浙江省浙南名校联盟2020届高三上学期第一次联考数学试题

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文档介绍

浙江省浙南名校联盟2020届高三上学期第一次联考数学试题

‎2019学年浙南名校联盟第一次联考试卷解析 ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分别计算集合A和B,再计算 ‎【详解】‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查了集合的运算,属于简单题型.‎ ‎2.已知双曲线:的离心率为,其右焦点为,则双曲线的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用离心率和焦点公式计算得到答案.‎ ‎【详解】双曲线:的离心率为,其右焦点为 则 得到 ‎ 双曲线方程为:‎ 故答案选A ‎【点睛】本题考查了双曲线方程,属于基础题型.‎ ‎3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图还原立体图形,再计算体积.‎ ‎【详解】如图所示:‎ 底面为直角边长为2的等腰直角三角形,高 ‎ 故 ‎ ‎【点睛】本题考查了三视图和体积的计算,通过三视图还原立体图是解题的关键.‎ ‎4.已知实数满足则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域,将看作点到原点的斜率,计算得到答案.‎ ‎【详解】如图所示:‎ 画出可行域 ‎,看作点到原点的斜率 根据图像知,当时,有最小值为 ‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划,将看作点到原点的斜率是解题的关键.‎ ‎5.设,则“”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判断充分性和必要性,得到答案.‎ ‎【详解】当时,得到两边同时除以得到,充分性 当时,取,则,不满足,不必要 ‎“”是“”的充分不必要条件 故答案选A ‎【点睛】本题考查了充分必要条件,通过举反例判断不必要可以简化运算,是解题的关键.‎ ‎6.函数的部分图象是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇偶性排除B,当时,,排除CD,得到答案.‎ ‎【详解】, 为奇函数,排除B 当时,恒成立,排除CD 故答案选A ‎【点睛】本题考查了函数图像的判断,通过奇偶性,特殊值法排除选项是解题的关键.‎ ‎7.设,随机变量的分布列如下:‎ 则当在内增大时( )‎ A. 减小,减小 B. 增大,增大 C. 增大,减小 D. 减小,增大 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别计算和的表达式,再判断单调性.‎ ‎【详解】,当在内增大时, 增大 ‎,当在内增大时, 增大 故答案选B ‎【点睛】本题考查了和的计算,函数的单调性,属于综合题型.‎ ‎8.设点是长方体的棱的中点,,,点在面上,若平面分别与平面和平面所成的锐二面角相等,则点的轨迹为( )‎ A. 椭圆的一部分 B. 抛物线的一部分 C. 一条线段 D. 一段圆弧 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据公式得到,计算得到到直线的距离为定值,得到答案.‎ ‎【详解】设在平面的投影为,平面与平面所成的锐二面角为 ‎ 则 ‎ 在平面的投影为中点,平面与面所成的锐二面角为 ‎ 则 故即得到 ‎ 即到直线的距离为定值,故在与平行的直线上 又点在面上,故轨迹为一条线段.‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查了立体几何二面角,轨迹方程,通过可以简化运算,是解题的关键.‎ ‎9.已知正三角形的边长为2,是边的中点,动点满足,且,其中,则的最大值为( )‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可建立如图所示的平面直角坐标系,根据题设条件可得动点在图中的圆上(实线部分)运动,设点,则可用的三角函数表示,从而可求其最大值.‎ 也可以把表示为,故(如图),利用向量共线的几何意义可得的最大值就是的最大值,利用三角形相似得当与半圆相切时最大.‎ ‎【详解】‎ 如图所示,由于动点满足,且,‎ 因为,所以点在以点为圆心,1为半径的半圆(图中实线)上运动,,,,,,,,‎ 所以,‎ ‎,‎ 因为,所以,.‎ 所以,故选D.‎ 方法二:等和线法 由于动点满足,且,其中,‎ 所以点在以点为圆心,1为半径的半圆(图中实线)上运动且.‎ 设的中点为,与交于点,‎ ‎,‎ 所以,所以,‎ 过点分别作直线平行交于,‎ 则,当与半圆相切时,最大且为.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】在平面向量基本定理的应用中,我们常常需要考虑基底向量的系数和的最值,此类问题的处理,首先考虑能否建立平面直角坐标系,条件是题设中的图形是较为规则的图形,其次考虑改换基底向量,把系数和转化为线段长的比值,再利用几何意义求最值.‎ ‎10.已知数列满足,则( )‎ A. 当时,则 B. 当时,则 C. 当时,则 D. 当时,则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依次判断每个选项的正误,得到答案.‎ ‎【详解】即 ‎ 当时,,故,A错误 当时,,故,B错误 对于D选项,当时,,,D错误 用数学归纳法证明选项C 易知恒成立 当时,,成立 假设当时成立,,即 当时:‎ 即 成立 故恒成立,得证 故答案选C ‎【点睛】本题考查了数列的单调性,数学归纳法,综合性强,技巧高,意在考查学生对于数学知识,方法,性质的灵活运用.‎ ‎11.瑞士数学家欧拉于1777年在《微分公式》一书中,第一次用来表示-1的平方根,首创了用符号作为虚数的单位.若复数(为虚数单位),则复数的虚部为________;_____.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法可计算,从而可求其虚部和模.‎ 详解】,‎ 故虚部为,模为,故分别填.‎ ‎【点睛】本题考查复数的概念、复数的除法,属于基础题.‎ ‎12.已知展开式中所有项的系数之和为-4,则________;项的系数为_________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令后可求得,利用二项展开式可求的系数.‎ ‎【详解】令,,‎ ‎,‎ 故展开式项的系数为.‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式中系数和的计算以及指定项系数的计算,属于基础题.‎ ‎13.在中,角所对应的边分别为,已知,且,则__________;若为边的中点,则__________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理得到,再利用,平方得到答案.‎ ‎【详解】利用正弦定理得到:‎ 即 ‎ 为边的中点,‎ 则 故答案为,‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理,向量的运算,其中表示是解题的关键,可以简化运算.‎ ‎14.名男同学、名女学生和位老师站成一排拍照合影,要求位老师必须站正中间,队伍左右两端不能同时是一男学生与一女学生,则总共有__________种排法.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将队伍两端分为都是男生和都是女生两种情况,相加得到答案.‎ ‎【详解】当两端都是男生时: ‎ 当两端都是女生时: ‎ 共有种排法 故答案为 ‎【点睛】本题考查了排列,将情况分为两种情况可以简化运算,是解题的关键.‎ ‎15.已知点在圆上,点在椭圆上,且的最大值等于,则椭圆的离心率的最大值等于__________,当椭圆的离心率取到最大值时,记椭圆的右焦点为,则的最大值等于__________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简为,的最大值为5等价于的最大值为4,根据对称轴得到关系式解得答案.‎ 利用椭圆性质得到,再根据三角形边的关系得到答案.‎ ‎【详解】化简为,圆心.‎ 的最大值为5等价于的最大值为4‎ 设,即,又 化简得到 ‎ 当时,验证等号成立 对称轴为满足故 ‎ ‎ 故离心率最大值为 ‎ 当时,离心率有最大值,此时椭圆方程为,设左焦点为 ‎ 当共线时取等号.‎ 故答案为和 ‎【点睛】本题考查了椭圆的离心率,线段和的最值问题,利用椭圆性质转化是解题的关键,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎16.已知非零向量,满足,,,则对任意实数,的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量夹角公式计算夹角为,以坐在直线为轴,建立直角坐标,计算得到对应的点在上,表示的是圆上一点到直线上一点的距离,计算得到答案.‎ ‎【详解】,‎ 如图所示:以所在直线为轴,建立直角坐标系 则,设 得到即 ‎ 表示的是圆上一点到直线上一点的距离 此距离的最小值为: ‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了向量的运算,直线到圆距离的最值,意在考查学生的转化能力和计算能力.‎ ‎17.设函数,若对任意的实数和,总存在,使得,则实数的最大值为__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数变形为,设,‎ ‎,画出函数图像,当时取最值,得到答案.‎ ‎【详解】‎ 设 ‎ 在上单调递增,在上单调递减, ‎ 设 画出函数图像:‎ ‎ ‎ 对任意的实数和,总存在,使得 等价于求最大值里的最小值.‎ 根据图像知:当时,最大值的最小值为2‎ 故实数的最大值为2‎ 答案为2‎ ‎【点睛】本题考查了函数的存在性问题,变形函数,画出函数图像是解题的关键,意在考查学生的综合应用能力.‎ ‎18.函数的图象过点,且相邻的最高点与最低点的距离为.‎ ‎(Ⅰ)求函数的解析式;‎ ‎(Ⅱ)求在上的单调递增区间.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)和.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)利用勾股定理得到,,将点代入图像得到,得到答案.‎ ‎(Ⅱ),函数的单调区间为,代入得到 上单调区间.‎ ‎【详解】解:(Ⅰ)函数的周期,‎ 把坐标代入得,‎ 又,,‎ ‎(Ⅱ)令解得 ‎ 在上的单调递增区间是和 ‎【点睛】本题考查了三角函数的解析式,三角函数的单调区间,属于常考题型,需要熟练掌握.‎ ‎19.如图,四棱锥中,平面,,,,为的中点,与相交于点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)先证明面得到,再证明得到平面.‎ ‎(Ⅱ)以为原点,分别以为轴,轴,轴的建立直角坐标系.计算平面的法向量为,再利用向量夹角公式得到答案.‎ ‎【详解】解:(Ⅰ)‎ ‎ ‎ 由已知平面,可得,,‎ 由题意得,直角梯形,如图所示,‎ ‎,所以为平行四边形,‎ 所以,所以.‎ 又因为,且,‎ 所以面,‎ 故.‎ 在直角梯形中,,‎ 因为面,所以,‎ 所以为等腰直角三角形,为斜边上的中点,‎ 所以.且,‎ 所以平面 ‎(Ⅱ)法一:以为原点,分别以为轴,轴,轴建立直角坐标系.‎ 不妨设 ‎,,,,‎ 设是平面的法向量.‎ 满足 ,‎ 所以 ,‎ 则令 ,解得 法二:(等体积法求到平面的距离)‎ 设,计算可得 ‎, , ,‎ ‎,‎ 解得 ‎【点睛】本题考查了线面垂直,线面夹角,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.‎ ‎20.已知等比数列的公比,且,是的等差中项,数列的通项公式,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)证明:,.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)直接用等差数列,等比数列的公式计算得到.‎ ‎(Ⅱ)直接利用裂项求和得到 ‎,得证.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由是,的等差中项得 ‎,‎ 所以,‎ 解得,‎ 由,得,‎ 解得或,‎ 因为,所以.‎ 所以,.‎ ‎(Ⅱ)法1:由(Ⅰ)可得,.‎ ‎,‎ ‎.‎ 法2:‎ 由(Ⅰ)可得,.‎ 我们用数学归纳法证明.‎ ‎(1)当时,,不等式成立;‎ ‎(2)假设()时不等式成立,即 ‎.‎ 那么,当时,‎ ‎,‎ 即当时不等式也成立.‎ 根据(1)和(2),不等式,对任意成立.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列,等比数列的公式,裂项求和,意在考查学生对于数列公式方法的灵活掌握.‎ ‎21.已知点在抛物线上,是直线上的两个不同的点,且线段的中点都在抛物线上.‎ ‎(Ⅰ)求的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若的面积等于,求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)或;(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)设,,,的中点代入抛物线得到二次方程,解得答案.‎ ‎(Ⅱ)先计算到的距离,再计算,代入面积公式得到答案.‎ ‎【详解】(Ⅰ)设,,,‎ 则的中点,代入 得:‎ 同理可得:‎ 所以,是方程的两个根 解得:或 ‎(Ⅱ)点到的距离 由韦达定理可知:,‎ 则 令,则有:,‎ 即:,解得,‎ 即,解得:‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线,面积问题,将问题转化为二次方程解的个数问题是解题的关键,简化了运算.‎ ‎22.设,其中,函数在点处的切线方程为.其中 ‎(Ⅰ)求证:函数有且仅有一个零点;‎ ‎(Ⅱ)当时,恒成立,求最小的整数的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)求导,根据,解得,再判断函数在上单调减, 得证.‎ ‎(Ⅱ)先判定,不等式等价于,设,分别计算函数的单调性和最值得到时,恒成立,得到答案.‎ ‎【详解】(Ⅰ),‎ 所以 当时,,即,解得 ‎,函数在上单调减 由于 ‎ 则函数有且仅有一个零点.‎ ‎(Ⅱ)一方面,当时,,由此;‎ 当时,下证:,在时恒成立,‎ 记函数,,在上单调递增,在上单调递减 ‎;‎ 记函数,,在上单调减,在上单调减 ‎,即;‎ ‎,成立 又因为和不能同时在同一处取到最大值,‎ 所以当时,恒成立 所以最小整数.‎ ‎【点睛】本题考查了函数切线,零点问题,恒成立问题,综合性强,计算量大,意在考查学生对于导数函数知识技巧的灵活运用及计算能力.‎ ‎ ‎
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