解：设底面边长为 a，高为 h，则 2 2 2 564 169 256 180 12 3 2256 270 3 34 2 a aa h hah h V a h               或 或 例 2、底面是菱形的直棱柱的两对角面面积分别为 P，Q，底面积为 S，求其体积。 解：设底面菱形两对角线长为 m，n，棱柱高为 h，则 1, 22 21 2 mh P PQnh Q h V Sh PQS mn S              例 3、已知圆柱的侧面展开图是边长为  , 0a b a b  的矩形，求圆柱体积。 解：设圆柱底面半径为 r，高为 h，有两种情形： （1） 2 2 2 2,2 , 4 4 b abh a r b V r h a          （2） 2 2 2 2,2 , 4 4 a a bh b r a V r h b          3、棱锥、圆锥的体积 如果一个棱锥的底面积为 S，高为 h，则 1 3V Sh 如果一个圆锥的底面半径为 r，高为 h，则体积 21 3V r h 例 4、正三棱锥的高为 3 ，侧面与底面所成二面角为 60°，求正三棱锥体积。 解：棱锥的高 3PO  ，连 AO 交 BC 于 D，D 为 BC 中点，连 PD。 PO ABC BC PO BC POD BC PDOD BC          PDC 为 PBC 与 ABC 所成二面角的平面角  2 30 , 3, 9, 6 3 1 3 6 3 3 273 4 PDO OD AD AB V              例 5、从半径为 12 的圆形铁皮上剪下圆心角为 120°的一块扇形铁皮，用它围成一个圆锥的 侧面，求圆锥体积。 P A B C DO 解：圆锥的母线长 ' 12h  ，底面半径设为 r， ' 12 2 8 , 43r h r      所以圆锥的高 2 212 4 8 2h    21 128 2 3 3V r h    例 6、已知三棱锥V ABC 底面三角形边长为 5，12，13，侧棱与底面所成角均为 60°， 求其体积。 解： ABC 为 Rt ， 1 5 12 302ABCS     ，又因为三条侧棱与底面所成角均为 60°，所 以顶点在底面的射影 O 是 Rt ABC 的外心，即斜边中点， 13 13 3, ,2 2AO VO   1 13 330 65 33 2V     例 7、四面体 ABCD 中，已知 AB=AC=DB=DC=10,BC=AD=12，求其体积。 解：取 BC 中点 E，连 AE，DE 2 210 6 8 12 7 1 48 73 AED ABCD C EAD CB EAD AED AB BC AE BC BC ADEDB ED DE BC AE ED S V V V BC S                       4、球的体积 球的体积公式的推导： 已知球的半径为 r，求球的体积 V。 解：把半径为 r 的半球置放在平面 上，平面 上再置放一个底面半径为 r，高为 h 的圆柱， 中间挖去一个倒置的，底面半径为 r，高为 r 的圆锥所得的几何体 I，用任意一个平行于 的平面去截半球及几何体 I，得到两个相应的截面，设截面与 相距为  0d d r  ，则在 半球上截得的截面是圆面，面积为 1S ，圆面半径  2 2 2 2 2 1 1 1,r r d S r r d       在几何体 I 上所得的截面是圆环，面积 2S ，圆环外径 r，内径 d，  2 2 2 1 2,S r d S S     由祖暅原理，半球与几何体 I 的体积相等， 3 3 31 2 ,3 3V V V r r r       半球 柱 锥 A B C D E 34 3V r 球 例 8、已知两球的体积之和为12 ，且两球的大圆周长之和是 6 ，求这两个球半径之差的 绝对值。 解：设两球的半径分别为 1 2,r r ，则         3 3 1 21 2 23 3 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 3123 9 3 9 22 6 1 r rr r r r r r r r rr rrr r r r                             例 9、（2013 年高考上海卷（理））在 xOy 平面上,将两个半圆弧 2 2( 1) 1( 1)x y x    和 2 2( 3) 1( 3)x y x    、两条直线 1y  和 1y   围成的封闭图形记为 D,如图中阴影 部分.记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为  ,过 (0, )(| | 1)y y  作  的水平截面,所得 截面面积为 24 1 8y   ,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出  的体积值为__________ A B O  解： 22 16  . 15、6 球面距离的概念及其计算 球面距离的定义：球面上联结 ,A B 两点的最短路径，叫做 ,A B 间的球面距离。可以证 明，在联结球面上 ,A B 两点的路径中，通过这两点的大圆的劣弧最短。 所以， ,A B 的球面距离是指过 ,A B 两点的大圆的劣弧 AB 之长。 若已知球 O 半径为 R，要计算球面上 ,A B 两点的球面距离，关 键是求出半径 ,OA OB 的夹角 AOB   弧度，则 ,A B 间的球面距离 为 R ，其中 (0, ]  。 例 1、已知地球的半径约为 6371 千米，上海的位置约为东经 121°27′，北纬 31°8′。台 北的位置约为东经 121°27′，北纬 25°5′，求两个城市之间的距离（结果精确到 1 千米） 解：因为上海和台北在同一经线上，所以它们在地球的同一个大圆上。设地球球心为 O，上 海，台北分别为点 ,A B ， '6 3AOB   ，所以 AB 的弧长 '6 32 6371 673360s       千米， 所以上海和台北两个城市之间的距离约为 673 千米。 例 2、在北纬 30°圈上的两地 ,A B 的经度差为锐角  ，若 2 2sin 3   ，若地球半径为 R， 求 ,A B 两点的球面距离。 解：如图 1 1 1 330 , 2O AO O A O B R     ， 'O B A O 而 1 2 2 1,sin , cos ,3 3AO B        2 2 2 23 3 3 3 12 , ,4 4 2 2 3 3 R RAB R R R AB R AOB            ，所以 ,A B 两点的 球面距离为 3 R 。