2018-2019学年河北省石家庄市第一中学高一上学期期中考试数学试题

2018-2019学年河北省石家庄市第一中学高一上学期期中考试数学试题

‎2018-2019学年河北省石家庄市第一中学高一上学期期中考试数学试题 第 I 卷（选择题，共 60 分）‎ 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，每小题选出答案后，请填涂在答题卡上．‎ ‎1．设集合 M = {x | ( x + 3)( x - 2) < 0, x Î R}, N = {x | 1 £ x £ 3, x Î R} ，则 M I N = A．[1, 2) ‎B．[1, 2] C． (2, 3] ‎D．[2, 3]‎ ‎2．已知元素 ( x，y) 在映射 f 下的原象是 ( x + 2 y，2 x - y) ，则元素 (4，3) 在 f 下的象是 A． (10,5) ‎‎ B． (2,1) ‎‎ C． (2，- 1)‎ ‎D． (11 2‎ ‎，‎ ‎5 5‎ ‎3．函数 y = a x + 2 ( a > 0, 且a ¹ 1) 的图象经过定点 A． (0,1) ‎B． (2,1) ‎C． (-2,1) ‎D． (-2, 0) ‎4．若 f (10x ) = x ，则 f (3) = ‎3 10‎ A． log3 10 B． lg 3 C．10 D． 3‎ ‎5．设 a = log3 2, b = log5 2, c = log 2 3 ，则 A． a > c > b ‎‎ B． b > c > a ‎‎ C． c > b > a ‎‎ D． c > a > b ‎6．函数 y = a x - 1 (a > 0, a ¹ 1) 的图象可能是 a ìï2x -1 - 1, x ³ 1,‎ ‎7．已知函数 f ( x ) = í ïî- log2‎ ‎若 f (a) = 1 ，则 f (1- a) = (3 - x ) , x < 1,‎ A． 2 B． - 2‎ ‎C．1 D． - 1‎ ‎8．已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，且在区间 (-¥,0) 上单调递增，若实数 a 满足 f (2|a -1| ) > ‎f (- ‎2 ) ，则 a 的取值范围是 A． (-¥, 1 )‎ ‎B． (-¥, 1 ) U ( 3 , +¥)‎ ‎C． ( 1 , 3 )‎ ‎D． ( 3 ,+¥)‎ ‎2 2 2‎ ‎2 2 2‎ ( ) æ 1 ö ‎9．已知函数 f x = ç ÷ è 2 ø ‎‎ - 1 - log2 x ，若 x0 是方程 f ( x ) = 0 的根，则 x0 Î æ 1 ö ‎æ 1 ö ‎æ 3 ö ‎æ 3 ö ‎2‎ A． ç 0, ÷ è ø ‎B． ç ,1÷ ‎2‎ è ø ‎C． ç1, ÷ ‎2‎ è ø ‎4 x - b ‎D． ç , 2 ÷ ‎2‎ è ø ‎10．函数 f ( x) = lg(10 x + 1) + ax 是偶函数， g ( x) = 是奇函数，则 a + b = ‎2 x A．1 B． - 1‎ ‎C． - 1 D． 1‎ ‎2 2‎ ‎11．偶函数 f ( x) = log a x - b 在 (-¥, 0) 上单调递增，则 f (a + 1) 与 f (b + 2) 的大小关系 是 A． f (a + 1) ³ C． f (a + 1) £ ‎‎ f (b + 2)‎ f (b + 2)‎ ‎‎ B． f (a + 1) < D． f (a + 1) > ‎‎ f (b + 2)‎ f (b + 2)‎ ‎12．集合 A 如果满足：① A为非空数集;② 0 Ï A ；③若对任意 x Î A 有 1 Î A ，则称 x A 是“互倒集”．给出以下数集：‎ ‎①{x Î R | x 2 + ax + 1 = 0, a Î R};‎ ‎‎ ‎② {x ‎‎ ‎3 - 1 < x < ‎‎ ‎3 + 1} ì ì2 x + 2 , x Î [0,1)ü í í ï y | y = ï ‎③‎ ï ï x + ‎5‎ ‎1 , x Î [1, 2] ‎ï ý ．其中一定是“互倒集”的个数是 ï îï ïî x ïþ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 第 II 卷（非选择题，共 90 分）‎ 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,答案填在答题纸相应的位置．‎ ‎13．已知幂函数 y = f ( x) 的图象过点 (2, 2 ) ，则它的解析式为 ．‎ ‎2‎ ‎14．计算 (3 3) 3 + log 2 (log 2 16) + (5‎ ‎- log 1‎ ‎5 3 ) 2= ．‎ ‎15. 若函数 f ( x) = log 2 (1 - ax) 在 (-¥,1) 上单调递减，则实数 a 的取值范围是 ．‎ ìï -2- x + 1, x £ 0‎ ‎16．已知函数 f ( x ) = í ，若方程 f ( x ) = log ( x + 2) (0 < a < 1) 有且仅 ïî f ( x -1) , x > 0 a 有两个不同的实数根，则实数 a 的取值范围为 ．‎ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说 明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本题满分 10 分）‎ 已知 A = {x | a £ x £ 2a + 3} ， B = {x | x > 1, 或x < -6}‎ ‎（Ⅰ）若 A I B = {x 1 < x £ 3}，求 a 的值；‎ ‎（Ⅱ）若 A U B = B ，求 a 的取值范围．‎ ‎18．（本题满分 12 分）‎ ‎1 + x 已知函数 f ( x) = log a (a > 0 , a ¹ 1) ．‎ ‎1 - x ‎（Ⅰ）求函数的定义域；‎ ‎（Ⅱ）若 a = (lg 2)2 + lg 2 × lg 50 + lg 25 ，求使的 f ( x) > 0 的 x 的取值范围．‎ ‎19．（本题满分 12 分）‎ 已知定义域为 R 的函数 f ( x ) = ‎‎ -2x + b x 1‎ ‎‎ 是奇函数．‎ ‎（Ⅰ）求 a ， b 的值；‎ ‎2 + + a ‎（Ⅱ）证明：函数在 R 上是减函数．‎ ‎20．（本题满分 12 分）‎ 如图，已知底角为 45° 的等腰梯形 ABCD ，底边 BC 长为12 ，腰长为 4 2 ，当一条垂直于底边 BC （垂足为 F ）的直线 l 从左至右移动（与梯形 ABCD 有公共点）‎ 时，直线 l 把梯形分成两部分．‎ ‎（Ⅰ）令 BF = x (0 £ x £ 12) ，试写出直线右边部分的面积 y 与 x 的函数解析式；‎ ìï f ( x ) , 0 < x < 4,‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，令 y = f ( x ) ．构造函数 g ( x ) = í ïî(6 - x) f ( x), 4 < x < 8.‎ ‎①判断函数 g ( x) 在 (4, 8) 上的单调性；‎ ‎②判断函数 g ( x) 在定义域内是否具有单调性，并说明理由．‎ ‎21．（本题满分 12 分）‎ 已知函数 f ( x) = a x -a + 1 (a > 0 且a ¹ 1) ，恒过定点 (2, 2) ．‎ ‎（Ⅰ）求实数 a 的值；‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将函数 f ( x) 的图象向下平移 1 个单位，再向左平移 a 个 单位后得到函数 g ( x) ，设函数 g ( x) 的反函数为 h( x) ，直接写出 h( x) 的解析式；‎ ‎（ Ⅲ ） 对 于 定 义 在 (0, 4) 上 的 函 数 ‎‎ y = h( x) ， 若 在 其 定 义 域 内 ， 不 等 式 ‎[h( x) + 2]2 > h( x)m -1 恒成立，求实数 m 的取值范围．‎ ‎22．（本题满分 12 分）‎ 已知二次函数 f ( x ) = x 2 + bx + c 的图像经过点 (1,13 ) ，且满足 f ( - 2) = ‎（Ⅰ）求 f ( x ) 的解析式；‎ ‎‎ f (1) ，‎ ‎（Ⅱ）已知 t < 2, g ( x ) = [ f ( x ) - x 2 - 13 ]× | x | ，求函数 g ( x ) 在[t ,2 ] 的最大值 和最小值；‎ ‎（Ⅲ）函数 y = ‎‎ f ( x ) 的图像上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是 一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ 石家庄市第一中学 ‎2018—2019学年度第一学期期中考试高一年级期中试题 ‎ ‎ 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：‎ ABCBD DBCBD DB 二、选择题： ‎ ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题：‎ ‎17. ，经检验符合题意. …………5分 ‎18.（1）由解得，所以函数的定义域为.……4分 ‎（2）‎ ‎，……8分 ‎，即，‎ ‎，解这个不等式得……12分 ‎19.（1）∵是上的奇函数，∴，即，解得，……2分 从而有，又知，解得．……4分 当，时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴是奇函数．从而，符合题意．……6分 ‎（2）证明：由（1）知，设，‎ 则，……9分 ‎∵，∴，∴，即．‎ ‎∴函数在上为减函数．……12分 ‎20.（1）过点分别作，垂足分别是.因为等腰梯形的底角为，腰长为，所以,又，所以.‎ ‎ 当点在上时，即时， ；……1分 ‎ 当点在上时，即时， ； ……2分 ‎ 当点在上时，即时， .……3分 所以，函数解析式为 ……5分 ‎（2） ……6分 ‎① 由二次函数的性质可知，函数在上是减函数. ……8分 ‎ ‎② 虽然在和单调递减，……10分 但是，∴.……11分 因此函数在定义域内不具有单调性.……12分 ‎21.解：（1）由已知．　 　…………2分 ‎ （2）　‎ ‎　　 　……4分 ‎（3）在恒成立 设 且 ‎ ‎ 即：，在时恒成立. …6分 令 解得： ……8分 或解得： ……10分 综上：实数的取值范围为 ……12分 ‎ 22.解：（1）因为二次函数 ‎ 所以二次函数的对称轴方程为，即 所以......................1分 又因为二次函数的图像经过点 所以，解得......................2分 因此，函数的解析式为......................3分 （2） 由（1）知，......................4分 所以，当时，......................5分 当，‎ 当，‎ 当，......................8分 （3） 如果函数的图像上存在点符合要求其中 则，从而 即......................10注意到43是质数，且，‎ 所以有，解得.....................11‎ 因此，函数的图像上存在符合要求的点，它的坐标为........12分