2018-2019学年上海市实验学校高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年上海市实验学校高一下学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年上海市实验学校高一下学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】根据和之间能否推出的关系，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由可得，‎ 由，得到或，，不能得到，‎ 所以“”是“”的充分不必要条件，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.‎ ‎2．函数，当时函数取得最大值，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据三角恒等变换的公式化简得，其中，再根据题意，得到，求得，结合诱导公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据三角恒等变换的公式，可得，‎ 其中，‎ 因为当时函数取得最大值，即，即，‎ 可得，即，‎ 所以.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及诱导公式的化简求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理利用三角函数的诱导公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎3．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦矢+矢矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中，）‎ A．14 B．16 C．18 D．20‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意画出图形，结合图形求出扇形的面积与三角形的面积，计算弓形的面积，再利用弧长公式计算弧田的面积，求两者的差即可.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，扇形的半径为，‎ 所以扇形的面积为，‎ 又三角形的面积为，‎ 所以弧田的面积为，‎ 又圆心到弦的距离等于，所示矢长为，‎ 按照上述弧田的面积经验计算可得弦矢矢 ‎，‎ 所以两者的差为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，以及我国古典数学的应用问题，其中解答中认真审题，合理利用扇形弧长和面积公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎4．已知函数，若，，则（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由函数的解析式，求得，，进而得到，，结合两角差的余弦公式和三角函数的基本关系式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，‎ 令，即，即，所以，‎ 令，即，即，所以，‎ 又因为，，‎ 即，，‎ 所以，，‎ 即，，‎ 平方可得，，‎ 两式相加可得，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两角和与差的余弦公式，三角函数的基本关系式的应用，以及函数的解析式的应用，其中解答中合理应用三角函数的恒等变换的公式进行运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ 二、填空题 ‎5．弧度制是数学上一种度量角的单位制，数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提出把圆的半径作为弧长的度量单位.已知一个扇形的弧长等于其半径长，则该扇形圆心角的弧度数是__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】设扇形的弧长和半径长为，由弧度制的定义可得，该扇形圆心角的弧度数是.‎ ‎6．化简：________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据三角函数的诱导公式，准确运算，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的诱导公式的化简、求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎7．设a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），那么sinα+2cosα的值等于 ．‎ ‎【答案】﹣‎ ‎【解析】试题分析：利用任意角三角函数定义求解．‎ 解：∵a＞0，角α的终边经过点P（﹣3a，4a），‎ ‎∴x=﹣3a，y=4a，r==5a，‎ ‎∴sinα+2cosα==﹣．‎ 故答案为﹣．‎ ‎【考点】任意角的三角函数的定义．‎ ‎8．在锐角△中，，，，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由正弦定理，可得，求得，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理，可得，所以，‎ 又由△为锐角三角形，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理得应用，其中解答中熟记正弦定理，准确计算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.‎ ‎9．如图为函数（，，，）的部分图像，则函数解析式为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由函数的部分图像，先求得，得到，再由，得到，结合，求得 ‎，即可得到函数的解析式.‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据函数的部分图像，‎ 可得，所以，又由，即，‎ 又由，即，‎ 解得，即，‎ 又因为，所以，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用三角函数的图象求解函数的解析式，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎10．已知，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对已知等式的左右两边同时平方，利用同角的三角函数关系式和二倍角的正弦公式，可以求出的值，再利用二倍角的余弦公式可以求出.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，即，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了同角的三角函数关系，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了数学运算能力.‎ ‎11．若在△ABC中，则=_______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由A的度数求出sinA和cosA的值，根据sinA的值，三角形的面积及b的值，利用三角形面积公式求出c的值，再由cosA，b及c的值，利用余弦定理求出a的值，最后根据正弦定理及比例性质即可得到所求式子的比值．‎ ‎【详解】‎ 由∠A=60°，得到sinA=，cosA=，‎ 又b=1，S△ABC=，‎ ‎∴bcsinA=×1×c×=，‎ 解得c=4，‎ 根据余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，‎ 解得a=，‎ 根据正弦定理====，‎ 则=．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，特殊角的三角函数值以及比例的性质，正弦定理、余弦定理建立了三角形的边与角之间的关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．‎ ‎12．把函数的图像上各点向右平移个单位，再把横坐标变为原来的一半，纵坐标扩大到原来的4倍，则所得的函数的对称中心坐标为________‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】根据三角函数的图象变换，求得函数的解析式，进而求得函数的对称中心，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，把函数的图像上各点向右平移个单位，‎ 可得，‎ 再把图象上点的横坐标变为原来的一半，可得，‎ 把函数纵坐标扩大到原来的4倍，可得，‎ 令，解得，‎ 所以函数的对称中心为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的对称中心的求解，其中解答中熟练三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎13．已知，且，.则的值是________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎.‎ ‎14．如图，在△中，三个内角、、所对的边分别为、、，若，，为△外一点，，，则平面四边形面积的最大值为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意和正弦定理，化简得，进而得到，在中，由余弦定理，求得，进而得到 ‎，，‎ 得出四边形的面积为，再结合三角函数的性质，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，在中，因为，‎ 所以，可得,‎ 即，‎ 所以，‎ 所以，‎ 又因为，可得，所以，即,‎ 因为，所以，‎ 在中，，‎ 由余弦定理，可得，‎ 又因为，所以为等腰直角三角形，‎ 所以，‎ 又因为，‎ 所以四边形的面积为 ‎，‎ 当时，四边形的面积有最大值，最大值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎15．已知，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由，，求得，结合两角差的余弦公式，即可求解；‎ ‎（2）由三角函数的基本关系式和诱导公式，求得，再集合两角差的正切公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知，，，所以，‎ 则.‎ ‎（2）由三角函数的基本关系式，可得，则 又由，‎ 解得或，‎ 又因为，可得，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的基本关系式，三角函数的诱导公式，以及三角恒等变换的化简、求值问题，其中解答中熟记三角恒等变换的基本公式，准确运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎16．设函数.‎ ‎（1）求函数的单调递减区间；‎ ‎（2）若，求函数的值域.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）由二倍角公式将表达式化一得到，，令 ‎，得到单调区间；（2）时，，根据第一问的表达式得到值域.‎ 详解：‎ ‎（1）由 ‎ 令 ‎ 得：‎ ‎ 所以，函数的单调减区间为 ‎（2）当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以， 函数的值域是：.‎ 点睛：本题求最值利用三角函数辅助角公式 将函数化为的形式，利用三角函数的图像特点得到函数的值域.‎ ‎17．在△中，角、、所对的边分别为、、，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的最大值；‎ ‎（3）若，，为的中点，求线段的长度.‎ ‎【答案】（1）； （2）； （3）.‎ ‎【解析】（1）由三角恒等变换的公式，化简 ‎，代入即可求解.‎ ‎（2）在中，由余弦定理，结合基本不等式，求得，即可得到答案.‎ ‎（3）设，在中，由余弦定理，求得，分别在和中，利用余弦定理，列出方程，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，在中，，则 又由 ‎.‎ ‎（2）在中，由余弦定理可得，‎ 即，可得，当且仅当等号成立，‎ 所以的最大值为.‎ ‎（3）设，如图所示，‎ 在中，由余弦定理可得，‎ 即，即，解得，‎ 在中，由余弦定理,可得，……①‎ 在中，由余弦定理,可得，……②‎ 因为，所以，‎ 由①+②，可得，即，‎ 解得，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及合理应用正弦定理、余弦定理求解是解答的关键，着重考查了转化思想与运算、求解能力，属于基础题．‎ ‎18．已知函数，.‎ ‎（1）将化为的形式（，，）并求的最小正周期；‎ ‎（2）设，若在上的值域为，求实数、的值；‎ ‎（3）若对任意的和恒成立，求实数取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2），，或，；（3）.‎ ‎【解析】(1)由三角函数的恒等变换公式和正弦函数的周期的公式，即可求解；‎ ‎(2)由正弦函数的图象与性质，讨论的范围，得到的方程组，即可求得的值；‎ ‎（3）对讨论奇数和偶数，由参数分离和函数的最值，即可求得的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意，函数 ‎ ‎ 所以函数的最小正周期为.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 当时，则，所以，‎ 即，令，则，‎ 函数，即，，‎ 当时，在为单调递增函数，‎ 可得且，即，解得；‎ 当时，在为单调递减函数，‎ 可得且，即，解得；‎ 综上可得，或，；‎ ‎（3）由（2）可知，当时，，‎ 当为奇数时，，即为，即恒成立，‎ 又由，即；‎ 当为偶数时，，即为，即恒成立，‎ 又由，即；‎ 综上可得，实数满足，即实数取值范围.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解中熟练化简函数的解析式，合理应用三角函数的图象与性质，以及利用分类讨论和分离参数求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，分离参数，以及推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎19．已知，，，求.‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】根据题设条件，结合三角数的基本关系式，分别求得 ‎ ‎，和，再利用两角和的正切的公式，进行化简、运算，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由 ‎，‎ 由，‎ 可得 又由，所以，‎ 由，‎ 得，‎ 可得，‎ 所以，‎ 即.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两角和与差的正切函数的化简、求值问题，其中解答中熟记两角和与差的正切公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，试题有一定的难度，属于中档试题.‎ ‎20．已知对任意，恒成立（其中），求的最大值.‎ ‎【答案】的最大值为.‎ ‎【解析】试题分析：利用二倍角公式，利用换元法 ‎，将原不等式转化为二次不等式在区间上恒成立，利用二次函数的零点分布进行讨论，从而得出的最大值，但是在对时的情况下，主要对二次函数的对称轴是否在区间进行分类讨论，再将问题转化为的条件下，求的最大值，‎ 试题解析：由题意知，‎ 令，，则当，恒成立，开口向上，‎ ‎①当时，，不满足，恒成立，‎ ‎②当时，则必有 （1）‎ 当对称轴时，即，也即时，有，‎ 则，，则，当，时，.‎ 当对称轴时，即，也即时，‎ 则必有，即，又由（1）知，‎ 则由于，故只需成立即可，‎ 问题转化为的条件下，求的最大值，然后利用代数式的结构特点或从题干中的式子出发，分别利用三角换元法、导数法以及柯西不等式法来求的最大值.‎ 法一：（三角换元）把条件配方得：，‎ ‎，所以，‎ ‎；‎ 法二：（导数）‎ 令 则即求函数的导数,椭圆的上半部分 ‎ ‎ ‎； 法三：（柯西不等式）由柯西不等式可知：‎ ‎，当且仅当,即及时等号成立.即当时，最大值为2.‎ 综上可知.‎ ‎【考点】1.二倍角；2.换元法；3.二次不等式的恒成立问题；4.导数；5.柯西不等式