高考数学专题复习课件：12-5　条件概率、n次独立重复试验与二项分布

高考数学专题复习课件：12-5　条件概率、n次独立重复试验与二项分布

§12.5 　条件概率、 n 次独立重复试验与二项分布 [ 考纲要求 ] 　 1. 了解条件概率和两个事件相互独立的概念 .2. 理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题． (2) 性质 ① 0 ≤ P ( B | A ) ≤ 1 ； ② 如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P ( B ∪ C | A ) ＝ ________ ________ ． 2 ． 事件的相互独立性 (1) 定义 设 A ， B 为两个事件，如果 P ( AB ) ＝ __________ ，则称事件 A 与事件 B 相互独立． P ( B | A ) ＋ P ( C | A ) P ( A )· P ( B ) (2) 性质 ① 若事件 A 与 B 相互独立，则 P ( B | A ) ＝ ______ ， P ( A | B ) ＝ P ( A ) ， P ( AB ) ＝ __________ ． ② 如果事件 A 与 B 相互独立，那么 ______ ， _______ 与 B ， ________ 与 B 也都相互独立． 3 ． 独立重复试验与二项分布 (1) 独立重复试验 在 ____ 条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验． A i ( i ＝ 1 ， 2 ， … ， n ) 表示第 i 次试验结果，则 P ( A 1 A 2 A 3 … A n ) ＝ ________________ ． P ( B ) P ( A ) P ( B ) 相同 P ( A 1 ) P ( A 2 ) … P ( A n ) 思考辨析 】 　判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “ ×” ) (1) 条件概率一定不等于它的非条件概率． ( 　　 ) (2) 相互独立事件就是互斥事件． ( 　　 ) (3) 对于任意两个事件，公式 P ( AB ) ＝ P ( A ) P ( B ) 都成立． ( 　　 ) (4) 二项分布是一个概率分布，其公式相当于 ( a ＋ b ) n 二项展开式的通项公式，其中 a ＝ p ， b ＝ 1 － p .( 　　 ) 【 答案 】 (1) × 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 　 (5) √ 　 (6) × 【 答案 】 B 2 ． (2014· 课标全国 Ⅱ ) 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75 ，连续两天为优良的概率是 0.6 ，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( 　　 ) A ． 0.8 B ． 0.75 C ． 0.6 D ． 0.45 【 答案 】 A 3 ．如图，用 K ， A 1 ， A 2 三类不同的元件连接成一个系统．当 K 正常工作且 A 1 ， A 2 至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知 K ， A 1 ， A 2 正常工作的概率依次为 0.9 ， 0.8 ， 0.8 ，则系统正常工作的概率为 ( 　　 ) A ． 0.960 B ． 0.864 C ． 0.720 D ． 0.576 【 解析 】 方法一 由题意知 K ， A 1 ， A 2 正常工作的概率分别为 P ( K ) ＝ 0.9 ， P ( A 1 ) ＝ 0.8 ， P ( A 2 ) ＝ 0.8 ， ∵ K ， A 1 ， A 2 相互独立， ∴ A 1 ， A 2 至少有一个正常工作的概率为 P ( A 1 A 2 ) ＋ P ( A 1 A 2 ) ＋ P ( A 1 A 2 ) ＝ (1 － 0.8) × 0.8 ＋ 0.8 × (1 － 0.8) ＋ 0.8 × 0.8 ＝ 0.96. ∴ 系统正常工作的概率为 P ( K )[ P ( A 1 A 2 ) ＋ P ( A 1 A 2 ) ＋ P ( A 1 A 2 )] ＝ 0.9 × 0.96 ＝ 0.864. 方法二 A 1 ， A 2 至少有一个正常工作的概率为 1 － P ( A 1 A 2 ) ＝ 1 － (1 － 0.8)(1 － 0.8) ＝ 0.96 ，故系统正常工作的概率为 P ( K )[1 － P ( A 1 A 2 )] ＝ 0.9 × 0.96 ＝ 0.864. 【 答案 】 B (2) 如图所示， EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件 “ 豆子落在正方形 EFGH 内 ” ， B 表示事件 “ 豆子落在扇形 OHE ( 阴影部分 ) 内 ” ，则 P ( B | A ) ＝ ________ ． 【 引申探究 】 若将本例 (1) 中的事件 B ： “ 取到的 2 个数均为偶数 ” 改为 “ 取到的 2 个数均为奇数 ” ，则结果如何？ 跟踪训练 1 (2017· 湖北荆门模拟 ) 某工厂生产了一批产品共有 20 件，其中 5 件是次品，其余都是合格品，现不放回地从中依次抽取 2 件．求： (1) 第一次抽到次品的概率； (2) 第一次和第二次都抽到次品的概率； (3) 在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率． 题型二　相互独立事件的概率 【 例 2 】 在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手 (1 至 5 号 ) 登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手，其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在 3 至 5 号中随机选 2 名．观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手． (1) 求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率； (2) X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和， “ 求 X ≥ 2 ” 的事件概率． 【 解析 】 (1) 设 A 表示事件 “ 观众甲选中 3 号歌手 ” ， B 表示事件 “ 观众乙选中 3 号歌手 ” ， 【 方法规律 】 解答此类问题的方法技巧 (1) 首先判断几个事件的发生是否相互独立； (2) 求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有： ① 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解． ② 正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 跟踪训练 2 (2015· 陕西改编 ) 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T ， T 只与道路畅通状况有关，对其容量为 100 的样本进行统计，结果如下： T ( 分钟 ) 25 30 35 40 频数 ( 次 ) 20 30 40 10 (1) 求 T 的分布列； (2) 刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 50 分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率． 【 解析 】 (1) 由统计结果可得 T 的频率分布为 T ( 分钟 ) 25 30 35 40 频率 0.2 0.3 0.4 0.1 以频率估计概率得 T 的分布列为 T 25 30 35 40 P 0.2 0.3 0.4 0.1 (2) 设 T 1 ， T 2 分别表示往、返所需时间， T 1 ， T 2 的取值相互独立，且与 T 的分布列相同， 设事件 A 表示 “ 刘教授共用时间不超过 120 分钟 ” ，由于讲座时间为 50 分钟，所以事件 A 对应于 “ 刘教授在路途中的时间不超过 70 分钟 ” ． 方法一 P ( A ) ＝ P ( T 1 ＋ T 2 ≤ 70) ＝ P ( T 1 ＝ 25 ， T 2 ≤ 45) ＋ P ( T 1 ＝ 30 ， T 2 ≤ 40) ＋ P ( T 1 ＝ 35 ， T 2 ≤ 35) ＋ P ( T 1 ＝ 40 ， T 2 ≤ 30) ＝ 0.2 × 1 ＋ 0.3 × 1 ＋ 0.4 × 0.9 ＋ 0.1 × 0.5 ＝ 0.91. 方法二 P ( A ) ＝ P ( T 1 ＋ T 2 >70) ＝ P ( T 1 ＝ 35 ， T 2 ＝ 40) ＋ P ( T 1 ＝ 40 ， T 2 ＝ 35) ＋ P ( T 1 ＝ 40 ， T 2 ＝ 40) ＝ 0.4 × 0.1 ＋ 0.1 × 0.4 ＋ 0.1 × 0.1 ＝ 0.09 ， 故 P ( A ) ＝ 1 － P ( A ) ＝ 0.91. (1) 分别求甲队以 3 ∶ 0 ， 3 ∶ 1 ， 3 ∶ 2 胜利的概率； (2) 若比赛结果为 3 ∶ 0 或 3 ∶ 1 ，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为 3 ∶ 2 ，则胜利方得 2 分，对方得 1 分．求乙队得分 X 的分布列． 【 方法规律 】 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 (1) 在求 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率时，首先要确定好 n 和 k 的值，再准确利用公式求概率． (2) 根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数 n 和变量的概率，求得概率． (3) 假设这名射手射击 3 次，每次射击，击中目标得 1 分，未击中目标得 0 分．在 3 次射击中，若有 2 次连续击中，而另外 1 次未击中，则额外加 1 分；若 3 次全击中，则额外加 3 分．记 ξ 为射手射击 3 次后的总分数，求 ξ 的分布列． ► 失误与防范 1 ．运用公式 P ( AB ) ＝ P ( A ) P ( B ) 时一定要注意公式成立的条件，只有当事件 A 、 B 相互独立时，公式才成立． 2 ．独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意 “ 恰好 ” 与 “ 至多 ( 少 ) ” 的关系，灵活运用对立事件 .