数学理卷·2017届山东省潍坊市高三上学期期中考试（2016

数学理卷·2017届山东省潍坊市高三上学期期中考试（2016

山东省潍坊市2017届高三上学期期中联考 高三理科数学 第Ⅰ卷（选择题 共50分）‎ 一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设命题，则为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎4.函数的定义域为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.若变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．1‎ ‎6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”问此人第4天和第5天共走了（ ）‎ A．60里 B．48里 C.36里 D．24里 ‎7.函数的图象大致是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.函数的图象关于轴对称，且对任意都有，若当时，，则（ ）‎ A． B． C. D．4‎ ‎9.如图，在平行四边形中，，分别为，上的点，且，连接，交于点，若，则的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.函数，若的解集为，且中只有一个整数，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）‎ ‎11.定积分的值为 ．‎ ‎12.不等式的解集为 ．‎ ‎13.已知，，则 ．‎ ‎14.一艘海警船从港口出发，以每小时40海里的速度沿南偏东方向直线航行，30分钟 后到达处，这时候接到从处发出的一求救信号，已知在的北偏东，港口的东偏南处，那么，两点的距离是 海里．‎ ‎15.设函数，若函数有三个零点，，，则等于 .‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎16.（本小题满分12分）‎ 设函数的图象上相邻最高点与最低点的距离为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数是奇函数，求函数在上的单调递减区间.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知在中，内角的对边分别为，向量与向量共线.‎ ‎（Ⅰ）求角的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求的最小值.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知，设，成立；，成立，如果“”为真，“”为假，求的取值范围.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，，且点（其中且）在直线上；数列是首项为，公差为的等差数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据已往经验，潜水员下潜的平均速度为（米/单位时间），每单位时间的用氧量为（升），在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间用氧量为（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为（升）.‎ ‎（Ⅰ）求关于的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）若，求当下潜速度取什么值时，总用氧量最少.‎ ‎21.（本小题满分14分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若且，.‎ ‎（i）求实数的最大值；‎ ‎（ii）证明不等式：.‎ 高三理科数学参考答案及评分标准 一、选择题 ‎1-5:ABADA 6-10:CAADB 二、填空题 ‎11. 12. 13. 14. 15.2‎ 三、解答题 ‎16.解：（Ⅰ）‎ ‎，……………………………………3分 设为的最小正周期，由的图象上相邻最高点与最低点的距离为，得 ‎∴，因为，所以，整理得……5分 又因为，，所以.……………………6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∴，‎ ‎∵是奇函数，则，又，‎ ‎∴，…………………………………………8分 ‎∴，‎ 令，，‎ 则，…………………………10分 ‎∴单调递减区间是，‎ 又∵，‎ ‎17.解：（Ⅰ）∵向量与向量共线，‎ ‎∴，…………………………2分 由正弦定理可得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴，………………………………………………4分 ‎∵，∴.……………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）∵，∴，………………………………7分 ‎∴，‎ ‎∴，………………………………………………8分 ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎.……………………………………10分 ‎∴，（当且仅当时，取“”）‎ ‎∴的最小值为.……………………………………12分 ‎18.解：若为真：对，恒成立，………………1分 设，配方得，…………………………2分 ‎∴在上的最小值为，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴为真时：；…………………………………………4分 若为真：，成立，‎ ‎∴成立.…………………………………………6分 设，‎ 易知在上是增函数，∴的最大值为，∴，‎ ‎∴为真时，，……………………………………8分 ‎∵”为真，“”为假，∴与一真一假，………………9分 当真假时，∴，…………………………10分 当假真时，∴，……………………11分 综上所述，的取值范围是或.…………………………12分 ‎19.解：（Ⅰ）由点在直线上，‎ ‎∴即，………………………………1分 又，‎ 两式相减得，∴，…………………………2分 ‎∴是以4为公比的等差数列，又，‎ ‎∴；……………………………………………………3分 ‎∵是以为首项，以为公差的等差数列，‎ ‎∴，∴.……………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，…………………………6分 ‎∴，‎ ‎∴，………………………………7分 以上两式相减得，‎ ‎………………………………8分 ‎，…………………………………………11分 ‎∴.………………………………12分 ‎20.解：（Ⅰ）由题意，下潜用时（单位时间），用氧量为（升），……1分 水底作业时的用氧量为（升），…………………………………………2分 返回水面用时（单位时间），用氧量为（升），…………3分 ‎∴总用氧量.…………………………4分 ‎（Ⅱ），‎ 令得，………………………………6分 在时，，函数单调递减，‎ 在时，，函数单调递增，……………………8分 ‎∴当时，函数在上递减，在上递增，‎ ‎∴此时，时总用氧量最少，…………………………11分 当时，在上递增，‎ ‎∴此时时，总用氧量最少.…………………………13分 ‎21.解：（Ⅰ）由题意且，………………1分 ‎∴，‎ 又，………………………………3分 ‎∴在点处的切线方程为即…………4分 ‎（Ⅱ）（i）由题意知，‎ 设，‎ 则，‎ 设，‎ 则，…………………………6分 ‎（1）当时，∵，∴，‎ ‎∴在上单调递增，又，‎ ‎∴时，，又，‎ ‎∴，不符合题意.………………………………7分 ‎（2）当时，设，‎ ‎①若，即时，恒成立，‎ 即在恒成立，∴在上单调递减又，‎ ‎∴时，，，，‎ 时，，，，符合题意.……………………9分 ‎②若，即时，的对称轴，‎ ‎∴在上单调递增，‎ ‎∴时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴在上单调递增，‎ ‎∴，‎ 而，∴，不符合题意，‎ 综上所述.…………………………………………11分 ‎（ii）由（i）知时，，‎ 当时整理得，……………………12分 令，则，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即.…………………………………………14分