数学文·【全国百强校】湖南省长沙市长郡中学2017届高三上学期第12次周测文数试题解析（解析版）Word版含解斩

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全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知全集为，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 考点：1、集合的表示方法；2、集合的补集及交集.‎ ‎2.若复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：,因为复数满足,所以，所以复数的虚部为,故选A. ‎ 考点：1、复数的基本概念；2、复数代数形式的乘除运算.‎ ‎3.已知函数，，则是（ ）‎ A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎,由周期公式可得,且,即函数奇函数，故选A. ‎ 考点：1、正弦函数的奇偶性及周期性；2、两角差的余弦公式及正弦的二倍角公式.1‎ ‎4.已知向量，（），且，点在圆上，则 ‎（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 考点：1、向量的模及平面向量数量积的运算；2、点和圆的位置关系.‎ ‎5.一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图为正方形，‎ 则该几何体的体积为（ ）‎ A．64 B．32 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可知三视图复原的几何体是一个放倒的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为的等腰直角三角形，高为的三棱柱, 所以几何体的体积为:，故选B. ‎ 考点：1、几何体的三视图；2、棱柱的体积公式.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利几何体的三视图、棱柱的体积公式，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力及抽象思维能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，解题时不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.‎ ‎6.△的内角，，所对的边分别为，，，已知，，，则 ‎（ ）【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ A． B．或 C．或 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由正弦定理可得: 或，故选B.‎ 考点：1、正弦定理的应用；2、特殊角的三角函数.‎ ‎7.函数的图象大致为（ ）‎ ‎【答案】A ‎ 考点：1、函数的图象；2、函数的奇偶性.‎ ‎8.已知数列为等差数列，为前项和，公差为，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：若为等差数列，，则为等差数列公差为, ,故选B. ‎ 考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前项和公式.‎ ‎9.执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎ ‎ ‎【答案】D 考点：1、程序框图；2、循环结构.‎ ‎10.已知函数，其中，对任意的都成立，在1‎ 和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为函数，对任意的都成立，所以，解得或，又因为，所以，在和两数间插入共个数，使之与，构成等比数列，，，两式相乘，根据等比数列的性质得，，故选C. ‎ 考点：1、不等式恒成立问题；2、等比数列的性质及倒序相乘的应用.‎ ‎11.已知抛物线：的焦点为，定点，若射线与抛物线交于点，与抛 物线的准线交于点，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D 考点：1、抛物线的定义； 2、抛物线的简单性质.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.本题就是将到焦点的距离转化为到准线的距离后进行解答的.‎ ‎12.已知函数满足，且，分别是上的偶函数和奇函数，‎ 若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为函数满足,且分别是上的偶函数和奇函数, 使得不等式恒成立, 即恒成立, ‎ ‎, 设，则函数在上单调递增,, 此时不等式,当且仅当,即时, 取等号,,故选B. ‎ 考点：1、函数奇偶性的性质；2、不等式恒成立问题及函数的最值.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查函数奇偶性的性质、不等式恒成立问题及函数的最值，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合；③讨论最值或恒成立；④讨论参数 .本题是利用方法①求得的最大值的.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）‎ ‎13.已知，，则的值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎, , 故答案为.‎ 考点：1、同角三角函数之间的关系；2、两角和的正弦公式.‎ ‎14.已知实数，满足约束条件则的最大值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.‎ ‎15.设函数有两个不同的极值点，，且对不等式 恒成立，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为,故得不等式,即,由于 ‎,令得方程,因 , 故，代入前面不等式,并化简得,解不等式得或，因此, 当或时, 不等式成立,故答案为. ‎ 考点：1、利用导数研究函数的极值点；2、韦达定理及高次不等式的解法.‎ ‎【思路点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值点、韦达定理及高次不等式的解法，属于难题.要解答本题首先利用求导法则求出函数的到函数，令考虑判别式大于零，根据韦达定理求出的值，代入不等式，得到关于的高次不等式，再利用“穿针引线”即可求得实数的取值范围.【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎16.已知△的面积为，三内角，，的对边分别为，，．若，‎ 则取最大值时 ．‎ ‎【答案】‎ 考点：1、余弦定理及三角形面积公式；2、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数.1‎ ‎【方法点睛】本题主要考查余弦定理及三角形面积公式、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答，解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列不同形式 ‎.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.已知是等差数列，是等比数列，为数列的前项和，，且，‎ ‎（）．‎ ‎（1）求和；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1），或，；（2）.‎ 试题解析：（1）设的公差为，的公比为， ‎ 由题意得解得或 ‎∴，或，．‎ ‎（2）若，由（1）知，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 考点：1、等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式；2、裂项相消法求和的应用.‎ ‎18.如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，为与的交点，平 面，为中点，为中点．‎ ‎（1）证明：直线平面；‎ ‎（2）若点为中点，，，，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ 试题解析：（1）证明：取中点，连结，，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴四边形为平行四边形，‎ ‎∴，又∵平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）由已知条件得，所以，‎ 所以．‎ 考点：1、直线与平面平行的判定；2、等积变换及棱锥的体积公式.‎ ‎19.某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一 次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于70，说明孩子幸福感弱；幸福指 数不低于70，说明孩子幸福感强）．‎ ‎（1）根据茎叶图中的数据完成列联表，并判断能否有的把握认为孩子的幸福感强与是否是留 守儿童有关？‎ 幸福感强 幸福感弱 总计 留守儿童 非留守儿童 总计 ‎【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎（2）从15个留守儿童中按幸福感强弱进行分层抽样，共抽取5人，又在这5人中随机抽取2人进行家访，‎ 求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率．‎ 参考公式：‎ 附表：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（1）有的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关；（2）.‎ 试题解析：（1）列联表如下：‎ 幸福感强 幸福感弱 总计 留守儿童 ‎6‎ ‎9‎ ‎15‎ 非留守儿童 ‎18‎ ‎7‎ ‎25‎ 总计 ‎24‎ ‎16‎ ‎40‎ ‎∴．‎ ‎∴有的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关．‎ ‎（2）按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子2人，记作：，；幸福感强的孩子3人，记作：，，．‎ ‎“抽取2人”包含的基本事件有，，，，，，，，，共10个．‎ 事件：“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有，，，，，共6个．‎ 故．‎ 考点：1、 茎叶图及独立性检验的应用；2、古典概型概率公式.‎ ‎20.在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点、两点，设 ‎，．‎ ‎（1）求证：为定值；【来.源：全,品…中&高*考*网】（2）是否存在平行于轴的定直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程 和弦长，如果不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）弦长为定值，直线方程为.‎ ‎（2）根据两点间距离公式、点到直线距离公式及勾股定理可求得弦长为 ，进而得时为定值.‎ 试题解析：（1）设直线的方程为，由 得，∴，‎ 因此有为定值．【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎（2）设存在直线：满足条件，则的中点，，‎ 因此以为直径圆的半径，点到直线的距离，‎ 所以所截弦长为 ‎．‎ 当，即时，弦长为定值2，这时直线方程为．‎ 考点：1、直线与圆、直线与抛物线的位置关系的性质；2、韦达定理、点到直线距离公式及定值问题.‎ ‎21.已知函数（）．‎ ‎（1）求的单调区间和极值；‎ ‎（2）求在上的最小值．‎ ‎（3）设，若对及有恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为，，无极大值；（2）时，时，时，；（3）.‎ ‎（2）当，即时，在上递增，∴；‎ 当，即时，在上递减，∴；‎ 当，即时，在上递减，在上递增，‎ ‎∴．‎ ‎（3），∴，‎ 由，得，‎ 当时，；‎ 当时，，‎ ‎∴在上递减，在递增，‎ 故，‎ 又∵，∴，∴当时，，‎ ‎∴对恒成立等价于；‎ 又对恒成立．‎ ‎∴，故．1‎ 考点：1、利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值；2、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.本题（2）就是根据这种思想讨论函数单调区间的.‎ ‎22.已知曲线（，）在处的切线与直线 平行．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若在，上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）在，上单调递增，在，上单调递减；（2）.‎ 试题解析：（1）由条件可得，∴，‎ 由，可得，‎ 由，可得解得或；‎ 由，可得解得或．‎ 所以在，上单调递增，在，上单调递减．‎ ‎（2）令，当，时，，，‎ 由，可得在，时恒成立，‎ 即，故只需求出的最小值和的最大值．‎ 由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，‎ 故的最小值为，‎ 由可得在区间上恒成立，‎ 所以在上的最大值为，‎ 所以只需，‎ 所以实数的取值范围是.‎ 考点：1、利用导数研究函数的单调性及求切线斜率；2、不等式恒成立问题.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.‎