高中数学(人教A版)必修4第3章 三角恒等变换 测试题(含详解)

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高中数学(人教A版)必修4第3章 三角恒等变换 测试题(含详解)

第三章测试 ‎(时间:120分钟,满分:150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.sin105°cos105°的值为(  )‎ A.          B.- C. D.- 解析 原式=sin210°=-sin30°=-.‎ 答案 B ‎2.若sin2α=,<α<,则cosα-sinα的值是(  )‎ A. B.- C. D.- 解析 (cosα-sinα)2=1-sin2α=1-=.‎ 又<α<,‎ ‎∴cosαcos28°>cos30°,即b>a>c.‎ 答案 A ‎8.三角形ABC中,若∠C>90°,则tanA·tanB与1的大小关系为(  )‎ A.tanA·tanB>1 B. tanA·tanB<1‎ C.tanA·tanB=1 D.不能确定 解析 在三角形ABC中,∵∠C>90°,∴∠A,∠B分别都为锐角.‎ 则有tanA>0,tanB>0,tanC<0.‎ 又∵∠C=π-(∠A+∠B),‎ ‎∴tanC=-tan(A+B)=-<0,‎ 易知1-tanA·tanB>0,‎ 即tanA·tanB<1.‎ 答案 B ‎9.函数f(x)=sin2-sin2是(  )‎ A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数 解析 f(x)=sin2-sin2 ‎=cos2-sin2 ‎=cos2-sin2 ‎=cos ‎=sin2x.‎ 答案 A ‎10.y=cosx(cosx+sinx)的值域是(  )‎ A.[-2,2]        B. C. D. 解析 y=cos2x+cosxsinx=+sin2x ‎=+ ‎=+sin(2x+).∵x∈R,‎ ‎∴当sin=1时,y有最大值;‎ 当sin=-1时,y有最小值.‎ ‎∴值域为.‎ 答案 C ‎11.已知θ为第二象限角,sin(π-θ)=,则cos的值为(  )‎ A. B. C.± D.± 解析 由sin(π-θ)=,得sinθ=.‎ ‎∵θ为第二象限的角,∴cosθ=-.‎ ‎∴cos=± =± =±.‎ 答案 C ‎12.若α,β为锐角,cos(α+β)=,cos(2α+β)=,则cosα的值为(  )‎ A. B. C.或 D.以上都不对 解析 ∵0<α+β<π,cos(α+β)=>0,‎ ‎∴0<α+β<,sin(α+β)=.‎ ‎∵0<2α+β<π,cos(2α+β)=>0,‎ ‎∴0<2α+β<,sin(2α+β)=.‎ ‎∴cosα=cos[(2α+β)-(α+β)]‎ ‎=cos(2α+β)cos(α+β)+sin(2α+β)sin(α+β)‎ ‎=×+×=.‎ 答案 A 二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分.将答案填在题中横线上)‎ ‎13.若=2012,则+tan2α=______.‎ 解析 +tan2α= ‎= ‎====2012.‎ 答案 2012‎ ‎14.已知cos2α=,则sin4α+cos4α=________.‎ 解 ∵cos2α=,‎ ‎∴sin22α=.‎ ‎∴sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α ‎=1-sin22α=1-×=.‎ 答案  ‎15.=________.‎ 解析 ∵sin(α+30°)+cos(α+60°)=sinαcos30°+cosαsin30°+cosαcos60°-sinαsin60°=cosα,‎ ‎∴原式==.‎ 答案  ‎16.关于函数f(x)=cos(2x-)+cos(2x+),则下列命题:‎ ‎①y=f(x)的最大值为;‎ ‎②y=f(x)最小正周期是π;‎ ‎③y=f(x)在区间上是减函数;‎ ‎④将函数y=cos2x的图像向右平移个单位后,将与已知函数的图像重合.‎ 其中正确命题的序号是________.‎ 解析 f(x)=cos+cos ‎=cos+sin ‎=cos-sin ‎=· ‎=cos ‎=cos,‎ ‎∴y=f(x)的最大值为,最小正周期为π,故①,②正确.‎ 又当x∈时,2x-∈[0,π],∴y=f(x)在上是减函数,故③正确.‎ 由④得y=cos2=cos,故④正确.‎ 答案 ①②③④‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(10分)已知向量m=,n=(sinx,1),m与n为共线向量,且α∈.‎ ‎(1)求sinα+cosα的值;‎ ‎(2)求的值.‎ 解 (1)∵m与n为共线向量,‎ ‎∴×1-(-1)×sinα=0,‎ 即sinα+cosα=.‎ ‎(2)∵1+sin2α=(sinα+cosα)2=,‎ ‎∴sin2α=-.‎ ‎∴(sinα-cosα)2=1-sin2α=.‎ 又∵α∈,∴sinα-cosα<0.‎ ‎∴sinα-cosα=-.‎ ‎∴=.‎ ‎18.(12分)求证:=.‎ 证明 左边= ‎= ‎= ‎== ‎==.‎ ‎∴原等式成立.‎ ‎19.(12分)已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx. ‎ ‎(1)求f的值;‎ ‎(2)求f(x)的最大值和最小值.‎ 解 (1)f=2cos+sin2-4cos ‎=2×+2-4× ‎=-1+-2=-.‎ ‎(2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx ‎=3cos2x-4cosx-1=32-,‎ ‎∵x∈R,cosx∈[-1,1],‎ ‎∴当cosx=-1时,f(x)有最大值6;‎ 当cosx=时,f(x)有最小值-.‎ ‎20.(12分)已知cos=,x∈.‎ ‎(1)求sinx的值;‎ ‎(2)求sin的值.‎ 解 (1)解法1:∵x∈,‎ ‎∴x-∈,‎ 于是sin= =.‎ sinx=sin ‎=sincos+cossin ‎=×+× ‎=.‎ 解法2:由题设得 cosx+sinx=,‎ 即cosx+sinx=.‎ 又sin2x+cos2x=1,‎ 从而25sin2x-5sinx-12=0,‎ 解得sinx=,或sinx=-,‎ 因为x∈,所以sinx=.‎ ‎(2)∵x∈,故 cosx=-=-=-.‎ sin2x=2sinxcosx=-.‎ cos2x=2cos2x-1=-.‎ ‎∴sin ‎=sin2xcos+cos2xsin ‎=-.‎ ‎21.(12分)已知函数 f(x)=4cosxsin-1.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.‎ 解 (1)因为f(x)=4cosxsin-1‎ ‎=4cosx-1‎ ‎=sin2x+2cos2x-1=sin2x+cos2x ‎=2sin 所以f(x)的最小正周期为π.‎ ‎(2)-≤x≤,所以-≤2x+≤,‎ 当2x+=时,即x=,f(x)取得最大值2;‎ 当2x+=-时,即x=-,f(x)取得最小值-1.‎ ‎22.(12分)已知函数f(x)=sin+cos,x∈R.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和最小值;‎ ‎(2)已知cos(β-α)=,cos(β+α)=-,0<α<β≤,求证:[f(β)]2-2=0.‎ 解 (1)∵f(x)=sin+sin ‎=sin+sin=2sin,‎ ‎∴T=2π,f(x)的最小值为-2.‎ ‎(2)证明:由已知得cosβcosα+sinβsinα=,‎ cosβcosα-sinβsinα=-.‎ 两式相加,得2cosβcosα=0,‎ ‎∵0<α<β≤,∴β=.‎ ‎∴[f(β)]2-2=4sin2-2=0.‎
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