数学理卷·2017届江西师范大学附属中学高三3月月考（2017

数学理卷·2017届江西师范大学附属中学高三3月月考（2017

江西师大附中高三年级数学（理科）试卷 命题人、审题人：‎ 本试卷共4页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。‎ ‎（1）设集合，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）函数是 ‎（A）最小正周期为的偶函数 （B）最小正周期为的奇函数 ‎ ‎（C）最小正周期为的偶函数 （D）最小正周期为的奇函数 ‎（3）复数满足，若复数对应的点为，则点到直线的距离为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（4）已知函数，若，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（5）已知数列为等差数列，且满足，若，点为直线外一点，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎（6）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是 ‎（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）丁 ‎（7）春天来了，某学校组织学生外出踏青.‎ ‎4位男生和3位女生站成一排合影留念，男生甲和乙要求站在一起，3位女生不全站在一起，则不同的站法种数是 ‎（A）964 （B）1080 （C）1152 （D）1296‎ ‎（8）一个三棱锥的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎（9）执行如图所示的程序框图，则输出的 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎（10）已知是定义在上的奇函数，满足, 且当时，,则函数在区间上的零点个数是 ‎（A）4 （B）5 （C）6 （D）7‎ ‎（11）已知是双曲线的左、右焦 点，设双曲线的离心率为．若在双曲线的右支上存在点，满 足，且，则该双曲线的离心率等于 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（12）下列命题为真命题的个数是 ‎①；②；③；④‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ 第Ⅱ卷 ‎ 本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）~（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答。‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）若向量，且∥，则实数 .‎ ‎（14）若的展开式中含项的系数是，则 .‎ ‎（15）若变量满足约束条件，则的最小值为 . ‎ ‎（16）已知数列与满足，若的前项和为且对一切恒成立，则实数的取值范围是 .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 已知函数的部分图像如图所示.‎ ‎ （Ⅰ）求函数的解析式；‎ ‎ （Ⅱ）在中，角的对边分别是，‎ 若，求的取值范围.‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》.活动共有四关，若四关都闯过，则闯关成功，否则落水失败.设男生闯过一至四关的概率依次是，女生闯过一至四关的概率依次是.‎ ‎（Ⅰ）求男生甲闯关失败的概率；‎ ‎（Ⅱ）设表示四人冲关小组闯关成功的人数，求随机变量的分布列和期望.‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图1，在矩形ABCD中，，点分别在边上，且，交于点．现将沿折起，使得平面平面，得到图2．‎ ‎（Ⅰ）在图2中，求证：；‎ ‎（Ⅱ）若点是线段上的一动点，问点在什么位置时，二面角的余弦值为．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率，两焦点分别为，右顶点为，.‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎ （Ⅱ）设过定点的直线与双曲线的左支有两个交点，与椭圆交于两点，与圆交于两点，若的面积为，，求正数的值.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若过点恰有两条直线与曲线相切，求的值；‎ ‎ （Ⅱ）用表示中的最小值，设函数，若恰有三个零点，求实数的取值范围.‎ ‎ 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求直线与曲线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线与曲线交于两点，设，求的值.‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设函数，记不等式的解集为．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：．‎ 江西师大附中高三年级数学（理科）答案 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。‎ ‎（1）B【解析】由得，∴.‎ ‎∵函数的值域为， ∴， ∴.‎ ‎（2）A【解析】∵，‎ ‎∴是最小正周期为的偶函数.‎ ‎（3）D【解析】由得，∴，‎ ‎ ∴对应的点为， ∴所求距离为.‎ ‎（4）A【解析】当即时,,解得，‎ 则；‎ 当即时,，解得，舍去. ∴.‎ ‎（5）A【解析】∵， ∴，‎ 即， 又∵，‎ ‎∴， ∴.‎ ‎（6）B【解析】∵乙、丁两人的观点一致，∴乙、丁两人的供词应该是同真或同假；‎ 若乙、丁两人说的是真话，则甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论，矛盾；∴乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯．‎ ‎（7）C【解析】男生甲和乙要求站在一起共有种，其中男生甲和乙要求站在一起且女生全站在一起有种，∴符合题意的站法共有种.‎ ‎（8）C【解析】由三视图可得到如图所示几何体，该几何体是由正方体切割得到的，利用传统法或空间向量法可求得三棱锥的高为，‎ ‎∴该几何体的体积为.‎ ‎（9）B【解析】∵,‎ ‎∴输出的 ‎.‎ ‎（10）B【解析】由，令，则，‎ ‎∵， ∴的图像关于点对称，‎ 又是定义在上的奇函数，∴，‎ ‎∴是周期为2的函数. ‎ 当时，为增函数，‎ 画出及在上的图像如图所示，‎ 经计算，结合图像易知，函数的图像与直线 在上有3个不同的交点，由函数的奇偶性可知，‎ 函数在区间上的零点个数是5.‎ ‎（11）B【解析】依题设，， ‎ ‎∵， ∴，‎ ‎∴等腰三角形底边上的高为， ∴底边的长为，‎ 由双曲线的定义可得，∴，‎ ‎∴，即， ∴，解得.‎ ‎（12）D【解析】令，则，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴， ‎ ‎∴即，，. ∴①③④正确.‎ ‎∵， ∴. ∴②正确.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分。‎ ‎（13）【解析】依题设，，‎ 由∥得，，解得.‎ ‎（14）【解析】展开式的通项公式为 ‎，.‎ 令，得； 令，得.‎ ‎∴依题设，有， 解得.‎ ‎（15）【解析】画出可行域如图阴影部分，‎ 表示可行域内的点到定点的距离的平方减去，连接交圆于点，‎ 则点为可行域内到点距离最小的点，‎ ‎∴的最小值为.‎ ‎（16）【解析】依题设，当时，；‎ 当时，，‎ 又∵当时，， ∴. ∴.‎ ‎∴等价于，‎ 即，∴对一切恒成立，‎ 令，则 ‎，∴当时，，‎ 当时，，∴当或时，取得最大值，‎ ‎∴， ∴， ∴.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。‎ ‎（17）【解】（Ⅰ）由图像知，，∴，‎ 由图像可知，， ∴， ∴，‎ ‎∴， 又∵， ∴， ∴.‎ ‎（Ⅱ）依题设，，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴， 又， ∴. ∴.‎ 由（Ⅰ）知，‎ ‎，‎ 又∵， ∴， ∴，‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎（18）【解】（Ⅰ）记“男生甲闯关失败”为事件，则“男生甲闯关成功”为事件，‎ ‎∴.‎ ‎（Ⅱ）记“一位女生闯关成功”为事件，则，‎ 随机变量的所有可能取值为.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，.‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎∴‎ ‎（19）【解】（Ⅰ）∵在矩形中，,,‎ ‎∴， ∴即.‎ ‎∴在图2中，，. ‎ 又∵平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面， ∴，‎ 依题意，∥且，∴四边形为平行四边形.‎ ‎∴∥, ∴， 又∵，‎ ‎∴平面， 又∵平面， ∴.‎ ‎（Ⅱ）如图1，在中，，，‎ ‎∵∥，，∴.‎ 如图，以点为原点建立平面直角坐标系，则 ‎，，，，‎ ‎∴，，，‎ ‎∵，∴平面，‎ ‎∴为平面的法向量.‎ 设，则，‎ 设为平面的法向量，则 即，可取，‎ 依题意，有，‎ 整理得，即，∴，‎ ‎∴当点在线段的四等分点且时，满足题意．‎ ‎（20）【解】（Ⅰ）由已知，不妨设，，‎ ‎∴，即，‎ 又∵， ∴，∴椭圆的标准方程为.‎ ‎（Ⅱ）依题设，如图，直线的斜率存在，设，，‎ 由得，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 点到直线的距离为,‎ ‎∴,‎ 整理得，解得或， ‎ 又由直线与圆相交，有，解得，‎ 依题设，直线与双曲线的左支有两个交点，∴必有. ∴.‎ 此时，，‎ ‎ ∴正数.‎ ‎（21）【解】（Ⅰ）∵，∴，‎ 设切点为，则该点处的切线方程为，‎ 又∵切线过点，∴，‎ 整理得，，（）‎ 依题设，方程（）恰有两个不同的解，‎ 令，则，‎ 解得， ‎ ‎①当时，恒成立，单调递增，至多只有一个零点，不合题设；‎ ‎②当时，则为的极值点，若恰有两个不同的解，‎ 则或，又∵，‎ ‎，∴或.‎ 令，则，‎ 解得，∴在上单调递增，在上单调递减，‎ 又∵， ∴当且时，无解. ∴.‎ ‎（Ⅱ）∵，‎ ‎∴当时，解得.‎ 由（Ⅰ）知，，‎ 当时，；当或时，，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎∴当时，，当时，.‎ ‎∵， ∴，‎ ‎∴当时，，在上单调递减，‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴当时，，当时，，‎ 此时恰有三个零点.‎ 当时，，解得，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴，当时，，此时不合题意；‎ 当时，恰有一个零点，此时符合题意；‎ 当时，，，‎ 又∵，当时，.‎ ‎∴在上有两个零点，此时在上有4个零点，不合题设.‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎（22）【解】（Ⅰ）由得，‎ ‎∴直线的普通方程；‎ 由得，‎ 又∵， ∴曲线的普通方程为.‎ ‎（Ⅱ）设对应的参数为，‎ 将代入得，∴，‎ ‎∵直线的参数方程为可化为，‎ ‎∴， ∴.‎ ‎（23）【解】（Ⅰ）依题设，，‎ ‎∴当时，由，解得，此时；‎ 当时，由，解得，此时.‎ ‎∴的解集为.‎ ‎（Ⅱ）证明：当时，要证，‎ 只需证，‎ 由（Ⅰ）知，当时，，‎ ‎∴，‎ 又∵， ∴， ‎ ‎∴.‎