苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷

苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷

苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试 数学Ⅰ ‎ ‎ 注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本试卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。‎ 2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用‎0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。‎ 3. 作答试题，必须用‎0.5毫米的黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。‎ 4. 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。‎ 参考公式：‎ 球的表面积为，其中表示球的半径。‎ 一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上.‎ ‎1.已知全集集合则 ▲ .‎ ‎2.已知是虚数单位，实数满足则 ▲ .‎ 开始 输入 ‎（第4题图 结束 输出 ‎3.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在（元）内应抽出 ▲ 人.‎ ‎（第3题图）‎ ‎1000‎ ‎1500‎ ‎2000‎ ‎2500‎ ‎3000‎ ‎4000‎ ‎3500‎ 月收入（元）‎ 频率/组距 ‎0.0001‎ ‎0.0002‎ ‎0.0004‎ ‎0.0005‎ ‎0.0003‎ ‎4.如图是一个算法的流程图，若输入的值是10，则输出的值是 ▲ .‎ ‎5.若一个长方体的长、宽、高分别为、、1，则它的外接球的表面积是 ▲ .‎ ‎6.从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是 ▲ .‎ ‎7.已知等比数列的前项和为，若，则的值是 ▲ .‎ ‎8.已知双曲线的右焦点为若以为圆心的圆与此双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为 ▲ .‎ ‎9.由命题“”是假命题，求得实数的取值范围是，则实数的值是 ▲ .‎ ‎10.已知实数满足约束条件（为常数），若目标函数的最大值是，则实数的值是 ▲ .‎ ‎11.已知函数，当时，，则实数的取值范围是 ▲ .‎ ‎12.已知角的终边经过点，点是函数图象上的任意两点，若时，的最小值为，则的值是 ▲ .‎ ‎13.若对满足条件的任意，恒成立，则实数的取值范围是 ▲ .‎ 第14题图 ‎14.如图，在等腰三角形中，已知分别是边上的点，且其中若的中点分别为且则的最小值是 ▲ .‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定的区域内作答，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.（本小题满分14分）‎ 在△，已知 （1） 求角值；‎ （1） 求的最大值.‎ ‎16.（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱柱中，已知平面平面且,‎ ‎.‎ （1） 求证：‎ （2） 若为棱的中点，求证：平面.‎ 第16题图 ‎ ‎ ‎17.（本小题满分14分）‎ 如图，两座建筑物的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9和15，从建筑物的顶部看建筑物的视角.‎ (1) 求的长度；‎ 第17题图 (2) 在线段上取一点点与点不重合），从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时，最小？‎ ‎18.（本小题满分16分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，且过点.‎ （1） 求椭圆的方程；‎ （2） 若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点 ‎（ⅰ）设直线的斜率为直线的斜率为，求证：为定值；‎ ‎（ⅱ）设过点垂直于的直线为.‎ 求证：直线过定点，并求出定点的坐标.‎ ‎19. （本小题满分16分）‎ 已知函数 （1） 求函数在点处的切线方程；‎ （2） 求函数单调区间；‎ （3） 若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围.‎ ‎20. （本小题满分16分）‎ 已知且令且对任意正整数，当时，当时，‎ （1） 求数列的通项公式；‎ （1） 若对任意的正整数，恒成立，问是否存在使得为等比数列？若存在，求出满足的条件；若不存在，说明理由；‎ （2） 若对任意的正整数且求数列的通项公式.‎ 徐州市2012–––2013学年度高三第一次质量检测 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21.【选做题】本题包括、、、四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ A[选修4—1 ：几何证明选讲]（本小题满分10分）‎ 第21—A题图 如图，是⊙的一条切线，切点为直线,都是⊙的割线，已知求证：‎ B. [选修4—2 ：矩阵与变换]（本小题满分10分）‎ 若圆在矩阵对应的变换下变成椭圆求矩阵的逆矩阵.‎ C. [选修4—4 ：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数,,以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为若圆上的点到直线的最大距离为，求的值.‎ D. [选修4—5 ：不等式选讲]（本小题满分10分）‎ 已知实数满足求的最小值.‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ 如图,已知抛物线的焦点为过的直线与抛物线交于两点,为抛物线的准线与轴的交点.‎ (1) 若求直线的斜率；‎ (2) 求的最大值. ‎ 第22题图 ‎23.（本小题满分10分）‎ 已知数列满足且 （1） 计算的值，由此猜想数列的通项公式，并给出证明；‎ （2） 求证：当时，‎ 徐州市2012—2013学年度高三第一次质量检测 数学Ⅰ试题参考答案与评分标准 一、填空题 ‎1． 2． 3． 4． 5． 6． 7．‎ ‎8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．‎ 二、解答题 ‎15．⑴因为，‎ 由正弦定理，得，…………………………………………2分 所以，所以，………………………………4分 因为，所以．…………………………………………………………6分 ‎⑵ 由，得，所以 ‎，……………………………………10分 因为，所以，……………………………………………12分 当，即时，的最大值为． ……………………14分 ‎16．⑴在四边形中，因为，，所以，……………2分 又平面平面，且平面平面，‎ 平面，所以平面，………………………………………4分 又因为平面，所以．………………………………………7分 ‎⑵在三角形中，因为，且为中点，所以，………9分 又因为在四边形中，，，‎ 所以，，所以，所以，…………12分 因为平面，平面，所以平面．…14分 ‎17．⑴作，垂足为，则，，设，‎ 则…………………2分 ‎，化简得，解之得，或（舍）‎ 答：的长度为．………………………………………………………………6分 ‎⑵设，则，‎ ‎．………………………8分 设，，令，因为，得，当时，，是减函数；当　　　　　　时，，是增函数，‎ 所以，当时，取得最小值，即取得最小值，………12分 因为恒成立，所以，所以，，‎ 因为在上是增函数，所以当时，取得最小值．‎ 答：当为时，取得最小值． ……………………………14分 ‎18．⑴由题意得 ，所以，又，…………………………………2分 消去可得，，解得或（舍去），则，‎ 所以椭圆的方程为．……………………………………………………4分 ‎⑵（ⅰ）设，，则，，‎ 因为三点共线，所以， 所以，，8分 因为在椭圆上，所以，故为定值．10分 ‎（ⅱ）直线的斜率为，直线的斜率为,‎ 则直线的方程为，…………………………………………12分 ‎==，‎ 所以直线过定点． ………………………………………………………16分 ‎19．⑴因为函数，‎ 所以，，…………………………………………2分 又因为，所以函数在点处的切线方程为． …………4分 ‎⑵由⑴，．‎ 因为当时，总有在上是增函数， ………………………………8分 又，所以不等式的解集为，‎ 故函数的单调增区间为．………………………………………………10分 ‎⑶因为存在，使得成立，‎ 而当时，，‎ 所以只要即可．……………………………………………12分 又因为，，的变化情况如下表所示：‎ 减函数 极小值 增函数 所以在上是减函数，在上是增函数，所以当时，的最小值，的最大值为和中的最大值．‎ 因为，‎ 令，因为，‎ 所以在上是增函数．‎ 而，故当时，，即；‎ 当时，，即．………………………………………14分 所以，当时，，即，函数在上是增函数，解得；当时，，即，函数在上是减函数，解得．‎ 综上可知，所求的取值范围为．………………………………16分 ‎20．⑴当时， 且，‎ 所以，……………………………………2分 又当时，且，‎ ‎，…………………………………………4分 因此，数列是以为首项，为公比的等比数列，‎ 所以，．………………………………………………………5分 ‎⑵因为，所以，所以，‎ ‎，…………………………………8分 假设存在，，使得能构成等比数列，则，，，‎ 故，化简得，与题中矛盾，‎ 故不存在，使得为等比数列． ……………………………………………10分 ‎⑶因为且，所以 所以 所以，……………………………………………12分 由⑴知，，所以 ‎　，…………………………………13分 ‎，………………………………………………14分 所以，…………………………………16分 徐州市2012—2013学年度高三第一次质量检测 数学Ⅱ试题参考答案与评分标准 ‎21．A．因为为切线，为割线，所以，‎ 又因为，所以．……………………………………………4分 所以，又因为，所以∽，‎ 所以，又因为，所以，‎ 所以．………………………………………………………………………10分 ‎ B．设点为圆C：上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为，‎ 则，所以…………………………………………2分 因为点在椭圆：上，所以，………………4分 又圆方程为，故，即，又，，所以，．‎ 所以，……………………………………………………………………6分 所以．…………………………………………………………………10分 C．因为圆的参数方程为（为参数，），消去参数得，‎ ‎，所以圆心，半径为，……3分 因为直线的极坐标方程为，化为普通方程为，………6分 圆心到直线的距离为，……………………8分 又因为圆上的点到直线的最大距离为3，即，所以．…10分 D．由柯西不等式，，……5分 因为，所以，‎ 当且仅当，即时，等号成立，‎ 所以的最小值为．…………………………………………………10分 ‎22．⑴因为抛物线焦点为，．‎ 当轴时，，，此时，与矛盾，……………2分 所以设直线的方程为，代入，得，‎ 则，， ①所以，所以，②…4分 因为，所以，将①②代入并整理得，，‎ 所以.………………………………………………………………………………6分 ‎⑵因为，所以，当且仅当，即时，取等，所以，所以的最大值为.……………………10分 ‎23．⑴，，，猜想：．……………………………2分 ‎①当时，，结论成立；‎ ‎ ②假设当时，结论成立，即，‎ 则当时，，‎ 即当时，结论也成立，由①②得，数列的通项公式为．5分 ‎⑵原不等式等价于．‎ 证明：显然，当时，等号成立；‎ 当时，‎ ‎，‎ 综上所述，当时，．…………………………………………………10分 ‎　‎