2020高中数学 第三章函数的极值与导数

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2020高中数学 第三章函数的极值与导数

‎3.3.2 ‎函数的极值与导数 学习目标:1.了解极值的概念、理解极值与导数的关系.(难点)2.掌握利用导数求函数极值的步骤,能熟练地求函数的极值.(重点)3.会根据函数的极值求参数的值.(难点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1.极小值点与极小值 若函数f(x)满足:‎ ‎(1)在x=a附近其他点的函数值f(x)≥f(a);‎ ‎(2)f′(a)=0;‎ ‎(3)在x=a附近的左侧f′(x)<0,在x=a附近的右侧f′(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.‎ ‎2.极大值点与极大值 若函数f(x)满足: ‎ ‎(1)在x=b附近其他点的函数值f(x)≤f(b);‎ ‎(2)f′(b)=0;‎ ‎(3)在x=b附近的左侧f′(x)>0,在x=b附近的右侧f′(x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.‎ 思考:(1)区间[a,b]的端点a,b能作为极大值点或极小值点吗?‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[a,b]内存在一点c,满足f′(c)=0,则x=c是函数f(x)的极大值点或极小值点吗?‎ ‎[提示] (1)不能,极大值点和极小值点只能是区间内部的点.‎ ‎(2)不一定,若在点c的左右两侧f′(x)符号相同,则x=c不是极大值点或极小值点,若在点c的左右两侧f′(x)的符号不同,则x=c是函数f(x)的极大值点或极小值点.‎ ‎3.极值的定义 ‎(1)极小值点、极大值点统称为极值点.‎ ‎(2)极大值与极小值统称为极值.‎ ‎4.求函数y=f(x)的极值的方法 解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时,‎ ‎(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值. ‎ ‎(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值.‎ ‎[基础自测]‎ ‎1.思考辨析 ‎(1)导数值为0的点一定是函数的极值点. (  )‎ ‎(2)函数的极大值一定大于极小值. (  )‎ ‎(3)在可导函数的极值点处,切线与x轴平行或重合. (  )‎ 8‎ ‎(4)函数f(x)=有极值. (  )‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×‎ ‎2.函数y=x3+1的极大值是(  )‎ A.1    B.‎0 ‎   C.2    D.不存在 D [y′=3x2≥0,则函数y=x3+1在R上是增函数,不存在极大值.]‎ ‎3.若x=-2与x=4是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点则有(  ) ‎ ‎【导学号:97792153】‎ A.a=-2,b=4 B.a=-3,b=-24‎ C.a=1,b=3 D.a=2,b=-4‎ B [f′(x)=3x2+2ax+b,依题意有x=-2和x=4是方程3x2+2ax+b=0的两个根,所以有-=-2+4,=-2×4,解得a=-3,b=-24.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 求函数的极值 ‎ (1)已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导函数f′(x)的图象如图338所示,则函数f(x)的极小值是(  )‎ 图338‎ A.a+b+c    B.‎3a+4b+c C.‎3a+2b D.c ‎(2)求下列函数的极值:‎ ‎①f(x)=x3-x2-3x+3;‎ ‎②f(x)=-2.‎ ‎[解析] (1)由f′(x)的图象知,当x<0时,f′(x)<0,‎ 当00,当x>2时,f′(x)<0‎ 因此当x=0时,f(x)有极小值,且f(0)=c,故选D.‎ ‎[答案] D ‎(2)①函数的定义域为R,f′(x)=x2-2x-3.‎ 8‎ 令f′(x)=0,得x=3或x=-1.‎ 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞,-1)‎ ‎-1‎ ‎(-1,3)‎ ‎3‎ ‎(3,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ↗‎ 极大值 ↘‎ 极小值-6‎ ↗‎ ‎∴x=-1是f(x)的极大值点,x=3是f(x)的极小值点,且f(x)极大值=,f(x)极小值=-6.‎ ‎②函数的定义域为R,‎ f′(x)==-.‎ 令f′(x)=0,得x=-1或x=1.‎ 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞,-1)‎ ‎-1‎ ‎(-1,1)‎ ‎1‎ ‎(1,+∞)‎ f′(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ↘‎ 极小值-3‎ ‎↗ 极大值-1‎ ‎↘ 由表可以看出:‎ 当x=-1时,函数f(x)有极小值,且f(-1)=-2=-3;‎ 当x=1时,函数f(x)有极大值,且f(1)=-2=-1.‎ ‎[规律方法] 函数极值和极值点的求解步骤 ‎(1)确定函数的定义域. ‎ ‎(2)求方程f′(x)=0的根.‎ ‎(3)用方程f′(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并列成表格.‎ ‎(4)由f′(x)在方程f′(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处取极值的情况.‎ 提醒:当实数根较多时,要充分利用表格,使极值点的确定一目了然.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.求下列函数的极值.‎ ‎(1)f(x)=2x+;‎ ‎(2)f(x)=+3ln x.‎ ‎[解] (1)因为f(x)=2x+,‎ 所以函数的定义域为{x|x∈R且x≠0},‎ 8‎ f′(x)=2-,‎ 令f′(x)=0,得x1=-2,x2=2.‎ 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞,-2)‎ ‎-2‎ ‎(-2,0)‎ ‎(0,2)‎ ‎2‎ ‎(2,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值-8‎ ‎↘‎ ‎↘‎ 极小值8‎ ‎↗‎ 因此,当x=-2时,f(x)有极大值-8;‎ 当x=2时,f(x)有极小值8.‎ ‎(2)函数f(x)=+3ln x的定义域为(0,+∞),‎ f′(x)=-+=,‎ 令f′(x)=0,得x=1.‎ 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,+∞)‎ f′(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↘‎ 极小值3‎ ‎↗‎ 因此,当x=1时,f(x)有极小值3,无极大值.‎ 已知函数的极值求参数范围(值)‎ ‎ 已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1处有极值0,求a,b的值. ‎ ‎【导学号:97792154】‎ ‎[思路探究] f(x)在x=-1处有极值0有两方面的含义:一方面x=-1为极值点,另一方面极值为0,由此可得f′(-1)=0,f(-1)=0.‎ ‎[解] ∵f′(x)=3x2+6ax+b且函数f(x)在x=-1处有极值0,‎ ‎∴即 解得或 当a=1,b=3时,f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,此时函数f(x)在R上为增函数,无极值,故舍去.‎ 当a=2,b=9时,f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3).‎ 当x∈(-∞,-3)时,f′(x)>0,此时f(x)为增函数;‎ 当x∈(-3,-1)时,f′(x)<0,此时f(x)为减函数;‎ 当x∈(-1,+∞)时,f′(x)>0,此时f(x)为增函数.‎ 故f(x)在x=-1处取得极小值.‎ 8‎ ‎∴a=2,b=9.‎ ‎[规律方法] 已知函数的极值情况求 参数时应注意两点 ‎(1)待定系数法:常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组,用待定系数法求解.‎ ‎(2)验证:因为导数值为0不一定此点就是极值点,故利用上述方程组解出的解必须验证.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2.(1)函数f(x)=x3-ax2-bx+a2在x=1时有极值10,则a,b的值为(  )‎ A.a=3,b=-3或a=-4,b=11‎ B.a=-4,b=2或a=-4,b=11‎ C.a=-4,b=11‎ D.以上都不对 C [f′(x)=3x2-2ax-b.由题意知 解得或 当a=3,b=-3时,f′(x)=3(x+1)2≥0,不合题意,故a=-4,b=11.]‎ ‎(2)函数f(x)=x3-x2+ax-1有极值点,求a的取值范围.‎ ‎[解] f′(x)=x2-2x+a,由题意,方程x2-2x+a=0有两个不同的实数根,所以Δ=4-‎4a>0,解得a<1.所以a的取值范围为(-∞,1).‎ 函数极值的综合应用 ‎[探究问题]‎ ‎1.如何画三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的大致图象?‎ 提示:求出函数的极值点和极值,根据在极值点左右两侧的单调性画出函数的大致图象.‎ ‎2.三次函数f(x)=ax3+bx2+c(a≠0)的图象和x轴一定有三个交点吗?‎ 提示:不一定,三次函数的图象和x轴交点的个数和函数极值的大小有关,可能有一个也可能有两个或三个.‎ ‎ 已知a为实数,函数f(x)=-x3+3x+a ‎(1)求函数f(x)的极值,并画出其图象(草图)‎ ‎(2)当a为何值时,方程f(x)=0恰好有两个实数根.‎ ‎[思路探究] (1)求出函数f(x)的极值点和极值,结合函数在各个区间上的单调性画出函数的图象.‎ 8‎ ‎(2)当极大值或极小值恰好有一个为0时,方程f(x)=0恰好有两个实数根.‎ ‎[解] (1)由f(x)=-x3+3x+a,‎ 得f′(x)=-3x2+3, ‎ 令f′(x)=0,得x=-1或x=1.‎ 当x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0;‎ 当x∈(-1,1)时,f′(x)>0;‎ 当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0.‎ 所以函数f(x)的极小值为f(-1)=a-2;极大值为f(1)=a+2.‎ 由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象,如图所示,‎ ‎(2)结合图象,当极大值a+2=0时,有极小值小于0,此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点,即方程f(x)=0恰有两个实数根,所以a=-2满足条件;当极小值a-2=0时,有极大值大于0,此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点,即方程f(x)=0恰好有两个实数根,所以a=2满足条件.‎ 综上,当a=±2时,方程恰有两个实数根.‎ 母题探究:1.本例中条件不变,试求当a为何值时,方程f(x)=0有三个不等实根.‎ ‎[解] 由例题解析知,当即-2或x<-时,f′(x)>0;‎ 当-0,∴x=-4时,y取到极小值-131,x=4时,y取到极大值125.]‎ ‎4.已知函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是________.‎ ‎(-∞,-1)∪(2,+∞) [f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),‎ ‎∵函数f(x)既有极大值又有极小值,‎ 8‎ ‎∴方程f′(x)=0有两个不相等的实根.‎ ‎∴Δ=‎36a2-36(a+2)>0.‎ 即a2-a-2>0,解之得a>2或a<-1.]‎ ‎5.已知函数f(x)=ax2+bln x在x=1处有极值.‎ ‎(1)求a,b的值.‎ ‎(2)判断函数f(x)的单调区间,并求极值. ‎ ‎【导学号:97792155】‎ ‎[解] (1)因为f(x)=ax2+bln x,‎ 所以f′(x)=2ax+.‎ 又函数f(x)在x=1处有极值.‎ 故即 解得a=,b=-1.‎ ‎(2)由(1)可知f(x)=x2-ln x.‎ 其定义域为(0,+∞).‎ 且f′(x)=x-=.‎ 令f′(x)=0,则x=-1(舍去)或x=1.‎ 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表:‎ x ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,+∞)‎ f′(x)‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 所以函数f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞),且函数在定义域上只有极小值f(1)=,无极大值.‎ 8‎
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