【数学】2019届一轮复习人教A版(文)第三章第4节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用学案

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【数学】2019届一轮复习人教A版(文)第三章第4节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用学案

第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 ‎1.函数y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ)‎ ‎(A>0,ω>0)‎ 振幅 周期 频率 相位 初相 A T= f== ωx+φ φ ‎2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示:‎ ωx+φ ‎2π x ‎- - - y=Asin(ωx+φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎-A ‎0‎ ‎3.由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种方法 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)函数y=sin的图象是由y=sin的图象向右平移个单位得到的.(  )‎ ‎(2)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.(  )‎ ‎(3)函数y=Asin(ωx+φ)的最小正周期为T=.(  )‎ ‎(4)把函数y=sin x的图象上各点纵坐标不变,横坐标缩短为原来的,所得图象对应的函数解析式为y=sinx.(  )‎ 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)×‎ ‎2.函数y=2sin的振幅、频率和初相分别为(  )‎ A.2,,       B.2,, C.2,, D.2,,- 解析:选A 由振幅、频率和初相的定义可知,函数y=2sin的振幅为2,频率为,初相为.‎ ‎3.函数y=cos x|tan x|的图象为(  )‎ 解析:选C 由题意知y= 结合图象知选C.‎ ‎4.为了得到函数y=2sin的图象,可以将函数y=2sin 2x的图象(  )‎ A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 解析:选A 函数y=2sin=2sin,可由函数y=2sin 2x的图象向右平移 eq f(π,6)个单位长度得到.故选A.‎ ‎5.用五点法作函数y=sin在一个周期内的图象时,主要确定的五个点是______、______、______、______、______.‎ 答案:     ‎6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则f的值为________.‎ 解析:由图象可知A=2,T=-=,∴T=π,∴ω=2,‎ ‎∵当x=时,函数f(x)取得最大值,‎ ‎∴2×+φ=+2kπ(k∈Z),∴φ=+2kπ(k∈Z),‎ ‎∵0<φ<π,∴φ=,∴f(x)=2sin,‎ 则f=2sin=2cos=.‎ 答案:    三角函数图象的变换多出现在选择题中,以y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象为基础,进行横向伸缩变换及纵向伸缩变换,或者由正弦型、余弦型、正切型函数图象为基础进行逆向变换.属于必得分题.‎ ‎[典题领悟]‎ ‎(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1:y=cos x,C2:y=sin,则下面结论正确的是(  )‎ A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2‎ B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2‎ C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2‎ D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2‎ 解析:选D 易知C1:y=cos x=sin,把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=sin的图象,再把所得函数的图象向左平移个单位长度,可得函数y=sin=sin的图象,即曲线C2.‎ ‎[解题师说]‎ ‎1.掌握三角函数的图象变换的2方法 ‎(1)平移变换 沿x轴平移 由y=f(x)变为y=f(x+φ)时,“左加右减”,即φ>0,左移;φ<0,右移 沿y轴平移 由y=f(x)变为y=f(x)+k时,“上加下减”,即k>0,上移;k<0,下移 ‎ (2)伸缩变换 沿x轴伸缩 由y=f(x)变为y=f(ωx)时,点的纵坐标不变,横坐标变为原来的倍 沿y轴伸缩 由y=f(x)变为y=Af(x)时,点的横坐标不变,纵坐标变为原来的|A|倍 ‎2.注意三角函数图象变换中的3问题 ‎(1)变换前后,函数的名称要一致,若不一致,应先利用诱导公式转化为同名函数;‎ ‎(2)要弄清变换的方向,即变换的是哪个函数的图象,得到的是哪个函数的图象,切不可弄错方向;‎ ‎(3)要弄准变换量的大小,特别是平移变换中,函数y=Asin x到y=Asin(x+φ)的变换量是|φ|个单位,而函数y=Asin ωx到y=Asin(ωx+φ)时,变换量是个单位.‎ ‎[冲关演练]‎ ‎1.(2016·全国卷Ⅰ)将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为(  )‎ A.y=2sin     B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin 解析:选D 函数y=2sin的周期为π,将函数y=2sin的图象向右平移个周期即个单位长度,所得图象对应的函数为y=2sin=2sin,故选D.‎ ‎2.(2018·昆明质检)已知函数f(x)=sin(0<ω<2)满足条件:f=0,为了得到函数y=f(x)的图象,可将函数g(x)=cos ωx的图象向右平移m(m>0)个单位长度,则m的最小值为(  )‎ A.1 B. C. D. 解析:选A 由题意,得sin=0,即-ω+=kπ(k∈Z),则ω=-2kπ(k∈Z),结合0<ω<2,得ω=,所以f(x)=sin=cos=cos,所以只需将函数g(x)=cosx的图象向右至少平移1个单位长度,即可得到函数y=f(x)的图象,故选A.‎      根据三角函数的图象(或性质)求解析式是高考对三角函数知识考查的一个重要方面,主要考查由图象(或性质)求解析式;由图象(或性质)求解析式中参数的值;由图象(或性质)解决相关的求值问题等.多以选择题、填空题的形式出现,有时也可能在解答题中出现,难度为中低档题.‎ ‎[典题领悟]‎ ‎1.函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示,则f的值为(  )‎ A.-          B.- C.- D.-1‎ 解析:选D 由图象可得A=,最小正周期T=4×=π,则ω==2.又f=sin=-,|φ|<,得φ=,则f(x)=sin,f=sin=sin ‎=-1,故选D.‎ ‎2.(2017·天津高考)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则(  )‎ A.ω=,φ= B.ω=,φ=- C.ω=,φ=- D.ω=,φ= 解析:选A ∵f=2,f=0,‎ ‎∴-=(‎2m+1),m∈N,‎ ‎∴T=,m∈N,‎ ‎∵f(x)的最小正周期大于2π,∴T=3π,‎ ‎∴ω==,∴f(x)=2sin.‎ 由2sin=2,得φ=2kπ+,k∈Z.‎ 又|φ|<π,∴取k=0,得φ=.‎ ‎[解题师说]‎ ‎1.确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)中参数的方法 ‎(1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则A=,b=;‎ ‎(2)求ω:确定函数的周期T,则可得ω=;‎ ‎(3)求φ:常用的方法有:‎ ‎①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,ω,b已知)或代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).‎ ‎②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口.具体如下:‎ 第一点 图象上升时与x轴的交点 ωx+φ=0‎ 第二点 图象的“峰点”     ‎ ωx+φ= 第三点 图象下降时与x ωx+φ=π 轴的交点 第四点 图象的“谷点”     ‎ ωx+φ= 第五点 ωx+φ=2π ‎2.谨防1种失误 一般情况下,ω的值是唯一确定的,但φ的值是不确定的,它有无数个,如果求出的φ值不在指定范围内,可以通过加减的整数倍达到目的.‎ ‎[冲关演练]‎ ‎1.(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为(  )‎ A.,k∈Z B.,k∈Z C.,k∈Z D.,k∈Z 解析:选D 由图象知,周期T=2=2,‎ ‎∴=2,∴ω=π.‎ 由π×+φ=+2kπ,得φ=+2kπ,k∈Z,‎ 不妨取φ=,∴f(x)=cos.‎ 由2kπ<πx+<2kπ+π,‎ 得2k-<x<2k+,k∈Z,‎ ‎∴f(x)的单调递减区间为,k∈Z.‎ ‎2.(2018·西安八校联考)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2,且过点,则函数f(x)=________.‎ 解析:依题意得 =2,则=2,即ω=,所以f(x)=sin,由于该函数图象过点,因此sin(π+φ)=-,即sin φ=,而-≤φ≤,故φ=,所以f(x)=sin.‎ 答案:sin      三角函数的图象与性质是高考的热点,常常利用其性质解决实际问题或与导数、不等式等综合构成较复杂的问题,此时题目难度大,综合性较强.,常见的命题角度有:‎ (1)三角函数模型的应用;‎ (2)函数零点(方程根)问题;‎ (3)三角函数图象与性质的综合应用.‎ ‎[题点全练]‎ 角度(一) 三角函数模型的应用 ‎1.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|<的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,9月份价格最低为5千元.则7月份的出厂价格为________元.‎ 解析:作出函数简图如图:‎ 三角函数模型为:y=Asin(ωx+φ)+B,‎ 由题意知:A=2 000,B=7 000,T=2×(9-3)=12,‎ ‎∴ω==.‎ 将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点,‎ 则有×3+φ=,∴φ=0,‎ 故f(x)=2 000sinx+7 000(1≤x≤12,x∈N*).‎ ‎∴f(7)=2 000×sin+7 000=6 000.‎ 故7月份的出厂价格为6 000元.‎ 答案:6 000‎ ‎[题型技法]‎ 三角函数模型在实际应用中体现的2个方面 ‎(1)已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则;‎ ‎(2)把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.‎ 角度(二) 函数零点(方程根)问题 ‎2.函数y=sin(ωx+φ)在同一个周期内,当x=时,y取得最大值1,当x=时,y取得最小值-1.‎ ‎❶‎ 若函数f(x)满足方程f(x)=a(0<a<1),则在[0,2π]内的 ‎❷‎ 所有实数根之和为(  )‎ ‎❸‎ A.          B. C. D. ‎[学审题]‎ ‎①由在同一周期内给出y取得最大值、最小值时对应的x值,可推导出最小正周期T;‎ ‎②在一个周期内有两个根满足f(x)=a,可结合图象推出两根关系;‎ ‎③应想到在[0,2π]内有几个周期.‎ 解析:选A 由题意可得=2×,所以ω=3.‎ 又sin=1,所以+φ=2kπ+(k∈Z),‎ 所以φ=2kπ-(k∈Z).‎ 又|φ|<,所以φ=-,‎ 所以函数f(x)=sin.‎ 由于f(x)=sin的最小正周期为,‎ 所以f(x)=sin在[0,2π]内恰有3个周期,‎ 所以sin=a(00,ω>0);‎ ‎(2)画出长度为一个周期的区间上的函数图象;‎ ‎(3)利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题.‎ 角度(三) 三角函数图象与性质的综合应用 ‎3.(2018·湘中名校联考)已知函数f(x)=sin ωx-sin(ω>0).‎ ‎(1)若f(x)在[0,π]上的值域为,求ω的取值范围;‎ ‎(2)若f(x)在上单调,且f(0)+f=0,求ω的值.‎ 解:f(x)=sin ωx-sin=sin ωx-sin ωx-cos ωx=sin ωx-cos ωx=sin.‎ ‎(1)由x∈[0,π]⇒ωx-∈,又f(x)在[0,π]上的值域为,即最小值为-,最大值为1,则由正弦函数的图象可知≤ωπ-≤,解得≤ω≤.‎ ‎∴ω的取值范围是.‎ ‎(2)因为f(x)在上单调,‎ 所以≥-0,则≥,‎ 即ω≤3,又ω>0,所以0<ω≤3,‎ 由f(0)+f=0且f(x)在上单调,得是f(x)图象的对称中心,‎ ‎∴-=kπ,k∈Z⇒ω=6k+2,k∈Z,‎ 又0<ω≤3,所以ω=2.‎ ‎[题型技法]‎ 解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 ‎(1)将f(x)化为asin x+bcos x的形式;‎ ‎(2)构造f(x)=·sin x+·cos x;‎ ‎(3)和角公式逆用,得f(x)=sin(x+φ)(其中φ为辅助角);‎ ‎(4)利用f(x)=sin(x+φ)研究三角函数的性质;‎ ‎(5)反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.‎ ‎[冲关演练]‎ ‎1.(2018·东北四市模拟)若关于x的方程2sin=m在上有两个不等实根,则m的取值范围是(  )‎ A.(1,)          B.[0,2]‎ C.[1,2) D.[1,]‎ 解析:选C 2sin=m在上有两个不等实根等价于函数f(x)=2sin的图象与直线y=m有两个交点.在同一坐标系中作出y=f(x)与y=m的图象如图所示,由图可知m的取值范围是[1,2).‎ ‎2.(2017·河北石家庄一模)若函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)(0<θ<π)的图象关于点对称,则函数f(x)在上的最小值是(  )‎ A.-1 B.- C.- D.- 解析:选B f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin,则由题意,知f=‎ ‎2sin=0,又因为0<θ<π,所以<π+θ+<,所以π+θ+=2π,所以θ=,所以f(x)=-2sin 2x,又因为函数f(x)在上是减函数,所以函数f(x)在上的最小值为f=-2sin=-,故选B.‎ ‎3.某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24),则实验室这一天的最大温差为________℃.‎ 解析:因为f(t)=10-2=10-2sin,又0≤t<24,所以≤t+<,‎ 所以-1≤sin≤1.‎ 当t=2时,sin=1;‎ 当t=14时,sin=-1.‎ 于是f(t)在[0,24)上的最大值为12,最小值为8.‎ 故实验室这一天最高温度为‎12 ℃‎,最低温度为‎8 ℃‎,最大温差为‎4 ℃‎.‎ 答案:4‎ ‎(一)普通高中适用作业 A级——基础小题练熟练快 ‎1.函数y=sin在区间上的简图是(  )‎ 解析:选A 令x=0,得y=sin=-,排除B、D.由f=0,f=0,排除C,故选A.‎ ‎2.为了得到函数y=3sin 2x+1的图象,只需将y=3sin x的图象上的所有点(  )‎ A.横坐标伸长2倍,再向上平移1个单位长度 B.横坐标缩短倍,再向上平移1个单位长度 C.横坐标伸长2倍,再向下平移1个单位长度 D.横坐标缩短倍,再向下平移1个单位长度 解析:选B 将y=3sin x的图象上的所有点的横坐标缩短倍得到y=3sin 2x的图象,再将y=3sin 2x的图象再向上平移1个单位长度即得y=3sin 2x+1的图象,故选B.‎ ‎3.函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为,则f的值是(  )‎ A.-        B. C.1 D. 解析:选D 由题意可知该函数的周期为,‎ ‎∴=,ω=2,f(x)=tan 2x.‎ ‎∴f=tan =.‎ ‎4.若函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图,则ω等于(  )‎ A.5 B.4‎ C.3 D.2‎ 解析:选B 由图象可知=x0+-x0=,即T==,故ω=4.‎ ‎5.若函数f(x)=2sin ωx(ω>0)在(0,2π)上恰有两个极大值和一个极小值,则ω的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选A 因为函数f(x)在(0,2π)上恰有两个极大值和一个极小值,所以由正弦函数的图象可得T<2π≤T,即·<2π≤·,解得<ω≤.‎ ‎6.将函数f(x)=cos 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x),则g(x)具有的性质是(  )‎ A.最大值为1,图象关于直线x=对称 B.在上单调递增,为奇函数 C.在上单调递增,为偶函数 D.周期为π,图象关于点对称 解析:选B 将函数f(x)=cos 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)=cos=sin 2x的图象,当x=时,g(x)=0,故A错,当x∈时,2x∈,故函数g(x)在上单调递增,为奇函数,故B正确,C错,当x=时,g(x)=,故D错,选B.‎ ‎7.若函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为,则f=________.‎ 解析:由f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为,得ω=4.所以f=sin=0.‎ 答案:0‎ ‎8.已知函数f(x)=2sin 的图象经过点(0,1),则该函数的振幅为____________,周期T为____________,频率为____________,初相φ为____________.‎ 解析:振幅A=2,T==6,f=.‎ 因为图象过点(0,1),‎ 所以2sin φ=1,所以sin φ=,‎ 又|φ|<,所以φ=.‎ 答案:2 6   ‎9.(2017·河南洛阳统考)函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,已知图象经过点A(0,1),B,则f(x)=‎ ‎____________.‎ 解析:由已知得=,∴T=,‎ 又T=,∴ω=3.‎ ‎∵f(0)=1,∴sin φ=,又∵0<φ<,∴φ=,‎ ‎∴f(x)=2sin(经检验满足题意).‎ 答案:2sin ‎10.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的平均气温最高,为‎28 ℃‎,12月份的平均气温最低,为‎18 ℃‎,则10月份的平均气温值为________℃.‎ 解析:依题意知,a==23,A==5,‎ 所以y=23+5cos,‎ 当x=10时,y=23+5cos=20.5.‎ 答案:20.5‎ B级——中档题目练通抓牢 ‎1.(2018·云南11校跨区调研)函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度,所得图象经过点,则ω的最小值是(  )‎ A. B.2‎ C.1 D. 解析:选C 依题意得,函数f=sin(ω>0)的图象过点,‎ 于是有f=sinω=sin ωπ=0(ω>0),ωπ=kπ,k∈Z,即ω=k∈Z,‎ 因此正数ω的最小值是1,选C.‎ ‎2.(2018·安徽两校阶段性测试)将函数y=cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度,所得函数图象的一条对称轴为(  )‎ A.x= B.x= C.x= D.x=π 解析:选A 将函数y=cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=cos的图象;再将此函数的图象向左平移个单位长度后,得到函数y=cos=cos的图象.该函数图象的对称轴为-=kπ(k∈Z),即x=2kπ+(k∈Z).结合选项,只有A符合,故选A.‎ ‎3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,又x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=(  )‎ A. B. C. D.1‎ 解析:选B 由题图可知,=-=,则T=π,ω=2,又=,所以f(x)的图象过点,即sin=1,得+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,可得φ=,所以f(x)=sin.由f(x1)=f(x2),x1,x2∈,可得x1+x2=-+=,所以f(x1+x2)=f=sin=sin=.‎ ‎4.若函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,直线x=是它的一条对称轴,则函数f(x)的解析式为________.‎ 解析:由题意可知,=-=,‎ 所以T==π,‎ 所以ω=2.‎ 又因为f=1,‎ 所以sin=1,‎ 所以+φ=+2kπ(k∈Z).‎ 又φ∈,所以φ=,‎ 所以f(x)=sin.‎ 答案:f(x)=sin ‎5.已知函数f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象完全相同,若x∈,则f(x)的值域是________.‎ 解析:f(x)=3sin=3cos=3cos,易知ω=2,则f(x)=3sin,‎ ‎∵x∈,∴-≤2x-≤,‎ ‎∴-≤f(x)≤3.‎ 答案: ‎6.已知函数f(x)=2sin(其中0<ω<1),若点是函数f(x)图象的一个对称中心.‎ ‎(1)求ω的值,并求出函数f(x)的增区间;‎ ‎(2)先列表,再作出函数f(x)在区间[-π,π]上的图象.‎ 解:(1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心,‎ 所以-+=kπ(k∈Z),‎ 所以ω=-3k+(k∈Z),因为0<ω<1,‎ 所以当k=0时,可得ω=.‎ 所以f(x)=2sin.‎ 令2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),‎ 解得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z),‎ 所以函数f(x)的增区间为(k∈Z).‎ ‎(2)由(1)知,f(x)=2sin,x∈[-π,π].‎ 列表如下:‎ x+ ‎- ‎- ‎0‎ π x ‎-π ‎- ‎- π y ‎-1‎ ‎-2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎-1‎ 作出函数部分图象如图所示:‎ ‎7.(2017·山东高考)设函数f(x)=sin+sin,其中0<ω<3.已知f=0.‎ ‎(1)求ω;‎ ‎(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在上的最小值.‎ 解:(1)因为f(x)=sin+sin,‎ 所以f(x)=sin ωx-cos ωx-cos ωx ‎=sin ωx-cos ωx ‎= ‎=sin.‎ 因为f=0,‎ 所以-=kπ,k∈Z.‎ 故ω=6k+2,k∈Z.‎ 又0<ω<3,所以ω=2.‎ ‎(2)由(1)得f(x)=sin,‎ 所以g(x)=sin=sin.‎ 因为x∈,‎ 所以x-∈,‎ 当x-=-,即x=-时,g(x)取得最小值-.‎ C级——重难题目自主选做 ‎1.(2018·湘中名校联考)已知函数f(x)=sin+,ω>0,x∈R,且f(α)=-,f(β)=.若|α-β|的最小值为,则函数的单调递增区间为(  )‎ A.,k∈Z B.,k∈Z C.,k∈Z D.,k∈Z 解析:选B 由f(α)=-,f(β)=,|α-β|的最小值为,知=,即T=3π=,所以ω=,所以f(x)=sin+,令-+2kπ≤x-≤+2kπ(k∈Z),得-+3kπ≤x≤π+3kπ(k∈Z),故选B.‎ ‎2.已知函数f(x)=Mcos(ωx+φ)(M >0,ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图所示,AC=BC=,C=90°,则f的值为 ‎________.‎ 解析:依题意知,△ABC是直角边长为的等腰直角三角形,因此其边AB上的高是,函数f(x)的最小正周期是2,故M=,=2,ω=π,f(x)=cos(πx+φ).又函数f(x)是奇函数,于是有φ=kπ+(k∈Z).由0<φ<π,得φ=,故f(x)=-sin πx,f=-sin=-.‎ 答案:- ‎(二)重点高中适用作业 A级——保分题目巧做快做 ‎1.函数y=sin在区间上的简图是(  )‎ 解析:选A 令x=0,得y=sin=-,排除B、D.由f=0,f=0,排除C,故选A.‎ ‎2.函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=2所得线段长为,则f的值是(  )‎ A.-        B. C.1 D. 解析:选D 由题意可知该函数的周期为,‎ ‎∴=,ω=2,f(x)=tan 2x.‎ ‎∴f=tan =.‎ ‎3.(2018·洛阳调研)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) 的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是(  )‎ A.f(x)=sin   B.f(x)=sin C.f(x)=sin D.f(x)=sin 解析:选D 由图象可知=-=,‎ ‎∴T=π,∴ω==2,故排除A、C;‎ 把x=代入检验知,选项D符合题意.‎ ‎4.(2016·全国卷Ⅱ)若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为(  )‎ A.x=-(k∈Z) B.x=+(k∈Z)‎ C.x=-(k∈Z) D.x=+(k∈Z)‎ 解析:选B 将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=2sin =2sin的图象.由2x+=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),即平移后图象的对称轴为x=+(k∈Z).‎ ‎5.将函数f(x)=2cos 2x的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间和上均单调递增,则实数a的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选A 易得g(x)=2cos,由2kπ-π≤2x-≤2kπ,得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),即函数g(x)的单调增区间为(k∈Z).‎ 当k=0时,函数的增区间为,‎ 当k=1时,函数的增区间为.‎ 又函数g(x)在区间和上均单调递增,所以解得≤a≤.‎ ‎6.(2018·河南洛阳统考)函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,已知图象经过点A(0,1),B,则f(x)=____________.‎ 解析:由已知得=,∴T=,‎ 又T=,∴ω=3.‎ ‎∵f(0)=1,∴sin φ=,‎ 又∵0<φ<,∴φ=,‎ ‎∴f(x)=2sin(经检验满足题意).‎ 答案:2sin ‎7.已知函数f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象完全相同,若x∈,则f(x)的值域是________.‎ 解析:f(x)=3sin=3cos=3cos,易知ω=2,则f(x)=3sin,‎ ‎∵x∈,∴-≤2x-≤,‎ ‎∴-≤f(x)≤3.‎ 答案: ‎8.(2018·山东师大附中模拟)设P为函数f(x)=sinx的图象上的一个最高点,Q为函数g(x)=cosx的图象上的一个最低点,则|PQ|的最小值是________.‎ 解析:由题意知两个函数的周期都为T==4,由正、余弦函数的图象知,f(x)与g(x)的图象相差个周期,设P,Q分别为函数f(x),g(x)图象上的相邻的最高点和最低点,设P(‎ x0,1),则Q(x0+1,-1),则|PQ|min==.‎ 答案: ‎9.已知函数f(x)=2sin(其中0<ω<1),若点是函数f(x)图象的一个对称中心.‎ ‎(1)求ω的值,并求出函数f(x)的增区间;‎ ‎(2)先列表,再作出函数f(x)在区间[-π,π]上的图象.‎ 解:(1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心,‎ 所以-+=kπ(k∈Z),‎ 所以ω=-3k+(k∈Z),因为0<ω<1,‎ 所以当k=0时,可得ω=.‎ 所以f(x)=2sin.‎ 令2kπ-≤x+≤2kπ+(k∈Z),‎ 解得2kπ-≤x≤2kπ+(k∈Z),‎ 所以函数的增区间为(k∈Z).‎ ‎(2)由(1)知,f(x)=2sin,x∈[-π,π],‎ 列表如下:‎ x+ ‎- ‎- ‎0‎ π x ‎-π ‎- ‎- π y ‎-1‎ ‎-2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎-1‎ 作出函数部分图象如图所示:‎ ‎10.(2018·黑龙江哈尔滨六中月考)已知函数f(x)=cos+2sinsin.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)将y=f(x)的图象向左平移个单位长度,再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到y=g(x)的图象.若函数y=g(x)在区间上的图象与直线y=a有三个交点,求实数a的取值范围.‎ 解:(1)f(x)=cos+2sinsin ‎=cos 2x+sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x)‎ ‎=cos 2x+sin 2x+sin2x-cos2x ‎=cos 2x+sin 2x-cos 2x ‎=sin.‎ 令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,‎ 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.‎ 所以函数f(x)的单调递增区间是,k∈Z.‎ ‎(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度,得y=sin2)=sin=cos 2x的图象,再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得g(x)=cos x的图象.‎ 作函数g(x)=cos x在区间,上的图象,及直线y=a.根据图象知,实数a的取值范围是.‎ B级——拔高题目稳做准做 ‎1.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,又x1,x2∈,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=(  )‎ A. B. C. D.1‎ 解析:选B 由题图可知,=-=,则T=π,ω=2,又=,所以f(x)的图象过点,即sin=1,又|φ|<,可得φ=,所以f(x)=sin.由f(x1)=f(x2),x1,x2∈,可得x1+x2=-+=,所以f(x1+x2)=f=sin=sin=.‎ ‎2.(2018·湘中名校联考)已知函数f(x)=sin+,ω>0,x∈R,且f(α)=-,f(β)=.若|α-β|的最小值为,则函数的单调递增区间为(  )‎ A.,k∈Z B.,k∈Z C.,k∈Z D.,k∈Z 解析:选B 由f(α)=-,f(β)=,|α-β|的最小值为,知=,即T=3π=,所以ω=,所以f(x)=sin+,令-+2kπ≤x-≤+2kπ(k∈Z),得-+3kπ≤x≤π+3kπ(k∈Z),故选B.‎ ‎3.已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤对x∈R恒成立,且f>f(π),则f(x)的单调递增区间是________.‎ 解析:因为f(x)≤对x∈R恒成立,即==1,所以φ=kπ+ ‎(k∈Z).因为f>f(π),所以sin(π+φ)>sin(2π+φ),即sin φ<0,所以φ=-+2kπ(k∈Z),所以f(x)=sin,所以由三角函数的单调性知2x-∈(k∈Z),‎ 解得x∈(k∈Z).‎ 答案:(k∈Z)‎ ‎4.已知函数f(x)=2sin,g(x)=mcos-‎2m+3(m>0),若对∀x1∈,∃x2∈,使得g(x1)=f(x2)成立,则实数m的取值范围是________.‎ 解析:当x∈时,2x+∈,sin∈,∴当x∈时,函数f(x)=2sin的值域为[1,2].当x∈时,2x-∈,cos∈,∴当x∈时,函数g(x)=mcos-‎2m+3(m>0)的值域为.∵对∀x1∈,∃x2∈,使得g(x1)=f(x2)成立,∴解得1≤m≤,即m∈.‎ 答案: ‎5.已知函数f(x)=cos(πx+φ)的部分图象如图所示.‎ ‎(1)求φ及图中x0的值;‎ ‎(2)设g(x)=f(x)+f,求函数g(x)在区间上的最大值和最小值.‎ 解:(1)由题图得f(0)=,所以cos φ=,‎ 因为0<φ<,故φ=.‎ 由于f(x)的最小正周期等于2,‎ 所以由题图可知1<x0<2,‎ 故<πx0+<.‎ 由f(x0)=,得cos=,‎ 所以πx0+=,x0=.‎ ‎(2)因为f=cos=cos=-sin πx,‎ 所以g(x)=f(x)+f=cos-sin πx ‎=cos πxcos-sin πxsin-sin πx ‎=cos πx-sin πx ‎=sin.‎ 当x∈时,-≤-πx≤.‎ 所以-≤sin≤1,‎ 故-πx=,即x=-时,g(x)取得最大值;‎ 当-πx=-,即x=时,g(x)取得最小值-.‎ ‎6.如图所示,某小区为美化环境,准备在小区内草坪的一侧修建一条直路OC,另一侧修建一条休闲大道,它的前一段OD是函数y=k(k>0)图象的一部分,后一段DBC是函数y=AsinA>0,ω>0,|φ|<,x∈[4,8]的图象,图象的最高点为B,DF⊥OC,垂足为F.‎ ‎(1)求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式;‎ ‎(2)若在草坪内修建如图所示的儿童游乐园,即矩形PMFE,问点P落在曲线OD上何处时,儿童游乐园的面积最大?‎ 解:(1)对于函数y=Asin(ωx+φ),由图象可知,‎ A=,ω===,‎ 将B代入y=sin中,‎ 可得sin=1,‎ 故+φ=2kπ+(k∈Z),φ=2kπ-(k∈Z).‎ 因为|φ|<,所以φ=-.‎ 故y=sin,x∈[4,8].‎ ‎(2)在y=sin中,令x=4,得y=4,故D(4,4),从而得OD对应的函数为y=2(0≤x≤4).‎ 设点P(0≤t≤4),‎ 则矩形PMFE的面积S=t(0≤t≤4).‎ 因为S′=4-,由S′=0,得t=,‎ 当t∈时,S′>0,S单调递增;‎ 当t∈时,S′<0,S单调递减.‎ 所以当t=时,S最大,此时点P的坐标为.‎
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