数学文卷·2017届河南省安鹤新开四校高三12月联考（2016

数学文卷·2017届河南省安鹤新开四校高三12月联考（2016

‎ ‎ 数学（文）试题 高三数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ 1． 已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.负数在平面内的对应点为，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.设条件：，条件：，那么是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.6张卡片上分别标有数字1,2,2,3,3,3.若从中随机摸2张，则两张卡片上的数字之和为5的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知，则等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ 18. 已知给出以下三个函数：①，②，③，其中偶函数的个数是（ ）‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎7.椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的顶点，是边长为2的正三角形，则椭圆方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.运行如图所示程序，输出的值为 A.6 B.7 C.8 D.9‎ D. 如图1，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，且，动点、分别在线段、上.当三棱锥的俯视图如图2所示时，三棱锥的正视图面积等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知函数，则下列说法正确的是（ ）‎ A.函数的图像向右平移个单位长度可得到的图像 ‎ B.是函数的一个对称中心 ‎ C.是函数的一条对称轴 D.函数在上的最小值为 ‎11.‎ 一个各棱长均为4的正三棱锥形的实心铁块，将其融化后从新浇筑成一个底面边长为3的正三棱柱，则所得三棱柱的高与三棱锥的高之比（ ）‎ A. B. C. D.‎ 12. 已知的内角、、的对边分别为、、，，则的取值范围为（ ）‎ A. （1，3） B. （2，4） C. （3，4） D.（2，5）‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知实数、满足则目标函数的最小值为 .‎ ‎14.设向量，，且，则实数 .‎ ‎15.若曲线在点处的切线方程为，则 .‎ ‎16.已知直线：与圆相切，则直线被圆截得的线段长为 .‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. （本小题满分12分）‎ 已知正向等比例中，，.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的通项公式.‎ 18. ‎（本小题满分12分）‎ 某人为研究中学生的性别与每周课外阅读量这两个变量的关系，随机抽查了100名中学生，得到频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：,(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].‎ ‎（Ⅰ ‎）假设同一组中的每个数据可用改组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生周课外阅读时间的平均数.‎ ‎（Ⅱ）在样本数据中，有20为女生的每周课外阅读时间超过4小时，15位男生的每周课外阅读时间没有超过4小时.请画出每周课外阅读时间与性别列联系表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周课外阅读时间与性别有关”.‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 附：‎ 19. ‎（本小题满分12分）‎ 在直三棱柱中，各棱长均为2，且，分别是棱，的中点，点在棱上，且.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥的体积.‎ 20. ‎（本小题满分12分）‎ 已知抛物线的顶点在坐标原点，准线的方程为，点在准线上，纵坐标为，点在轴上，纵坐标为.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，并求出圆的方程.‎ 21. ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）记，当时，函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.‎ 22. ‎（本小题满分10分）‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知直线上两点，的极坐标分别为，，圆的参数方程为（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）设为线段，的中点，求点的直角坐标；‎ ‎（Ⅱ）判断线段的垂直平分线与圆的位置关系.‎ 23. ‎（本小题满分10分）‎ 选修4-5：不等式选讲 已知，，函数的最小值为2.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求证：.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14.-13 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.(Ⅰ)设正项等比数列的公比为.‎ 由得，故，‎ ‎ (Ⅱ)由于，‎ 故 ‎. …(12分)‎ 18. 解析：（Ⅰ）由频率分率分布直方图得 ‎.........4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，100为学生中有100×0.75=75（位）的每周课外阅读时间超过4小时，25人的每周课外阅读时间不超过4小时，所有每周课外阅读时间与性别列联表如图：‎ 男生 女生 总计 每周课外阅读时间不超过4小时 ‎15‎ ‎10‎ ‎25‎ 每周课外阅读时间超过4小时 ‎55‎ ‎20‎ ‎75‎ 总计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ 结合列联表可算得的观测值.‎ 所有不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“该校学生的每周课外阅读时间与性别无关”........12分 19. 解：(Ⅰ)证明：设 为 的中点，连结 ，‎ ‎，为 的中点， 为 的中点，‎ 又 为 的中点，．‎ 又∵为 的中点，为 的中点，.‎ 又 ，∴四边形 为平行四边形．‎ ‎∴ .又 ，∴.‎ 又 平面 ，平面 ． ‎ ‎∴ 平面 ．‎ ‎(Ⅱ)∵，‎ ‎、 分别为 、 的中点 ，‎ ‎∴ ⊥面．‎ 而，‎ ‎ ‎ ‎∵ ．‎ ‎∴‎ 18. 解：（Ⅰ）设抛物线的方程为，‎ 因为准线的方程为，所有，即，‎ 因此抛物线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，，.‎ 则直线方程为.‎ 即，‎ 设圆心在轴上，且与直线相切的圆的方程为.‎ 则圆心到直线的距离.‎ 即①或②，‎ 由①可得对任意，恒成立，则有解得（舍去）. .........8分 由②可得对任意，恒成立，则有解得（舍去）. ‎ 因此直线恒与一个圆心在轴上的定圆相切，圆的方程为.........12分 ‎21.（Ⅰ）‎ 当时，，单调递减区间为.‎ 当时，令，得单调增区间为；‎ 令，得单调减区间为.‎ 当时，，得单调递减区间为.‎ 所有当时，在区间上单调递减；‎ 当时，在区间上单调递增，上单调递减.‎ ‎（Ⅱ）当时，，‎ ‎.‎ 令，得，，在区间上，令，得递增区间为，‎ 令，得递减区间为，所以是在上唯一的极小值点，也是最小值点，所以，又因为在上有两个零点，‎ 所有只需，，所以.‎ 22. ‎（Ⅰ）由题意知，.‎ 因为是线段的中点，则.‎ ‎（Ⅱ）因为，，所以，‎ 则斜率为，线段中点，‎ 方程：，圆心，半径.‎ 得，故直线和圆相离.‎ 23. ‎（Ⅰ）因为，‎ 当且仅当时，等号成立.又，所以，‎ 所以的最小值为，所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 所以，‎ 当且仅当，且，即，时取等号，‎ 所以，所以，‎ 所以.‎