江苏省连云港市东海县2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

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江苏省连云港市东海县2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

江苏省连云港市东海县2019-2020学年高一上学期期中考试 数学试卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.把答案填涂在答题纸相应位置上.‎ ‎1.设集合U={1,2,3,4},M={2,3},则∁UM=(  )‎ A.{1,4} B.{1,3} C.{2,3} D.{3,4}‎ ‎2.集合A={0,2,3},满足{0}⊆M⊆A的集合M共有(  )‎ A.3个 B.4个 C.6个 D.8个 ‎3.函数f(x)=的单调减区间是(  )‎ A.(0,+∞) B.(﹣∞,0) ‎ C.(﹣∞,0)∪(0,+∞) D.(﹣∞,0)和(0,+∞)‎ ‎4.函数f(x)=2+ax﹣1(a>0,a≠1)的图象恒过定点(  )‎ A.(0,1) B.(1,2) C.(1,3) D.(0,2)‎ ‎5.将函数f(x)=lnx图象上所有的点向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,所得图象的函数解析式g(x)=(  )‎ A.ln(x+1)+2 B.ln(x﹣1)﹣2 C.ln(x+1)﹣2 D.ln(x﹣1)+2‎ ‎6.已知f(lnx)=x+1,则f(x)=(  )‎ A.ex+1 B.ex﹣1 C.x+1 D.x2+1‎ ‎7.函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+1,则f(0)+f(﹣1)=(  )‎ A.3 B.﹣1 C.2 D.﹣2‎ ‎8.已知a=log1.60.6,b=0.60.6,c=1.60.6,则a,b,c的大小关系为(  )‎ A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.b>c>a ‎9.已知关于x的方程x2﹣|x|﹣a=0有两个不同的实数根,则实数a的取值范围是(  )‎ A. B.(0,+∞) C. D.‎ ‎10.若函数f(x)=(mx+n)(x+n)(常数m,n∈R)是偶函数,且它的值域为(﹣∞,2],则该函数的解析式为f(x)=(  )‎ A.﹣2x2+2 B.﹣x2+2 C.﹣4x2+2 D.x2+2‎ ‎11.若函数f(x)=的定义域为R,则实数a的取值范围是(  )‎ A.a≤﹣1或a≥0 B.a<﹣1或a>0 C.﹣1≤a≤0 D.﹣1<a<0‎ ‎12.已知,则函数f(x)=x2+|x﹣a|的最小值是(  )‎ A.a2+1 B. C. D.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案写在答题纸相应位置上.‎ ‎13.已知幂函数y=f(x)的图象过点,则f(x)=   .‎ ‎14.已知lg6=a,lg15=b,试用a,b表示lg48=   .‎ ‎15.已知关于x的方程3x2﹣(m+2)x﹣m+3=0的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,则实数m的取值范围是   .‎ ‎16.已知函数f(x)=x2+,若函数在x∈[2,+∞)上是单调递增的,则实数a的取值范围为   .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(10分)(1);‎ ‎(2)log4(24×642)+log318﹣log32+log52×log2125.‎ ‎18.(10分)集合A={x|﹣2<x<4},集合B={x|m﹣1<x<2m+1}.‎ ‎(1)当m=2时,求A∪B;‎ ‎(2)若A∩B=B,求实数m的取值范围.‎ ‎19.(12分)已知A,B两地相距24km.甲车、乙车先后从A地出发匀速驶向B地.甲车从A地到B地需行驶25min;乙车从A地到B地需行驶20min.乙车比甲车晚出发2min.‎ ‎(1)分别写出甲、乙两车所行路程关于甲车行驶时间的函数关系式;‎ ‎(2)甲、乙两车何时在途中相遇?相遇时距A地多远?‎ ‎20.(12分)已知函数是偶函数.‎ ‎(1)求实数m的值;‎ ‎(2)若f(﹣1)+f(1)≠0,解方程f(x)=﹣1.‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),且f(x)在区间[1,2]上的最大值比最小值大2.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)若函数y=f(2x)+f(﹣2x)+2m[f(x)﹣f(﹣x)]在区间[1,+∞)的最小值是﹣2,求实数m的值.‎ ‎22.(14分)已知函数f(x)=x2+x﹣2,g(x)=f(f(x)),设函数f(x)的所有零点构成集合A,函数g(x)的所有零点构成集合B.‎ ‎(1)试求集合A,B;‎ ‎(2)令h(x)=g(x)﹣c(c∈R),求函数y=h(x)的零点个数.‎ 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.把答案填涂在答题纸相应位置上.‎ ‎1.【解答】解:集合U={1,2,3,4},‎ M={2,3},‎ 则∁UM={1,4}.‎ 故选:A.‎ ‎2.【解答】解:根据题意{0}⊆M⊆{0,2,3},‎ 满足题意的集合M为{0}、{0,2}、{0,3}、{0,2,3}共4个;‎ 故选:B.‎ ‎3.【解答】解:根据题意,函数f(x)=,其定义域为{x|x≠0}其导数f′(x)=﹣,‎ 分析可得:当x>0时,f′(x)<0,即函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,‎ 当x<0时,f′(x)<0,即函数f(x)在(﹣∞,0)上为减函数;‎ 综合可得:函数f(x)=的单调减区间是(﹣∞,0)和(0,+∞);‎ 故选:D.‎ ‎4.【解答】解:对于函数f(x)=2+ax﹣1(a>0,且a≠1),令x﹣1=0,求得x=1,y=3,可得函数图象恒过定点(1,3),‎ 故选:C.‎ ‎5.【解答】解:函数f(x)=lnx图象上所有的点向右平移1个单位长度,得到g(x)=ln(x﹣1),再向上平移2个单位长度得到k(x)=ln(x﹣1)+2,‎ 故选:D.‎ ‎6.【解答】解:已知f(lnx)=x+1,设lnx=t,则x=et,‎ 所以f(t)=et+1,故f(x)=ex+1.‎ 故选:A.‎ ‎7.【解答】解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,‎ ‎∴f(0)=0,且x>0时,f(x)=x2+1,‎ ‎∴f(﹣1)=﹣f(1)=﹣(1+1)=﹣2,‎ ‎∴f(0)+f(﹣1)=﹣2.‎ 故选:D.‎ ‎8.【解答】解:∵a=log1.60.6<log1.61=0,‎ ‎0<b=0.60.6<0.60=1,‎ c=1.60.6>1.60=1.‎ ‎∴c>b>a.‎ 故选:C.‎ ‎9.【解答】解:关于x的方程x2﹣|x|﹣a=0有两个不同的实数根,可得x2﹣|x|=a有两个实数根,也就是y=x2﹣|x|与y=a有两个交点,在坐标系中画出两个函数的图象,如图:‎ x>0时,函数的最小值为:=,‎ 所以关于x的方程x2﹣|x|﹣a=0有两个不同的实数根,则实数a的取值范围是:.‎ 故选:D.‎ ‎10.【解答】解:f(x)=mx2+(mn+n)x+n2=,且f(x)是偶函数,f(x)的值域为(﹣∞,2],‎ ‎∴,可知n=0不合题意,m+1=0,∴m=﹣1,n2=2,‎ ‎∴f(x)=﹣x2+2.‎ 故选:B.‎ ‎11.【解答】解:∵f(x)的定义域为R,‎ ‎∴﹣1≥0,得≥1恒成立,‎ 得x2+2ax﹣a≥0恒成立,‎ 即判别式△=4a2+4a≤0,得a(a+1)≤0,‎ 得﹣1≤a≤0,‎ 故选:C.‎ ‎12.【解答】解:数f(x)=x2+|x﹣a|=.‎ 当x≥a>时,函数f(x)=x2+x﹣a的对称轴方程为x=,‎ 函数在[a,+∞)上为增函数,其最小值为a2;‎ 当x<a时,f(x)=x2﹣x+a的对称轴方程为x=,当x=时函数求得最小值为a﹣.‎ ‎∵>0.‎ ‎∴a2>a﹣.‎ ‎∴函数f(x)=x2+|x﹣a|的最小值是a﹣.‎ 故选:D.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把答案写在答题纸相应位置上.‎ ‎13.【解答】解:设幂函数f(x)=xα(α为常数).‎ ‎∵幂函数y=f(x)的图象过点(3,),‎ ‎∴,解得α=.‎ ‎∴f(x)==.‎ 故答案为.‎ ‎14.【解答】解:∵lg6=a,lg15=b,‎ ‎∴,解得.‎ ‎∴lg48=lg3+4lg2=.‎ 故答案为:.‎ ‎15.【解答】解:设函数f(x)=3x2﹣(m+2)x﹣m+3,‎ 由题意可知函数f(x)的一个零点在区间(0,1)上,另一个零点在区间(1,2)上,又因为开口向上,‎ 所以,‎ 解得:2<m<3.‎ 故答案为:(2,3).‎ ‎16.【解答】解:∵函数f(x)=x2+在x∈[2,+∞)上单调递增,‎ ‎∴f′(x)=2x﹣=≥0在x∈[2,+∞)上恒成立;‎ ‎∴2x3﹣a≥0,‎ ‎∴a≤2x3在x∈[2,+∞)上恒成立,‎ ‎∴a≤2×23=16‎ ‎∴实数a的取值范围为a≤16.‎ 故答案为:(﹣∞,16].‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.【解答】解:(1)‎ ‎=‎ ‎=;‎ ‎(2)log4(24×642)+log318﹣log32+log52×log2125‎ ‎=‎ ‎=8+2+3=13.‎ ‎18.【解答】解:(1)当m=2时,集合B={x|m﹣1<x<2m+1}={x|1<x<5},‎ 又A={x|﹣2<x<4},所以A∪B={x|﹣2<x<5};‎ ‎(2)由A∩B=B,则B⊆A,‎ 当B=∅时,有m﹣1≥2m+1,解得m≤﹣2,满足题意;‎ 当B≠∅时,应满足,解得﹣1≤m≤;‎ 综上所述,m的取值范围是m∈(﹣∞,﹣2]∪[﹣1,].‎ ‎19.【解答】解(1)设甲车行驶时间为x(min),甲车、乙车所行路程分别为f(x)(km)、g(x)(km).‎ 则甲车所行路程关于行驶时间的函数为f(x)=x=0.96x,(0≤x≤25);‎ 乙车所行路程关于甲车行驶时间的函数关系式为g(x)=.‎ ‎(2)设甲、乙两车在甲车出发x(min)时途中相遇,则2<x<22.‎ 于是0.96x=1.2(x﹣2),解得x=10,‎ f(10)=9.6(km).‎ 答:甲、乙两车在甲车出发10min时途中相遇,相遇时距甲地9.6km.‎ ‎20.【解答】解:(1)∵f(x)是偶函数,所以f(﹣x)=f(x)恒成立,‎ 即,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴2x+m=1+m•2x或2x+m=﹣1﹣m•2x 即(2x﹣1)(m﹣1)=0或(2x+1)(m+1)=0‎ 所以m=1或m=﹣1.‎ 当m=1时,f(x)=0,x∈R,满足题意;‎ 当m=﹣1时,,定义域为{x|x≠0},f(﹣x)=f(x),满足题意.‎ 故m=1或m=﹣1.‎ ‎(2)若f(﹣1)+f(1)≠0,‎ 则由(1)知,m=﹣1,‎ ‎∴,‎ 由f(x)=﹣1,得,‎ ‎∴,‎ ‎∴2(1﹣2x)=2x+1或2(1﹣2x)=﹣(2x+1)‎ ‎∴或2x=3‎ 解得x=﹣log23或x=log23.‎ ‎21.【解答】解:(1)当a>1时,a2﹣a=2,解得a=2,或a=﹣1(舍去)‎ 当0<a<1时,a﹣a2=2,a无实数解.‎ 综上a=2.‎ ‎(2)函数y=f(2x)+f(﹣2x)+2m[f(x)﹣f(﹣x)]‎ ‎=22x﹣2﹣2x+2m(2x﹣2﹣x)‎ 令g(x)=2x﹣2﹣x,x∈[1,+∞),任取x1>x2≥1,‎ 因=,‎ x1>x2,所以﹣x2>﹣x1,有,,所以g(x1)>g(x2).‎ 则g(x)在[1,+∞)上单调递增,故.‎ 令g(x)=t,因此,t≥,所以问题转化为:‎ 函数h(t)=t2+2mt+2在[,+∞)上有最小值﹣2,求实数m的值.‎ 因h(t)=(t+m)2+2﹣m2,对称轴方程为t=﹣m,‎ 当m≥﹣时,y=h(t)在[,+∞)上单调递增,‎ 故h(t)min=h()=3m+,由3m+=﹣2,‎ 解得m=﹣与m≥﹣矛盾,‎ 当m<﹣时,h(t)min=h(﹣m)=2﹣m2,由2﹣m2=﹣2,解得m=﹣2或m ‎=2(舍去),‎ 综上,m=﹣2.‎ ‎22.【解答】解:(1)f(x)=x2+x﹣2,令f(x)=0,‎ 解得x1=﹣2,x2=1,‎ 故A={﹣2,1}‎ 令f(x)=t,则g(x)=f(t)=t2+t﹣2,由上面知,f(t)的零点为﹣2,1‎ 当t=﹣2时,x2+x﹣2=﹣2,即x2+x=0,解得x1=﹣1,x2=0;‎ 当t=1时,x2+x﹣2=1,即x2+x﹣3=0,解得x3=﹣,x4=‎ 故B={﹣,﹣1,0,}‎ ‎(2)令f(x)=t,h(x)=g(x)﹣c=t2+t﹣(c+2),令t2+t﹣(c+2)=0(*)‎ ‎①当△=1+4(c+2)=4c+9<0,‎ 即c<﹣时,方程(*)无实数解,h(x)零点个数为0个;‎ ‎②当c=﹣时,解方程(*),得t=﹣,由f(x)=﹣,得x2+x﹣=0,‎ 因为△1=1﹣4×(﹣)=7>0,‎ 所以该方程有两实数解,从而h(x)的零点个数为2个;‎ ‎③当c>﹣时,解方程(*)得,t1=﹣,t2=,‎ 由f(x)=t1,得x2+x+﹣2=0(**),△1=7﹣2,‎ 由f(x)=t2,得x2+x﹣(2+)=0 (***),△2=7+2,‎ 因为△2>0,所以方程(***)必有两实数解;‎ 若△1<0,即c>时,方程(**)无实数解;从而h(x)的零点个数为2个;‎ 若△1=0,即c=时,方程(**)有两个相等的实数解;从而h(x)的零点个数为3个;‎ 若△1>0,即﹣<c<时,方程(**)有两个不等的实数解;从而h(x)的零点个数为4个.‎ 故当c<﹣时,h(x)的零点个数为0个;‎ 当c=﹣或c>时,h(x)的零点个数为2个;‎ 当c=时,h(x)的零点个数为3个;‎ 当﹣<c<时,h(x)的零点个数为4个.‎
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