数学卷·2018届河北省张家口市万全中学高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届河北省张家口市万全中学高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年河北省张家口市万全中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题 ‎1．阅读如图所示程序框图，运行相应的程序，若输入x=1，则输出的结果为（　　）‎ A．﹣1 B．2 C．0 D．无法判断 ‎2．某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员应该各抽取人数为（　　）‎ A．8，15，7 B．16，2，2 C．16，3，1 D．12，5，3‎ ‎3．掷两枚骰子，出现点数之和为3的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x ‎5．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如表 x ‎165‎ ‎160‎ ‎175‎ ‎155‎ ‎170‎ y ‎58‎ ‎52‎ ‎62‎ ‎43‎ ‎60‎ 根据上表可得回归直线方程为，则=（　　）‎ A．﹣96.8 B．96.8 C．﹣104.4 D．104.4‎ ‎6．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为me，众数为 mo，则（　　）‎ A．me=mo B．mo＜me C．me＜mo D．不能确定 ‎7．过抛物线y2=16x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（　　）‎ A．8 B．10 C．14 D．16‎ ‎8．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是（　　）‎ A．12 B．9 C．8 D．6‎ ‎9．在等差数列{an}中，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1，a2，a5成等比数列”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎10．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相垂直，则k的值是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎11．把长为80cm的铁丝随机截成三段，则每段铁丝长度都不小于20cm的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e范围是（　　）‎ A．（1，8] B． C． D．（2，3]‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是　　．‎ ‎14．已知在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，在该四棱锥内部或表面任取一点O，则三棱锥O﹣PAB的体积不小于的概率为　　．‎ ‎15．已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，共面，则λ=　　．‎ ‎16．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，长轴 A B上的100等分点从左到右依次为点 M1，M2，…，M99，过 Mi（i=1，2，…，99）点作斜率为k（k≠0）的直线li（i=1，2，…，99），依次交椭圆上半部分于点 P1，P3，P5，…，P197，交椭圆下半部分于点 P2，P4，P6，…，P198，则198条直线 A P1，A P2，…，A P198的斜率乘积为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（17小题10分，其他每题12分，共70分）‎ ‎17．（10分）已知p：“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相交”；q：“方程x2﹣x+m﹣4=0的两根异号”．若p∨q为真，￢p为真，求实数m的取值范围．‎ ‎18．（12分）某校高三年级在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算并排序，选出前300名学生，并对这300名学生按成绩分组，第一组[75，80），第二组[80，85），第三组[85，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；‎ ‎（Ⅱ）若B大学决定在成绩高的第4，5组中用 分层抽样的方法抽取6名学生，并且分成2组，每组3人 进行面试，求95分（包括95分）以上的同学被分在同一个小组的概率．‎ ‎19．（12分）已知棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F为A1B1的中点．‎ ‎（1）求证：DE⊥C1F；‎ ‎（2）求异面直线A1C与C1F所成角的余弦值．‎ ‎20．（12分）焦点在x轴上的抛物线，准线方程x=﹣2‎ ‎（1）求该抛物线的标准方程．‎ ‎（2）过点Q（4，1）做该抛物线的弦AB，该弦恰好被点Q平分，求弦AB所在的直线方程．‎ ‎21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD=，CD=2AB=2，∠PAD=120°．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅱ）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．‎ ‎22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是点F1，F2，其离心率e=，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值为4．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1， =0，求||+||的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河北省张家口市万全中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题 ‎1．阅读如图所示程序框图，运行相应的程序，若输入x=1，则输出的结果为（　　）‎ A．﹣1 B．2 C．0 D．无法判断 ‎【考点】选择结构．‎ ‎【分析】框图仅由条件结构构成，输入的x值小于0，执行y=﹣x，输出y，等于0，执行y=0，输出y，大于0，执行y=2x，输出y，因为x=1＞0，所以执行y=2x．‎ ‎【解答】解：因为输入的x值为1大于0，所以执行y=2x=2，输出2．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了程序框图中的条件结构，条件结构的特点是，算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，算法不循环执行．‎ ‎　‎ ‎2．某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员应该各抽取人数为（　　）‎ A．8，15，7 B．16，2，2 C．16，3，1 D．12，5，3‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】根据所给的三个层次的人数，得到公司的总人数，利用要抽取的人数除以总人数，得到每个个体被抽到的概率，用概率乘以三个层次的人数，得到结果．‎ ‎【解答】解：∵公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人 ‎∴公司共有160+30+10=200人，‎ ‎∵要从其中抽取20个人进行身体健康检查，‎ ‎∴每个个体被抽到的概率是=，‎ ‎∴职员要抽取160×=16人，‎ 中级管理人员30×=3人，‎ 高级管理人员10×=1人，‎ 即抽取三个层次的人数分别是16，3，1‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查分层抽样方法，解题的主要依据是每个个体被抽到的概率相等，主要是一些比较小的数字的运算，本题是一个基础题．‎ ‎　‎ ‎3．掷两枚骰子，出现点数之和为3的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是6×6=36种结果，满足条件的事件是出现的点数之和是3，有（1，2）（2，1）两种情况，写出概率．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，‎ 试验发生包含的事件数是6×6=36种结果，‎ 满足条件的事件是出现的点数之和是3，有（1，2）（2，1）两种情况，‎ ‎∴出现的点数是3的概率是=‎ 故选：D ‎【点评】本题考查古典概型，是一个基础题，题目主要应用列举法写出事件数，列举的过程注意做到不重不漏，适合文科学生做．‎ ‎　‎ ‎4．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±2x ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】运用双曲线的离心率公式可得c2=a2，由a，b，c的关系和双曲线的渐近线方程，计算即可得到所求方程．‎ ‎【解答】解：由题意可得e==，‎ 即为c2=a2，‎ 由c2=a2+b2，可得b2=a2，‎ 即a=2b，‎ 双曲线的渐近线方程为y=±x，‎ 即为y=±2x．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用离心率公式和双曲线的方程，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．从某大学随机抽取的5名女大学生的身高x（厘米）和体重y（公斤）数据如表 x ‎165‎ ‎160‎ ‎175‎ ‎155‎ ‎170‎ y ‎58‎ ‎52‎ ‎62‎ ‎43‎ ‎60‎ 根据上表可得回归直线方程为，则=（　　）‎ A．﹣96.8 B．96.8 C．﹣104.4 D．104.4‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，‎ ‎【解答】解：由表中数据可得=165， =55，‎ ‎∵（，）一定在回归直线方程上，‎ ‎∴55=0.92×167+a，‎ 解得a=﹣96.84．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一．‎ ‎　‎ ‎6．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分的中位数为me，众数为 mo，则（　　）‎ A．me=mo B．mo＜me C．me＜mo D．不能确定 ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】由频率分布直方图分别求出众数mo和中位数me，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：由频率分布直方图得：‎ 众数mo=5，‎ 得分的中位数为me==8，‎ ‎∴m0＜me．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎7．过抛物线y2=16x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=6，那么|AB|=（　　）‎ A．8 B．10 C．14 D．16‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】抛物线 y2=16x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，故|AB|=x1+x2+8，由此易得弦长值．‎ ‎【解答】解：由题意，p=8，故抛物线的准线方程是x=﹣4，‎ ‎∵抛物线 y2=16x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点 ‎∴|AB|=x1+x2+8，‎ 又x1+x2=6‎ ‎∴∴|AB|=x1+x2+8=14‎ 故选C．‎ ‎【点评】‎ 本题考查抛物线的简单性质，解题的关键是理解到焦点的距离与到准线的距离相等，由此关系将求弦长的问题转化为求点到线的距离问题，大大降低了解题难度．‎ ‎　‎ ‎8．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是（　　）‎ A．12 B．9 C．8 D．6‎ ‎【考点】模拟方法估计概率．‎ ‎【分析】设阴影部分的面积为S，根据题意，可得向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P=；，又由几何概型可得P=，可得=，解可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，设阴影部分的面积为S，则正方形的面积为36，‎ 向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，‎ 则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P==；‎ 而P=，则=，‎ 解可得，S=9；‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查用模拟方法估计概率的大小，涉及几何概型的应用，模拟方法求面积一般针对不规则的图形．‎ ‎　‎ ‎9．在等差数列{an}中，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1，a2，a5成等比数列”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】求出“a1，a2，a5‎ 成等比数列”的充要条件，根据集合的包含关系判断即可．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}，‎ ‎∵a1=2，且a1、a2、a5成等比数列，‎ 则=a1a5，∴（2+d）2=2（2+4d），‎ 解得d=4或d=0，‎ 故“d=4”是“a1，a2，a5成等比数列”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了充分必要条件，考查等差数列和等比数列问题，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎10．已知向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2）且k+与2﹣互相垂直，则k的值是（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由向量=（1，1，0），=（﹣1，0，2），求得k+与2﹣的坐标，代入数量积的坐标表示求得k值．‎ ‎【解答】解：∵ =（1，1，0），=（﹣1，0，2），‎ ‎∴k+=k（1，1，0）+（﹣1，0，2）=（k﹣1，k，2），‎ ‎2﹣=2（1，1，0）﹣（﹣1，0，2）=（3，2，﹣2），‎ 又k+与2﹣互相垂直，‎ ‎∴3（k﹣1）+2k﹣4=0，解得：k=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查空间向量的数量积运算，考查向量数量积的坐标表示，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎11．把长为80cm的铁丝随机截成三段，则每段铁丝长度都不小于20cm的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】设把长为80cm的铁丝随机截成三段的长度分别为x，y，80﹣x﹣y，则由题意知，以面积为测度，即可求出概率．‎ ‎【解答】解：设把长为80cm的铁丝随机截成三段的长度分别为x，y，80﹣x﹣y，‎ 则由题意知，‎ 所以包含事件每段铁丝长度都不小于20cm所表示的面积为区域的面积为=200，‎ 而基本事件所表示的平面80×80=3200，‎ 所以由几何概型的计算公式即可得出每段铁丝长度都不小于20cm的概率为．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查几何概型，考查面积的计算，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e范围是（　　）‎ A．（1，8] B． C． D．（2，3]‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】直接利用双曲线的定义，结合三角形的中位线定理，推出a，b，c的关系，求出双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：设双曲线的左焦点为F1，因为点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，‎ 其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，‎ 由三角形中位线定理可知：OM=PF1，PF1=PF﹣2a，PF≥a+c．‎ 所以，1．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题是中档题，考查双曲线的基本性质，找出三角形的中位线与双曲线的定义的关系，得到PF≥a+c．是解题的关键．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是　1＜k＜3　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】利用双曲线的简单性质，推出不等式求解即可．‎ ‎【解答】解：方程表示双曲线，‎ 可得（k﹣1）（k﹣3）＜0，‎ 解得：1＜k＜3．‎ 故答案为：1＜k＜3．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎14．已知在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，在该四棱锥内部或表面任取一点O，则三棱锥O﹣PAB的体积不小于的概率为　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用对应的体积比值求出对应的概率．‎ ‎【解答】解：如图所示，AD、BC、PC、PD的中点分别为E、F、G、H，‎ 当点O在几何体CDEFGH内部或表面上时，V三棱锥O﹣PAB≥；‎ 在几何体CDEFGH中，连接GD、GE，‎ 则V多面体CDEFGH=V四棱锥G﹣CDEF+V三棱锥G﹣DEH=，‎ 又V四棱锥P﹣ABCD=，‎ 则所求的概率为P==．‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查了空间几何体体积的计算问题，也考查了几何概型的应用问题，是综合性题目．‎ ‎　‎ ‎15．已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，共面，则λ=　3　．‎ ‎【考点】共线向量与共面向量．‎ ‎【分析】由于向量，共面，利用向量共面定理可得：存在唯一一对实数m，n使得，解出即可．‎ ‎【解答】解：∵向量，共面，‎ ‎∴存在唯一一对实数m，n使得，‎ ‎∴，解得．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】本题考查了向量共面定理，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，长轴 A B上的100等分点从左到右依次为点 M1，M2，…，M99，过 Mi（i=1，2，…，99）点作斜率为k（k≠0）的直线li（i=1，2，…，99），依次交椭圆上半部分于点 P1，P3，P5，…，P197，交椭圆下半部分于点 P2，P4，P6，…，P198，则198条直线 A P1，A P2，…，A P198的斜率乘积为　　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】先证一个结论：对于椭圆上非长轴端点任一点P，有，再根据椭圆对称性得，因此198条直线 A P1，A P2，…，A P198的斜率乘积为 ‎【解答】解：∵离心率为，∴，对于椭圆上非长轴端点任一点P，有，再根据椭圆对称性得，因此198条直线 A P1，A P2，…，A P198的斜率乘积为 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现．‎ ‎　‎ 三、解答题（17小题10分，其他每题12分，共70分）‎ ‎17．（10分）（2015秋•莆田校级期末）已知p：“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相交”；q：“方程x2﹣x+m﹣4=0的两根异号”．若p∨q为真，￢p为真，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】若命题p是真命题：“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相交”，则＜1，解得m范围；若命题q是真命题：“方程x2﹣x+m﹣4=0的两根异号”，则m﹣4＜0，解得m范围．若p∨q为真，￢p为真，则p为假命题，q为真命题．解出即可．‎ ‎【解答】解：若命题p是真命题：“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+y2=1相交”，则＜1，解得1﹣；‎ 若命题q是真命题：“方程x2﹣x+m﹣4=0的两根异号”，则m﹣4＜0，解得m＜4．‎ 若p∨q为真，￢p为真，‎ 则p为假命题，q为真命题．‎ ‎∴．‎ ‎∴实数m的取值范围是或．‎ ‎【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、直线与圆的位置关系、一元二次的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•万全县校级期中）某校高三年级在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算并排序，选出前300名学生，并对这300名学生按成绩分组，第一组[75，80），第二组[80，85），第三组[85，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）请在图中补全频率分布直方图；‎ ‎（Ⅱ）若B大学决定在成绩高的第4，5组中用 分层抽样的方法抽取6名学生，并且分成2组，每组3人 进行面试，求95分（包括95分）以上的同学被分在同一个小组的概率．‎ ‎【考点】频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图求出第五组的数据，再根据题意求出第一组、第四组、第二组、第三组的数据来，由此绘制频率分布直方图；‎ ‎（Ⅱ）根据分层抽样求出从第四、五组中抽取人数，组成样本，用列举法列出这六人分成两组的基本事件数，求出第五组中的2人被分在一组的概率即可．‎ ‎（另解：用排列与组合的方法求出两人被分在一组的概率也可）．‎ ‎【解答】‎ 解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，‎ 第五组为：0.02×5×300=30人，‎ 第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是一个以30为首项，总和为300的等差数列，‎ ‎∴第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数以次是30人，45人，60人，75人，90人．‎ ‎∴绘制的频率分布直方图如右图所示；…（6分）‎ ‎（Ⅱ）第四组中抽取人数：人，‎ 第五组中抽取人数：人，‎ ‎∴两组共6人；‎ 设第四组抽取的四人为A1，A2，A3，A4，第五组抽取的2人为B1，B2，‎ 这六人分成两组有两种情况，‎ 情况一：B1，B2在同一小组：（A1，A2，A3），（A4，B1，B2）；（A1，A2，A4），（A3，B1，B2）；‎ ‎（A1，A3，A4），（A2，B1，B2）；（A2，A3，A4），（A1，B1，B2），共有4种可能结果；‎ 情况二：B1，B2不在同一小组：（B1，A1，A2），（B2，A3，A4）；（B1，A1，A3），（B2，A2，A4）；‎ ‎（B1，A1，A4），（B2，A2，A3）；（B1，A2，A3），（B2，A1，A4）；‎ ‎（B1，A2，A4），（B2，A1，A3）；（B1，A3，A4），（B2，A1，A2），共有6种可能结果；‎ 两种情况总共10种可能结果，‎ ‎∴两人被分在一组的概率为．…（12分）‎ ‎（另解：两人被分在一组的概率为）．（此法亦可相应给分）‎ ‎【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了等差数列的应用问题，古典概型的概率的计算问题，是综合题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•万全县校级期中）已知棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，F为A1B1的中点．‎ ‎（1）求证：DE⊥C1F；‎ ‎（2）求异面直线A1C与C1F所成角的余弦值．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）以D为原点，建立空间直线坐标系，利用向量法能证明DE⊥C1F．‎ ‎（2）求出=（﹣a，a，﹣a），=（a，﹣，0），利用向量法能求出异面直线A1C与C1F所成角的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）以D为原点，建立空间直线坐标系 ‎∵棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，‎ E是BC的中点，F为A1B1的中点．‎ ‎∴D（0，0，0），E（，a，0），‎ C1（0，a，a），F（a，，a），‎ ‎=（），‎ ‎=（a，﹣，0），‎ ‎∴=，‎ ‎∴DE⊥C1F．‎ 解：（2）A1（a，0，a），‎ C（0，a，0），C1（0，a，a），‎ F（a，，a），‎ ‎=（﹣a，a，﹣a），‎ ‎=（a，﹣，0），‎ 设异面直线A1C与C1F所成角为θ，‎ 则cosθ===．‎ ‎∴异面直线A1C与C1F所成角的余弦值为．‎ ‎【点评】本题考查线线垂直的证明，考查异面直线所成角和余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•万全县校级期中）焦点在x轴上的抛物线，准线方程x=﹣2‎ ‎（1）求该抛物线的标准方程．‎ ‎（2）过点Q（4，1）做该抛物线的弦AB，该弦恰好被点Q平分，求弦AB所在的直线方程．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）利用焦点在x轴上的抛物线，准线方程x=﹣2，即可求该抛物线的标准方程．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意，代入抛物线方程，两式相减两式相减可得（y1﹣y2）（y1+y2）=8（x1﹣x2），结合中点坐标公式可求直线的斜率，进而可求直线方程．‎ ‎【解答】解：（1）∵焦点在x轴上的抛物线，准线方程x=﹣2，‎ ‎∴抛物线的标准方程为y2=8x；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 由题意，代入抛物线方程，两式相减两式相减可得（y1﹣y2）（y1+y2‎ ‎）=8（x1﹣x2）‎ 由中点坐标公式可得，y1+y2=2，∴kAB=4，‎ ‎∴所求的直线的方程为y﹣1=4（x﹣4），即4x﹣y﹣15=0．‎ ‎【点评】本题主要考查了抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线相交关系的应用，要掌握这种设而不求的方法在求解直线方程中的应用．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016•杭州校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD=，CD=2AB=2，∠PAD=120°．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；‎ ‎（Ⅱ）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．‎ ‎【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（I）取CD的中点E，连接BE．可证四边形ABED是矩形，故而AB⊥AD，结合AB⊥PD得出AB⊥平面PAD，又AB∥CD得出CD⊥平面PAD，于是平面PAD⊥平面PCD；‎ ‎（II）以A为原点建立坐标系，求出和平面PBC的法向量，则直线PD与平面PBC所成的角的正弦值为|cos＜，＞|．‎ ‎【解答】证明：（I）取CD的中点E，连接BE．‎ ‎∵BC=BD，E为CD中点，∴BE⊥CD，‎ 又∵AB∥CD，AB=CD=DE，‎ ‎∴四边形ABED是矩形，‎ ‎∴AB⊥AD，‎ 又AB⊥PA，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，‎ ‎∴AB⊥平面PAD．‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，‎ ‎∴平面BEF⊥平面PCD．‎ ‎∴平面PAD⊥平面PCD．‎ ‎（II）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，以平面ABCD过点A的垂线为z轴建立空间直角坐标角系A﹣xyz，如图所示：‎ ‎∵PB=BD=，AB=，AB⊥PA，AB⊥AD，∴PA=AD=2．‎ ‎∴P（0，﹣1，），D（0，2，0），B（，0，0），C（2，2，0），‎ ‎∴=（0，3，﹣），=（﹣，﹣1，），=（，2，0）．‎ 设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，‎ ‎∴，取x=，得=（，﹣1，），‎ ‎∴cos＜，＞===﹣．‎ ‎∴直线PD与平面PBC所成的角的正弦值为．‎ ‎【点评】本题考查了面面垂直的性质，空间向量的应用与空间角的计算，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016•漳州二模）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是点F1，F2，其离心率e=，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2面积的最大值为4．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1， =0，求||+||的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）容易知道当P点为椭圆的上下顶点时，△PF1F2面积最大，再根据 椭圆的离心率为可得到关于a，c的方程组，解该方程组即可得到a，c，b，从而得出椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）先容易求出AC，BD中有一条直线不存在斜率时||+||=14，当直线AC存在斜率k且不为0时，写出直线AC的方程y=k（x+2），联立椭圆的方程消去y得到（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣48=0，根据韦达定理及弦长公式即可求得，把k换上即可得到．所以用k表示出，这时候设k2+1=t，t＞1，从而得到，根据导数求出的范围，从而求出的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意知，当P是椭圆的上下顶点时△PF1F2的面积取最大值；‎ ‎∴；‎ 即①；‎ 由离心率为得：‎ ‎②；‎ ‎∴联立①②解得a=4，c=2，b2=12；‎ ‎∴椭圆的方程为；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知F1（﹣2，0）；‎ ‎∵，∴AC⊥BD；‎ ‎（1）当直线AC，BD中一条直线斜率不存在时，；‎ ‎（2）当直线AC斜率为k，k≠0时，其方程为y=k（x+2），将该方程带入椭圆方程并整理得：‎ ‎（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣48=0；‎ 若设A（x1，y1），B（x2，y2），则：；‎ ‎∴=；‎ 直线BD的方程为y=，同理可得；‎ ‎∴=；‎ 令k2+1=t，t＞1；‎ ‎∴==；‎ 设f（t）=，（t＞1），f′（t）=；‎ ‎∴t∈（1，2）时，f′（t）＞0，t∈（2，+∞）时，f′（t）＜0；‎ ‎∴t=2时，f（t）取最大值，又f（t）＞0；‎ ‎∴；‎ ‎∴；‎ ‎∴综上得的取值范围为．‎ ‎【点评】考查三角形的面积公式，椭圆离心率的概念，椭圆的标准方程，a，b，c三个系数的几何意义，直线的点斜式方程，以及弦长公式，根据导数求函数最值的方法．‎ ‎　‎