高考数学试题全国理及答案

高考数学试题全国理及答案

‎2001年全国普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)‎ 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎(1)若，则θ在 ‎(A)第一、二象限 (B)第一、三象限 (C)第一、四象限 (D)第二、四象限 ‎(2)过点A(1，-1)，B(-1，1)且园心在直线x+y-2=0上的圆珠笔的方程是 ‎(A)(x-3)2+(y+1)2=4 (B)(x+3)2+(y-1)2=4‎ ‎(C)(x-1)2+(y-1)2=4 (B)(x+1)2+(y+1)2=4‎ ‎(3)设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 ‎(A)1 (B)2 (C)4 (D)6‎ ‎(4)若定义在区间(-1，0)内的函数f(x)= log‎2a(x＋ 1)满足f(x)＞ 0，则 a的取值范围是 ‎(A)(0，) (B) (0，] (C) (，+∞) (D) (0，+∞)‎ ‎(5)极坐标方程的图形是 ‎(6)函数的反函数是 ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎(7)若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)，F2(3，0)，则其离心率为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎(8)若，则 ‎(A)ab (A)ab<1 (D)ab>2‎ ‎(9)在正三棱柱ABC－A1 B‎1C1中，若AB=BB1，则AB与C1B所成的角的大小为 ‎(A)60° (B)90° (C)105° (D)75°‎ ‎(10)设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题：‎ ‎ ①若f(x)单调速增，g(x)单调速增，则f(x)-g(x))单调递增;‎ ‎ ②若f(x)单调速增，g(x)单调速减，则f(x)-g(x))单调递增;‎ ‎ ③若f(x)单调速减，g(x)单调速增，则f(x)-g(x))单调递减;‎ ‎ ④若f(x)单调速减，g(x)单调速减，则f(x)-g(x))单调递减; 其中，正确的命题是 ‎ (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④‎ ‎(11)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．‎ 若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 ‎ (A)P3>P2>P1 (B) P3>P2=P1 (C) P3=P2>P1 (D) P3=P2=P1‎ ‎(12)如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表承它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的 路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为 ‎(A)26； (B)24； (C)20； (D)19‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．‎ ‎(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是_________．‎ ‎(14)双曲线的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上．若PF⊥PF2，则点P到x轴的距离为_________。‎ ‎(15)设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．若{Sn}是等差数列，则q＝＿．‎ ‎(16)园周上有几个等分点(n＞ 1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为________．‎ 三．解答题：本大题共6小题共74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．‎ ‎(17)(本小题满分12分)‎ 如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，‎ ‎ SA⊥面ABCD，SA＝ AB＝ BC= 1，AD=．‎ ‎ ( I)求四棱锥S-ABCD的体积；‎ ‎( 11)求面 SCD与面 SBA所成的二面角的正切值．‎ ‎(18)(本小题满分12分)‎ 已知复数z1= i (1-i)3‎ ‎(I)求arg z1及| z1|‎ ‎ (II)当复数z满足|z|＝l，求|z-z1|的最大值．‎ ‎(19)(本小题满分12分)‎ 设抛物线y2=2pc(p>0)的焦点为 F，经过点 F的直线交抛物线于A、B两点．点 C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．‎ ‎(20)(本小题满分12分)‎ ‎ 已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n ‎ (I)证明nipim＜mipin；‎ ‎ 门)证明(1+m)n>(1+n)m．‎ ‎(21)(本小题满分12分)‎ ‎ 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．‎ ‎ (I)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元．写出 an，bn的表达式；‎ ‎ (II)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？‎ ‎(22)(本小题满分14分)‎ ‎ 设f(x)是定义在 R上的偶函数，其图象关于直线x＝ 1对称，对任意x1；，x2 ∈[0，]，都有 ‎ f(x1+x2)=f(x1)f(x2)．‎ ‎ (I)求f()及f()；‎ ‎ (II)证明f(x)是周期函数；‎ ‎(III)记 an= f(2n+)，求．‎ 数学试题(理工农医类)参考答案及评分标准 一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．‎ ‎ (1)B (2)C (3)B (4)A (5)C ‎ (6)A (7)C (8)A (9)B (10)C ‎ (11)D (12)D 二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分．满分16分．‎ ‎ (13)2π (14) (15)1 (16)2n(n－1)‎ 三．解答题．‎ ‎ (17)本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．‎ ‎ 解：(I)直角梯形ABCD的面积是 ‎ M底面= ( BC+AD)AB＝ ……2分 ‎ ∴四棱推S-ABCD的体积是 ‎ ……4分 ‎(II)延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱 ……6分 ‎∵AD∥BC，BC=2AD ∴EA=AB=SA，∴SE⊥SB ‎∵SA⊥面ABCD，得面ASB⊥面ESC，EB是交线，‎ 又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，‎ 故SB是CS在面SEB上的射影，‎ ‎∴CS⊥SE，‎ 所以∠BSC是所求二面角的平面角． ……10分 即所求二面角的正切值为。 ……12分 ‎(18)本小题考查复数的基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．‎ ‎ (19)本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．‎ ‎ 证明一：‎ 因为抛物线y2=2pc(p>0)的焦点为F()，所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+‎ 代人抛物线方程得 y2-2pcmy-p2=0‎ ‎ 若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，y2是该方程的两个根，所以 y1y2= -p2‎ ‎ 因为BC∥x轴，且点C在准线x=-上，所以点C的坐标 ‎ 为(-，y2)，故直线CO的斜率为 即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．‎ 证明二：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E，‎ 过A作AD⊥l，D是垂足．则 AD∥FE∥BC． ……2分 连结AC，与EF相交手点N，则 根据抛物线的几何性质，|AF|=|AD|，|BF|=|BC| ……8分 ‎ 即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O． ……12分 ‎(20)本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．‎ ‎ ‎ ‎(21)本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．‎ 解．(I)第1年投入为800万元．第2年投入为800×(1-)万元，……，第n年投入为 ‎800×(1-)n-1万元.‎ 所以，n年的总收入为 第 1年旅游业收入为 400万元，第 2年旅游业收入为 400 ×(1+)万元，……，第n年旅游 业收人为400×(1+)n-1 万元．所以，n年内的旅游业总收入为 ‎(11)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此 ‎ 答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入 …12分 ‎(22)本小题主要考查函数的概念、图象，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力，满分14分．‎