2020年高中数学第二章空间中直线与直线之间的位置关系

2020年高中数学第二章空间中直线与直线之间的位置关系

‎2.1.2‎‎ 空间中直线与直线之间的位置关系 ‎ [课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．垂直于同一条直线的两条直线(　　)‎ A．平行 B．相交 C．异面 D．以上均有可能 解析：如图所示，当a⊥l，b⊥l时，有如下情形：‎ 故选D.‎ 答案：D ‎2．如果一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条直线之间的位置关系是(　　)‎ A．平行 B．相交 C．异面 D．可能平行、可能相交、可能异面 解析：可以利用长方体的棱所在的直线找到平行，相交，异面的情况．‎ 答案：D ‎3．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是(　　)‎ A．梯形 B．矩形 C．平行四边形 D．正方形 解析：如图，因为BD⊥AC，且BD＝AC，‎ 又因为E，F，G，H分别为对应边的中点，所以FG綊EH綊BD，HG綊EF綊AC.所以FG⊥HG，且FG＝HG.所以四边形EFGH为正方形．‎ 答案：D ‎4．已知直线a，b，c，d，且a∥b，b∥c，c∥d，则a与d的位置关系是(　　)‎ A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定 解析：∵a∥b，b∥c，∴a∥c，又c∥d，∴a∥d.‎ 6‎ 答案：A ‎5．四面体ABCD中，AD＝BC，且AD⊥BC，E、F分别是AB、CD的中点，则EF与BC所成的角为(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．90°‎ 解析：取BD中点G，连接EG，FG，则∠EFG为异面直线EF与BC所成的角．‎ ‎∵EG＝AD，GF＝BC，‎ ‎∴EG＝GF.‎ ‎∵AD⊥BC，EG∥AD，GF∥BC，∴EG⊥GF，‎ ‎∴△EGF为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠EFG＝45°.故选B.‎ 答案：B ‎6．如图所示，在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B‎1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角为________．‎ 解析：连接BC1，BA1，A‎1C1(图略)．‎ ‎∵EF∥BA1，GH∥BC1，‎ ‎∴异面直线EF与GH所成的角即为BC1与BA1所成的角，‎ 即∠A1BC1.又∵A1B＝BC1＝A‎1C1，∴∠A1BC1＝60°.‎ 答案：60°‎ ‎7．如图所示是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB，CD，EF和GH在原正方体中相互异面的有________对．‎ 6‎ 解析：把题中所给的展开图还原，得到原来的正方体如图所示，在图中标出A，B，C，D，E，F，G，H各点，注意到B与F，C与G重合．由异面直线的定义可得，四条线段AB，CD，EF和GH在原正方体中相互异面的有AB与CD，AB与GH，EF与GH，共3对．‎ 答案：3‎ ‎8．如图，在三棱柱ABCA1B‎1C1中，E、F分别是AB、AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B‎1C1的位置关系是________．‎ 解析：∵在△ABC中，AE∶EB＝AF∶FC，‎ ‎∴EF∥BC，又∵BC∥B‎1C1，∴EF∥B‎1C1.‎ 答案：平行 ‎9.如图所示，已知正方体ABCDA′B′C′D′.‎ ‎(1)求异面直线BC′与A′B′所成角的大小；‎ ‎(2)求异面直线CD′与BC′所成角的大小．‎ 解析：(1)由A′B′∥C′D′可知，‎ ‎∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角．‎ ‎∵BC′⊥C′D′，‎ ‎∴异面直线BC′与A′B′所成的角为90°.‎ ‎(2)连接AD′，AC(图略)．由AD′∥BC′可知，‎ ‎∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角．‎ ‎∵△AD′C是等边三角形，‎ ‎∴∠AD′C＝60°，即异面直线CD′和BC′所成的角为60°.‎ ‎10．在空间四边形ABCD中，两条对边AB＝CD＝3，E、F分别是另外两组对边AD、BC上的点，且＝＝，EF＝，求AB和CD所成角的大小．‎ 解析：连接BD，过点E作AB的平行线交BD于O，连接OF，‎ ‎∵EO∥AB，∴＝＝，＝＝.‎ 又∵AB＝3，∴EO＝2.‎ 6‎ ‎∵＝，∴＝，∴OF∥DC，‎ ‎∴OE与OF所成的锐角或直角即为AB和CD所成的角，‎ ‎∴＝＝.‎ ‎∵DC＝3，∴OF＝1.‎ 在△OEF中，OE2＋OF2＝5，EF2＝()2＝5，‎ ‎∴OE2＋OF2＝EF2，‎ ‎∴∠EOF＝90°，‎ ‎∴AB和CD所成的角为90°.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1.如图所示，在三棱柱ABCA1B‎1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(　　)‎ A．45°　　　　　　　 B．60°‎ C．90° D．120°‎ 解析：连接AB1，易知AB1∥EF，连接B‎1C，B‎1C与BC1交于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF.设AB＝BC＝AA1＝a，连接HB，在△GHB中，易知GH＝HB＝GB＝a，故所求的两直线所成的角即为∠HGB＝60°.‎ 答案：B ‎2．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是(　　)‎ 6‎ 解析：A、B中，PQ∥RS；D中PR∥QS，且PQ和RS相交，故选C.‎ 答案：C ‎3．在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是(　　)‎ A．0°<θ<60° B．0°≤θ<60°‎ C．0°≤θ≤60° D．0°<θ≤60°‎ 解析：如图，连接CD1，AC，因为CD1∥BA1，所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°，但当点P与D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.‎ 答案：D ‎4．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于________．‎ 解析：取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角，∵∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5.‎ 答案：5‎ ‎5.如图，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°且PA＝AC＝BC＝a，求异面直线PB与AC所成角的正切值．‎ 解析：观察图形，可以将该图看成是正方体的一部分，因此可以通过补形来求异面直线的夹角的正切值，将此多面体补成正方体DBCAD1B‎1C1P(如图所示)，则PB与AC所成的角 的大小即此正方体主对角线PB与棱BD所成角的大小．故在Rt△PDB 中，tan∠DBP＝＝‎ 6‎ eq f(r(2)a,a)＝.‎ ‎6．已知四面体ABCD中， E，F分别是AB，CD的中点．若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1.求EF的长度．‎ 解析：如图，取BC中点O，连接OE，OF，‎ ‎∵OE∥AC，OF∥BD，‎ ‎∴∠EOF即为AC与BD所成的角或其补角．‎ 而AC，BD所成的角为60°，‎ ‎∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.‎ 当∠EOF＝60°时，‎ EF＝OE＝OF＝；‎ 当∠EOF＝120°时，取EF中点M，则OM⊥EF，‎ EF＝2EM＝2OE· cos 30°＝2×＝.‎ 6‎