中考动态几何问题探索数学

中考动态几何问题探索数学

中考动态几何问题探索 ‎2009-05-03 11:51 A.M.‎ 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。纵观近几年各地的中考题，以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 ‎ ‎　　以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究，在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动，就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动等。‎ ‎　　动态几何型试题题目灵活多变，动中有静、动静结合，能够在运动变化中发展学生空间想象能力，综合分析能力，是近几年中考命题的热点。下面以06、07年各地中考题为例，将动态几何问题进行分类分析。‎ ‎　　题型一：点动型 ‎　　点动型就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。‎ ‎　　1.单动点型 ‎　　例1（2007年辽宁十二市）如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时， △DMN也随之整体移动） ．‎ ‎　　（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；‎ ‎　　（2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎　　（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由．‎ ‎　　练习1（2007年福州市）如图，直线AC∥BD，连结AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连结PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角．）‎ ‎　　（1）当动点P落在第①部分时，求证：∠APB =∠PAC +∠PBD；‎ ‎　　（2）当动点P落在第②部分时，∠APB =∠PAC +∠PBD是否成立（直接回答成立或不成立）？‎ ‎　　（3）当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．‎ ‎　　练习2（2006年绵阳市）在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连结PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．‎ ‎　　（1）请探索BE、DF、EF这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点P在DC 的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD 的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；‎ ‎　　（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．‎ ‎　　‎ ‎　　解决此类动点几何问题常常用的是“类比发现法”，也就是通过对两个或几个相类似的数学研究对象的异同进行观察和比较，从一个容易探索的研究对象所具有的性质入手，去猜想另一个或几个类似图形所具有的类似性质，从而获得相关结论。类比发现法大致可遵循如下步骤：（1）根据已知条件，先从动态的角度去分析观察可能出现的情况。（2）结合某一相应图形，以静制动，运用所学知识（常见的有三角形全等、三角形相似等）得出相关结论。（3）类比猜想出其他情况中的图形所具有的性质。‎ ‎　　2.双动点型 ‎　　例2（2007听哈尔滨市）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F．‎ ‎　　（1）求证：；‎ ‎　　（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延长线运动，点与的运动速度相同，当动点停止运动时，另一动点A1也随之停止运动．如图2，A1F1平分∠BA1C1，交BD于点F1，过点F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，请猜想E1F1，与AB三者之间的数量关系，并证明你的猜想；‎ ‎　　（3）在（2）的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长．‎ ‎　　3.多动点型 ‎　　例3（2006年眉山市）如图，∠MON = 90°，在∠MON的内部有一个正方形AOCD，点A、C分别在射线OM、ON上，点B1是ON上的任意一点，在∠MON的内部作正方形AB1C1D1.‎ ‎　　（1）连结D1D，求证：∠ADD1 = 90°；‎ ‎　　（2）连结CC1，猜一猜，∠C1CN的度数是多少？并证明你的结论；‎ ‎　　（3）在ON上再任取一点B2，以AB2为边，在∠MON的内部作正方形AB2C2D2，观察图形，并结合（1）、（2）的结论，请你再做出一个合理的判断.‎ ‎　　练习（2007年宜昌市）如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6. △ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE，AC和BE相交于点O.‎ ‎　　（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；‎ ‎　　（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R.‎ ‎　　①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；‎ ‎　　②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似？‎ ‎　通过上述例题可以发现，双动点的题型可以转化为单动点题型求解，关键是抓准决定整道题的那个关键的动点，从而将问题转化.‎ ‎　　题型二：线动型 ‎　　1.线平移型 ‎　　例4（2007年乐山市）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边AB交于点E．我们知道，结论“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立．‎ ‎　　（1）当∠CPD=30°时，求AE的长；‎ ‎　　（2）是否存在这样的点P，使△DPC的周长等于△AEP周长的2倍？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎　　2.线旋转型 ‎　　例5（2006年衡阳市） 已知：如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1， ，对角线AC、BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC、AD于点E、F.‎ ‎　　(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；‎ ‎　　(2)试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；‎ ‎　　(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.‎ ‎　　线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还会产生面动，因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解.解决此类题的关键是要把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系.从运动变化得图形的特殊位置，进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示，这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要的.‎ ‎　　题型三：图动型图形的运动变换主要有平移、旋转和翻折这三种基本变换。主要是对给定的图形（或其一部分）实行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系，这类问题常与探究性、存在性等结合在一起，考察学生动手能力、观察能力、探索与实践能力.‎ ‎　　1.图形平移型 ‎　　例6（2007年河北省）ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．‎ ‎　　（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；‎ ‎　　（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；‎ ‎　　（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）‎ ‎　　图形平移实质上就是线的平移，线的平移会产生相似图形，所以这类问题解题的关键思路是利用相似得到待求量之间的关系。本题是一道利用三角板为背景设计的题目，求解时一定要了解三角板的特性，使求解难度降低，通过求解我们还可以看出，三角板通过适当的操作能变幻出许多精彩的中考数学试题，近两年的中考中就频频出现此类问题。‎ ‎　　2.图形旋转型 ‎　　例7（2007年临沂市）‎ ‎　　如图1，已知△ABC中，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.‎ ‎　　⑴在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N.‎ ‎　　①证明DM＝DN；‎ ‎　　②在这一过程中，直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；‎ ‎　　⑵继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎　　⑶继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请写出结论，不用证明.‎ ‎　　练习1（2006年常德市）把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．‎ ‎　　（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD∽△CDQ．此时，AP·CQ＝　　　　　　；‎ ‎　　（2）将三角板DEF由图9所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为α，其中0°＜α＜90°，问AP·CQ的值是否改变？说明你的理由；‎ ‎　　（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式．（图2，图3供解题用）‎ ‎　　练习2（2007年资阳市）如图1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.‎ ‎　　(1) 求证：BP=DP；‎ ‎　　(2) 如图2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；‎ ‎　　(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .‎ ‎　　练习3（2007年扬州市）如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O．‎ ‎　　（1）以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；‎ ‎　　（2）若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为，求旋转的角度n．‎ ‎　　解：（1）我连结的两条相交且互相垂直的线段是______和______．‎ ‎　　理由如下：‎ ‎　　图形的旋转实质就是线的旋转，也可抓住旋转图形和不变图形的交点，转化成动点问题先动后静来求解.‎ ‎　　3.图形翻折型 ‎　　例8（2007年济宁市）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE.过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ.‎ ‎　　(1)求证：△PBE∽△QAB；‎ ‎　　(2)你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；‎ ‎　　(3)如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？‎ ‎　　练习1（2007年孝感市）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：‎ ‎　　第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；‎ ‎　　第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）.‎ 图1　　　　　　　　　　　　　　　　 图2‎ ‎　　请解答以下问题：‎ ‎　　（1）如图1，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论；‎ ‎　　（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？‎ ‎　　（3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线BM′为y=kx，当∠M′BC=60°时，求k的值.此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点）？为什么？‎ 图3‎ ‎　　练习2‎ ‎（2007年台州市）如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折痕，且．‎ ‎　　（1）判断△OCD与△ADE是否相似？请说明理由；‎ ‎　　（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；‎ ‎　　（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．‎ ‎　　图形翻折实际上是轴对称变换，变换前后的对应线段相等、对应角相等。常常与角平分线、线段垂直平分线、等腰三角形的高相联系。解决旋转、平移、翻折的动态几何问题关键是结合直角三角形或全等三角形或相似三角形的有关知识，全面寻找图形运动过程中的不变量。‎ ‎　　例9（2007义乌）如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）‎ ‎　　　图1　　　　　　　　　　 　图2 　　　　　　　　　　　图3　　　　‎ ‎　　小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.‎ ‎　　（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离；‎ ‎　　（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；‎ ‎　　（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH﹦DH.‎ ‎　 ‎ ‎　图4 　　　　　　　　图5　　　　　 　　图6‎ ‎　　本题是围绕图形的翻折、平移、旋转设计的一道综合题，不但考察学生对翻折、平移、旋转的性质、三角形全等的判定和性质等基础知识的掌握程度，而且还考察了学生们的综合运用能力.‎ ‎　　解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系.‎