【数学】陕西省安康中学2020届高三第三次模拟考试(文)(解析版)

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【数学】陕西省安康中学2020届高三第三次模拟考试(文)(解析版)

陕西省安康中学2020届高三第三次模拟考试(文)‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,‎ 只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合,,则集合不可能是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2.已知是虚数单位,则等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.过点且垂直于直线的直线方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.下列函数中,满足“对任意的,当时,总有”的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.设等差数列的前n项和为,若,则( )‎ A.2 B. C.9 D.‎ ‎6.将函数的图象向右平移个单位,得到函数的图象,则的表达式可以是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎7.设是中任意两个不同的数,那么复数恰好是纯虚数的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆,‎ 则该几何体的表面积是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.阅读如图的程序框图,若输入,则输出的值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.在所在的平面内有一点P,如果,那么的面积与的面积之比是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知四面体的外接球的球心在上,且平面,,若四面体的体积为,则该球的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知定义在R上奇函数满足①对任意x,都有成立;②当时,,则在上根的个数是( )‎ A.4 B.‎5 ‎C.6 D.7‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元),有如下的统计资料:‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.2‎ ‎3.8‎ ‎5.5‎ ‎6.5‎ ‎7.0‎ 若由资料可知y对x呈线性相关关系,且线性回归方程为,其中已知,请估计使用年限为20年时,维修费用约为_________.‎ ‎14.设,满足约束条件,若目标函数的最大值是12,则的最小值为________.‎ ‎15.已知数列的前项和为,且,,则 .‎ ‎16.已知双曲线的左右焦点是,设是双曲线右支上一点,在上的投影的大小恰好为,且它们的夹角为,则双曲线的离心率是 .‎ 三、解答题:本大题共6个大题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(12分)设函数.直线与函数图象相邻两交点的距离为.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)在中,角所对的边分别是.若点是函数图象的一个对称中心,且,求外接圆的面积.‎ ‎18.(12分)为了增强学生的环境意识,某中学随机抽取了50名学生举行了一次环保知识竞赛,‎ 本次竞赛的成绩(得分均为整数,满分100分)整理,制成下表:‎ 成绩 频数 ‎2‎ ‎3‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎14‎ ‎4‎ ‎(1)作出被抽查学生成绩的频率分布直方图;‎ ‎(2)若从成绩在中选一名学生,从成绩在中选出2名学生,共3名学生召开座谈会,求组中学生A1和组中学生B1同时被选中的概率?‎ ‎19.(12分)如图,是边长为4的正方形,平面,,.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)设点是线段上一个动点,试确定点的位置,使得平面,并证明你的结论.‎ ‎20.(12分)设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,上顶点为A,离心率,在x轴负半轴上有一点B,且.‎ ‎(1)若过A、B、F2三点的圆恰好与直线相切,求椭圆C的方程;‎ ‎(2)在(1)的条件下,过右焦点F2作斜率为k的直线与椭圆C交于M、N两点,在x轴上是否存在点p(m,0),使得以PM,PN为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,说明理由.‎ ‎21.(12分)已知函数.‎ ‎(1)若函数在其定义域内为增函数,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)设,存在两个零点m,n且,证明:‎ 函数处的切线不可能平行于x轴.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.(10分)【选修4-4:极坐标与参数方程】‎ 在极坐标系中,已知点到直线的距离为3.‎ ‎(1)求实数的值;‎ ‎(2)设是直线上的动点,在线段上,且满足,求点的轨迹方程,并指出轨迹是什么图形.‎ ‎23.(10分)【选修4-5:不等式选讲】‎ 已知.‎ ‎(1)当时,解不等式;‎ ‎(2)当时,恒成立,求实数的取值范围.‎ 参考答案 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,‎ 只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.【答案】C ‎【解析】∵,∴,选项C中,,故不满足.‎ ‎2.【答案】D ‎【解析】.‎ ‎3.【答案】D ‎【解析】设垂直于直线的直线方程为,‎ 又直线过点,∴,解得,‎ 故所求直线的方程为.‎ ‎4.【答案】C ‎【解析】由题意知函数在上是减函数,故选C.‎ ‎5.【答案】C ‎【解析】∵,又.‎ ‎6.【答案】B ‎【解析】∵将函数的图象向右平移个单位得 ‎,‎ ‎∴.‎ ‎7.【答案】A ‎【解析】有题意知本题是一个古典概型,‎ 实验发生包含的事件是从6个数字中任取2个数字,共有种结果,‎ 满足条件的事件是复数恰好是纯虚数,即实部是0,这样虚部有5中结果,‎ ‎∴复数恰好是纯虚数的概率为.‎ ‎8.【答案】A ‎【解析】三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分,‎ 然后把截面放在平面上,两底面相对接的图形,‎ 圆锥的底面半径为1,母线长为2,‎ 该几何体的表面积就是圆锥的侧面积与轴截面面积的2倍的和,‎ 圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,高为,‎ ‎.‎ ‎9.【答案】B ‎【解析】时,;‎ 时,,;‎ 时,,;‎ 时,,;‎ 时,;‎ ‎∴.‎ ‎10.【答案】A ‎【解析】∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴点P在边AC上,且,∴,‎ 设的AC边上的高为,∴.‎ ‎11.【答案】D ‎【解析】由题意,O为AB的中点,为直角三角形,‎ 设,由于,∴,.‎ 又,O为球心,∴,‎ ‎,∴,‎ ‎.‎ ‎12.【答案】B ‎【解析】由①知函数的最小正周期是3,‎ 由②得,‎ 画出函数及的图像即得.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.【答案】24.68‎ ‎【解析】∵,‎ ‎∴当时,,‎ 故答案为24.68.‎ ‎14.【答案】‎ ‎【解析】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,‎ 当直线过直线与直线的交点时,‎ 目标函数取得最大12,‎ 即,即,‎ 则,‎ 故答案为.‎ ‎15.【答案】‎ ‎【解析】∵数列满足,,‎ ‎∴,解得,‎ 当时,,‎ ‎∴数列的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为2.‎ 则 ‎,‎ 故答案为.‎ ‎16.【答案】‎ ‎【解析】∵上的摄影的大小恰好为,∴,‎ 又因为它们的夹角为,∴,‎ ‎∴在中,,∴,,‎ 根据双曲线的定义,∴,‎ 所以,故答案为.‎ 三、解答题:本大题共6个大题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)‎ ‎,‎ 因为的最大值为,依题意,函数的最小正周期为,‎ 由,得.‎ ‎(2)因为,依题意,‎ ‎,‎ ‎∵,,∴,,‎ 由正弦定理,,∴,‎ 外接圆的面积为.‎ ‎18.【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎【解析】(1)各组频率分别为0.04,0.06,0.28,0.30,0.24,0.08,‎ 所以,图中各组的纵坐标分别为0.004,0.006,0.028,0.03,0.024,0.008.‎ ‎(2)记中的学生为A1,A2;中的学生为B1,B2,B3,B4,‎ 由题意可得,基本事件为AlBlB2,A1B1B3,AlBlB4,A1B2B3,A1B2B4,AlB3B4,A2B1B2,A2B1B3,A2B1B4,A2B2B3,A2B2B4,A2B3B4共l2个,‎ 满足A1B1同时被选中的事件为A1B1B2,A1B1B3,A1B1B4共3个,‎ ‎∴学生A1和B1同时被选中的概率为.‎ ‎19.【答案】(1)证明见解析;(2)是的一个四等分点,证明见解析.‎ ‎【解析】(1)证明:因为,所以.‎ 因为是正方形,所以,‎ 因为,从而平面.‎ ‎(2)当是的一个四等分点,即时,,‎ 取上的四等分点,使,连结,,‎ 则,且,‎ 因为,且,所以,且,‎ 故四边形是平行四边形,所以,‎ 因为,,所以.‎ ‎20.【答案】(1);(2)存在,.‎ ‎【解析】(1)由题意,得,所以,‎ 又,由于,所以为线段的中点,‎ 所以,‎ 所以的外接圆圆心为,半径,‎ 又过三点的圆与直线相切,‎ 所以,解得,‎ ‎,,‎ 所求椭圆方程为.‎ ‎(2)有(1)知设的方程为,‎ 将直线方程与椭圆方程联立,‎ 整理得,‎ 设交点为,,‎ 因为,则,,‎ 若存在点,使得以,为邻边的平行四边形是菱形,‎ 由于菱形对角线垂直,所以,‎ 又,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 由已知条件知,‎ ‎,,‎ 故存在满足题意的点且m的取值范围是.‎ ‎21.【答案】(1);(2)证明见解析.‎ ‎【解析】(1),,‎ 由已知,得对一切恒成立,‎ ‎,即对一切恒成立,‎ ‎,,‎ 的取值范围为.‎ ‎(2),‎ 由已知得,.‎ ‎,即.‎ 假设结论不成立,即,则,.‎ 又,‎ ‎,‎ ‎.‎ 令,则有.‎ 令.‎ ‎.‎ 在上是增函数,‎ ‎∴当时,,即.‎ ‎∴当时,不可能成立,‎ ‎∴假设不成立,‎ 在处的切线不平行于轴.‎ ‎22.【答案】(1);(2),点的轨迹是以为圆心,‎ 为半径的圆.‎ ‎【解析】(1)以极点为原点,极轴为轴的正半轴,建立直角坐标系,‎ 则点的直角坐标为,直线的直角坐标方程为,‎ 由点到直线的距离为,∴.‎ ‎(2)由(1)得直线的方程为,‎ 设,,则,①‎ 因为点在直线上,所以,②‎ 将①代入②,得.‎ 则点的轨迹方程为,‎ 化为直角坐标方程为,‎ 则点的轨迹是以为圆心,为半径的圆.‎ ‎23.【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)当时,不等式化为,‎ 则可得或或,‎ 可得或或,‎ 则不等式解集为.‎ ‎(2)当时,恒成立,‎ 则恒成立,‎ 化为在上恒成立,‎ 而在上为增函数,则,‎ ‎,等号成立时,‎ 所以的取值范围为.‎
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