2018届高三数学一轮复习： 第6章 第3节 基本不等式

2018届高三数学一轮复习： 第6章 第3节 基本不等式

第三节　基本不等式 ‎ [考纲传真]　1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．‎ ‎1．基本不等式≤ ‎(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.‎ ‎(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.‎ ‎2．几个重要的不等式 ‎(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；‎ ‎(2)＋≥2(a，b同号且不为零)；‎ ‎(3)ab≤2(a，b∈R)；‎ ‎(4)2≤(a，b∈R)．‎ ‎3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．‎ ‎4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 ‎(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．‎ ‎(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)‎ ‎(2)函数f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4.(　　)‎ ‎(3)x>0，y>0是＋≥2的充要条件．(　　)‎ ‎(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)‎ A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C.＋> D.＋≥2‎ D　[∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误；对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．‎ 对于D，∵ab>0，∴＋≥2＝2.]‎ ‎3．(2016·安徽合肥二模)若a，b都是正数，则的最小值为(　　)‎ A．7　　　　　　　　　 B.8‎ C．9 D.10‎ C　[∵a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝‎2a>0时取等号，故选C.]‎ ‎4．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　) ‎ ‎【导学号：01772209】‎ A．1＋ B.1＋ C．3 D.4‎ C　[当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2 ‎＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，选C.]‎ ‎5．(教材改编)若把总长为‎20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.‎ ‎25　[设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y，‎ 则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，‎ 则y＝x(10－x)≤2＝25，‎ 当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]‎ 利用基本不等式求最值 ‎　(1)(2015·湖南高考)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为 ‎(　　)‎ A.　　　　　　　　 B.2‎ C．2 D.4‎ ‎(2)(2017·郑州二次质量预测)已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是__________．‎ ‎(1)C　(2)3　[(1)由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，‎ 当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.‎ ‎(2)由x2＋2xy－3＝0得y＝＝－x，则2x＋y＝2x＋－x＝＋≥2＝3，当且仅当x＝1时，等号成立，所以2x＋y的最小值为3.]‎ ‎[规律方法]　1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．‎ ‎2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．‎ ‎[变式训练1]　(1)(2016·湖北七市4月联考)已知a>0，b>0，且‎2a＋b＝1，若不等式＋≥m恒成立，则m的最大值等于(　　)‎ A．10 B.9‎ C．8 D.7‎ ‎(2)(2016·湖南雅礼中学一模)已知实数m，n满足m·n>0，m＋n＝－1，则＋的最大值为__________．‎ ‎(1)B　(2)－4　[(1)∵＋＝＋＝4＋＋＋1＝5＋2≥5＋2×2＝9，当且仅当a＝b＝时取等号．又＋≥m，∴m≤9，即m的最大值等于9，故选B.‎ ‎(2)∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，‎ ‎∴＋＝－(m＋n) ‎ ＝－≤－2－2＝－4，‎ 当且仅当m＝n＝－时，＋取得最大值－4.]‎ 利用基本不等式证明不等式 ‎　已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：‎ ‎(1)＋＋≥8；‎ ‎(2)≥9.‎ ‎[证明]　(1)＋＋＝2，‎ ‎∵a＋b＝1，a>0，b>0，‎ ‎∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，3分 ‎∴＋＋≥8(当且仅当a＝b＝时等号成立).5分 ‎(2)法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，‎ ‎∴1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，‎ ‎∴＝ ‎＝5＋2≥5＋4＝9，10分 ‎∴≥9(当且仅当a＝b＝时等号成立).12分 法二：＝1＋＋＋，‎ 由(1)知，＋＋≥8，10分 故＝1＋＋＋≥9.12分 ‎[规律方法]　1.“‎1”‎的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．‎ ‎2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．‎ ‎[变式训练2]　设a，b均为正实数，求证：＋＋ab≥2. ‎ ‎【导学号：01772210】‎ ‎[证明]　由于a，b均为正实数，‎ 所以＋≥2＝，3分 当且仅当＝，即a＝b时等号成立，‎ 又因为＋ab≥2＝2，‎ 当且仅当＝ab时等号成立，‎ 所以＋＋ab≥＋ab≥2，8分 当且仅当即a＝b＝时取等号.12分 基本不等式的实际应用 ‎　运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．‎ ‎(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；‎ ‎(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．‎ ‎[解]　(1)设所用时间为t＝(h)，‎ y＝×2×＋14×，x∈[50,100].2分 所以这次行车总费用y关于x的表达式是 y＝＋x，x∈.‎ ‎(或y＝＋x，x∈).5分 ‎(2)y＝＋x≥26 ，‎ 当且仅当＝x，‎ 即x＝18，等号成立.8分 故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.12分 ‎[规律方法]　1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．‎ ‎2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．‎ ‎3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．‎ ‎[变式训练3]　某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．‎ ‎(1)用x表示y；‎ ‎(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．‎ ‎[解]　(1)由题意得，‎ y＝，‎ 即y＝x＋＋1.5(x∈N*).5分 ‎(2)由基本不等式得：‎ y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，8分 当且仅当x＝，即x＝10时取等号．‎ 故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备.12分 ‎[思想与方法]‎ ‎1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．‎ ‎2．基本不等式的两个变形：‎ ‎(1)≥2≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．‎ ‎(2)≥≥≥(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．‎ ‎2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误．‎ ‎3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．‎