数学卷·2018届河南省三门峡市灵宝一中高二下学期3月月考数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届河南省三门峡市灵宝一中高二下学期3月月考数学试卷（文科） （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年河南省三门峡市灵宝一中高二（下）3月月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．复数4﹣3i虚部为（　　）‎ A．﹣3i B．﹣3 C．3i D．3‎ ‎2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（　　）‎ A．方程x2+ax+b=0没有实根 B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根 C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根 D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根 ‎3．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（　　）‎ ‎①y=cosx（x∈R）是三角函数；‎ ‎②三角函数是周期函数；‎ ‎③y=cosx（x∈R）是周期函数．‎ A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①‎ ‎4．一位母亲记录了儿子从3岁到9岁的身高，数据如表，由此建立的身高与年龄的回归模型为．以此模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（　　）‎ 年龄/岁 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 身高/cm ‎94.8‎ ‎104.2‎ ‎108.7‎ ‎117.8‎ ‎124.3‎ ‎130.8‎ ‎139.0‎ A．一定是145.83cm B．在145.83cm以上 C．在145.83cm左右 D．在145.83cm以下 ‎5．复数4﹣3a﹣a2i与复数a2+4ai相等，则实数a的值为（　　）‎ A．1 B．1或﹣4 C．﹣4 D．0或﹣4‎ ‎6．如图所示的程序框图输出的结果是（　　）‎ A．5 B．20 C．24 D．60‎ ‎7．已知f （x）=cosx，且f1（x）=f'（x），fn+1（x）=fn'（x）（n∈N*），则f2017（x）=（　　）‎ A．﹣sin x B．﹣cos x C．sin x D．cos x ‎8．对具有线性相关关系的变量x，y测得一组数据如下表：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ 根据上表，利用最小二乘法得他们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为（　　）‎ A．210 B．211.5 C．212 D．212.5‎ ‎9．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（　　）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎11．类比实数的运算性质猜想复数的运算性质：‎ ‎①“mn=nm”类比得到“z1z2=z2z1”；‎ ‎②“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“|z1•z2|=|z1|•|z2|”；‎ ‎③“|x|=1⇒x=±1”类比得到“|z|=1⇒z=±1”‎ ‎④“|x|2=x2”类比得到“|z|2=z2”‎ 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．0‎ ‎　‎ ‎[选做题]‎ ‎12．直线（t为参数）被曲线所截的弦长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ ‎[选做题]‎ ‎13．不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤2a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） C．[2，+∞） D．a∈R ‎　‎ 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分．‎ ‎14．若复数z满足（2﹣i）z=4+3i（i为虚数单位），则z=　　．‎ ‎15．观察下列等式 ‎（1+x+x2）1=1+x+x2，‎ ‎（1+x+x2）2=1+2x+3x2+2x3+x4，‎ ‎（1+x+x2）3=1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6，‎ ‎（1+x+x2）4=1+4x+10x2+16x3+19x4+16x5+10x6+4x7+x8，‎ ‎…‎ 若（1+x+x2）6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12，则a2=　　．‎ ‎16．下面的结论：‎ ‎①若△ABC是锐角三角形，且A为最大角，则A≥60°；‎ ‎②已知实数a，b，“a＞1，且b＞1”等价于“a+b＞1，且ab＞1”‎ ‎③对于任意实数a，b，式子|a+b|，|a﹣b|，|1﹣a|中至少有一个不小于；‎ ‎④设SA，SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，则AC与平面SOB不垂直．‎ 其中正确的有　　（请把所有正确结论的序号都填上）‎ ‎　‎ ‎[选做题]‎ ‎17．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为　　．‎ ‎　‎ ‎[选做题]‎ ‎18．设a，b，m，n∈R，且a2+b2=3，ma+nb=3，则的最小值为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎19．已知复数z=（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i，当实数m为何值时，‎ ‎（1）z为实数；（2）z为虚数；（3）z为纯虚数．‎ ‎20．某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．‎ ‎（1）应收集多少位女生的样本数据？‎ ‎（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．‎ ‎（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 附：K2=．‎ ‎21．（1）用分析法证明：‎ ‎（2）已知a，b，c∈R，a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0．求证：a，b，c，全为正数．‎ ‎22．（1）在Rt ABC 中，CA CB，斜边AB 上的高为 h，则，类比此性质，如图，在四面体 PABC中，若 PA，PB，PC两两垂直，底面ABC上的高为 h，可猜想得到的结论为　　．‎ ‎（2）证明（1）问中得到的猜想．‎ ‎23．某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：‎ xi（月）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ yi（千克）‎ ‎0.5‎ ‎0.9‎ ‎1.7‎ ‎2.1‎ ‎2.8‎ ‎（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程．‎ ‎（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）‎ ‎（参考公式： =， =﹣）‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎24．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为：ρ=，点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈[0，2π]．‎ ‎（1）求点P轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）求点P到直线l距离的最大值．‎ ‎　‎ ‎[不等式选讲]‎ ‎25．已知函数f（x）=|x+7|+|x﹣1|，对任意实数x，不等式f（x）≥m恒成立．‎ ‎（1）求实数m的取值范围；‎ ‎（2）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2m﹣12．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省三门峡市灵宝一中高二（下）3月月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．复数4﹣3i虚部为（　　）‎ A．﹣3i B．﹣3 C．3i D．3‎ ‎【考点】复数的基本概念．‎ ‎【分析】根据复数的概念进行求解即可．‎ ‎【解答】解：在复数4﹣3i中实部是4，虚部是﹣3，‎ 故选：B ‎　‎ ‎2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（　　）‎ A．方程x2+ax+b=0没有实根 B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根 C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根 D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根 ‎【考点】反证法与放缩法．‎ ‎【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．‎ ‎【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，‎ ‎∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（　　）‎ ‎①y=cosx（x∈R）是三角函数；‎ ‎②三角函数是周期函数；‎ ‎③y=cosx（x∈R）是周期函数．‎ A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①‎ ‎【考点】演绎推理的基本方法．‎ ‎【分析】根据三段论”的排列模式：“大前提”→“小前提”⇒“结论”，分析即可得到正确的次序．‎ ‎【解答】解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：‎ ‎①y=cosx（（x∈R ）是三角函数是“小前提”；‎ ‎②三角函数是周期函数是“大前提”；‎ ‎③y=cosx（（x∈R ）是周期函数是“结论”；‎ 故“三段论”模式排列顺序为②①③‎ 故选B ‎　‎ ‎4．一位母亲记录了儿子从3岁到9岁的身高，数据如表，由此建立的身高与年龄的回归模型为．以此模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（　　）‎ 年龄/岁 ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 身高/cm ‎94.8‎ ‎104.2‎ ‎108.7‎ ‎117.8‎ ‎124.3‎ ‎130.8‎ ‎139.0‎ A．一定是145.83cm B．在145.83cm以上 C．在145.83cm左右 D．在145.83cm以下 ‎【考点】回归分析的初步应用．‎ ‎【分析】根据所给的身高与年龄的回归模型，可以估计孩子在10岁时可能的身高，这是一个预报值，不是确定的值，在叙述时注意不要出错．‎ ‎【解答】解：∵身高与年龄的回归模型为．‎ ‎∴可以预报孩子10岁时的身高是．‎ ‎=7.19×10+73.93=145.83‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．复数4﹣3a﹣a2i与复数a2+4ai相等，则实数a的值为（　　）‎ A．1 B．1或﹣4 C．﹣4 D．0或﹣4‎ ‎【考点】复数相等的充要条件．‎ ‎【分析】利用复数相等的条件，推出方程组，求出a的值即可．‎ ‎【解答】解：因为a是实数，复数4﹣3a﹣a2i 与复数a2+4ai 相等，‎ 所以解得a=﹣4；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．如图所示的程序框图输出的结果是（　　）‎ A．5 B．20 C．24 D．60‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S=5×4的值，计算后易给出答案．‎ ‎【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，‎ 再根据流程图所示的顺序，可知：‎ 该程序的作用是利用循环计算并输出S=5×4的值，‎ ‎∵S=5×4=20‎ 故选B ‎　‎ ‎7．已知f （x）=cosx，且f1（x）=f'（x），fn+1（x）=fn'（x）（n∈N*），则f2017（x）=（　　）‎ A．﹣sin x B．﹣cos x C．sin x D．cos x ‎【考点】导数的运算．‎ ‎【分析】根据题意，依次计算f1（x）、f2（x）、f3（x）、f4（x）的值，分析可得fn+4（x）=fn（x），即fn（x）的周期为4，进而分析可得f2017（x）=f1（x），即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，f （x）=cosx，‎ 则f1（x）=f'（x）=﹣sinx，‎ f2（x）=f1'（x）=﹣cosx，‎ f3（x）=f2'（x）=sinx，‎ f4（x）=f3'（x）=cosx，‎ ‎…‎ fn+4（x）=fn（x），即fn（x）的周期为4，‎ 则f2017（x）=f1（x）=﹣sinx；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．对具有线性相关关系的变量x，y测得一组数据如下表：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ 根据上表，利用最小二乘法得他们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为（　　）‎ A．210 B．211.5 C．212 D．212.5‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】求出样本中心，然后确定回归直线方程，即可求解预测当x=20时，y的估计值．‎ ‎【解答】解：由题意可知： ==5，‎ ‎==54．‎ 因为回归直线方程经过样本中心，所以54=10.5×5+， =1.5，‎ 回归直线方程为： =10.5x+1.5，‎ 当x=20时，y的估计值为：10.5×20+1.5=211.5．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】进行简单的合情推理．‎ ‎【分析】观察图形知，四个图形中的三条线段与圆共有3个交点．‎ ‎【解答】解：观察图形知：第一、二、三、四个图形中，都是由圆和三条线段组成，且这三条线段与圆共有3个交点．观察选项，只有B选项符合题意．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】独立性检验的应用．‎ ‎【分析】在频率等高条形图中，与相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：在频率等高条形图中，与相差很大时，我们认为两个分类变量有关系，‎ 四个选项中，即等高的条形图中x1，x2‎ 所占比例相差越大，则分类变量x，y关系越强，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．类比实数的运算性质猜想复数的运算性质：‎ ‎①“mn=nm”类比得到“z1z2=z2z1”；‎ ‎②“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“|z1•z2|=|z1|•|z2|”；‎ ‎③“|x|=1⇒x=±1”类比得到“|z|=1⇒z=±1”‎ ‎④“|x|2=x2”类比得到“|z|2=z2”‎ 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．0‎ ‎【考点】类比推理．‎ ‎【分析】根据类比的性质结合复数的基本运算分别进行判断即可．‎ ‎【解答】解：设z1=a+bi，z2=c+di，z=x+yi，‎ ‎①“mn=nm”类比得到“z1z2=z2z1”；正确，∵z1z2=（a+bi）（c+di）=ac﹣bd+（ad+bc）i，z2z1=ac﹣bd+（ad+bc）i，∴z1z2=z2z1成立；‎ ‎②“|m•n|=|m|•|n|”类比得到“|z1•z2|=|z1|•|z2|”；正确，∵z1z2=（a+bi）（c+di）=ac﹣bd+（ad+bc）i，‎ 则|z1z2|==，|z1|•|z2|=•=，则“|z1•z2|=|z1|•|z2|”；成立，‎ ‎③“|x|=1⇒x=±1”类比得到“|z|=1⇒z=±1”错误，当z=cosθ+isinθ时，也满足|z|=1，故③错误，‎ ‎④“|x|2=x2”类比得到“|z|2=z2”错误比如当x=i时，不成立，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎[选做题]‎ ‎12．直线（t为参数）被曲线所截的弦长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，并求出圆心到直线的距离d，再利用关系：l=2即可求出弦长l．‎ ‎【解答】解：直线（t为参数）化为普通方程：直线3x+4y+1=0．‎ ‎∵曲线，展开为ρ=cosθ﹣sinθ，∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，化为普通方程为x2+y2=x﹣y，即，‎ ‎∴圆心C，．‎ 圆心C到直线距离d==，‎ ‎∴直线被圆所截的弦长=．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎[选做题]‎ ‎13．不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤2a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） C．[2，+∞） D．a∈R ‎【考点】绝对值三角不等式；其他不等式的解法．‎ ‎【分析】令f（x）=|x+3|﹣|x﹣1|，写出分段函数，求得f（x）的最大值4，由2a≥4求得实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：令f（x）=|x+3|﹣|x﹣1|=，‎ 作出图象如图，‎ ‎∴f（x）≤4，‎ ‎∵不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤2a对任意实数x恒成立，‎ ‎∴2a≥4，得a≥2．‎ ‎∴实数a的取值范围是[2，+∞）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分．‎ ‎14．若复数z满足（2﹣i）z=4+3i（i为虚数单位），则z=　1+2i　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】由（2﹣i）z=4+3i，得，再利用复数代数形式的乘除运算化简则答案可求．‎ ‎【解答】解：由（2﹣i）z=4+3i，‎ 得=，‎ 故答案为：1+2i．‎ ‎　‎ ‎15．观察下列等式 ‎（1+x+x2）1=1+x+x2，‎ ‎（1+x+x2）2=1+2x+3x2+2x3+x4，‎ ‎（1+x+x2）3=1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6，‎ ‎（1+x+x2）4=1+4x+10x2+16x3+19x4+16x5+10x6+4x7+x8，‎ ‎…‎ 若（1+x+x2）6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12，则a2=　21　．‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据已知条件中的等式，分析等式两边的系数及指数部分与式子编号之间的关系，易得等式右边展开式中的第三项分别为：1，3，6，10，…，归纳后即可推断出a2的等式．‎ ‎【解答】解：由已知中的式了，我们观察后分析：‎ 等式右边展开式中的第三项分别为：1，3，6，10，…，‎ 即：1，1+2.1+2+3，1+2+3+4，…‎ 根据已知可以推断：‎ 第n（n∈N*）个等式中a2为：1+2+3+4+…+n=，‎ n=6时， =21，‎ 故答案为：21‎ ‎　‎ ‎16．下面的结论：‎ ‎①若△ABC是锐角三角形，且A为最大角，则A≥60°；‎ ‎②已知实数a，b，“a＞1，且b＞1”等价于“a+b＞1，且ab＞1”‎ ‎③对于任意实数a，b，式子|a+b|，|a﹣b|，|1﹣a|中至少有一个不小于；‎ ‎④设SA，SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，则AC与平面SOB不垂直．‎ 其中正确的有　①③④　（请把所有正确结论的序号都填上）‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】①根据不等式的性质进行判断，‎ ‎②根据不等式的性质进行判断，‎ ‎③利用反证法结合不等式的性质进行判断，‎ ‎④利用反证法结合线面垂直的性质进行判断．‎ ‎【解答】解：①若△ABC是锐角三角形，且A为最大角，则A≥B，A≥C，‎ 则180°=A+B+C≤3A，则A≥60°正确，故①正确，‎ ‎②已知实数a，b，“a＞1，且b＞1”等价于“a+b＞1，且ab＞1”错误，‎ 当a=4，b=，满足a+b＞1，且ab＞1，但＞1，且b＞1不成立，故②错误，‎ ‎③假设|a+b|，|a﹣b|，|1﹣a|中都小于，‎ 则﹣＜a+b＜（1）‎ ‎﹣＜a﹣b＜（2）‎ ‎（1）+（2）得﹣1＜2a＜1，‎ 则﹣＜a＜（3）‎ 又﹣＜1﹣a＜（4），‎ ‎（3）+（4）得﹣1＜1＜1，矛盾，则假设不成立，即原命题成立，故③正确，‎ ‎④假设AC⊥平面SOB，‎ 则AC⊥SB，AC⊥OB，过C作CD⊥SO于D，‎ ‎∴CD∥OB，CD⊥AC，即AC与圆相切，与A是圆O上一点矛盾，即假设不成立，则原命题AC与平面SOB不垂直成立，故④正确，‎ 故答案为：①③④‎ ‎　‎ ‎[选做题]‎ ‎17．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为　（2，﹣4）　．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，把代入可得直角坐标方程．曲线C2的参数方程为（t为参数），化为普通方程：y2=8x．联立解出即可．‎ ‎【解答】解：曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，化为直角坐标方程：x+y+2=0．‎ 曲线C2的参数方程为（t为参数），化为普通方程：y2=8x．‎ 联立，解得，‎ 则C1与C2交点的直角坐标为（2，﹣4）．‎ 故答案为：（2，﹣4）．‎ ‎　‎ ‎[选做题]‎ ‎18．设a，b，m，n∈R，且a2+b2=3，ma+nb=3，则的最小值为　　．‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】根据柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad=bc取等号，问题即可解决．‎ ‎【解答】解：由柯西不等式得，‎ ‎（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）‎ ‎∵a2+b2=3，ma+nb=3，‎ ‎∴m2+n2≥3‎ ‎∴的最小值为：，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎19．已知复数z=（m2+5m+6）+（m2﹣2m﹣15）i，当实数m为何值时，‎ ‎（1）z为实数；（2）z为虚数；（3）z为纯虚数．‎ ‎【考点】复数的基本概念．‎ ‎【分析】（1）复数的虚部为0，z为实数，求出m的值即可；‎ ‎（2）复数的虚部不为0，z为虚数，求出m即可；‎ ‎（3）复数的实部为0，虚部不为0，z为纯虚数，求出m的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）若z为实数，则m2﹣2m﹣15=0，解得m=﹣3或m=5；‎ ‎（2）若z为虚数，则m2﹣2m﹣15≠0，解得m≠﹣3或m≠5；‎ ‎（3）若z为纯虚数，则解得m=﹣2．‎ ‎　‎ ‎20．某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．‎ ‎（1）应收集多少位女生的样本数据？‎ ‎（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．‎ ‎（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 附：K2=．‎ ‎【考点】独立性检验．‎ ‎【分析】（1）根据频率分布直方图进行求解即可．‎ ‎（2）由频率分布直方图先求出对应的频率，即可估计对应的概率．‎ ‎（3）利用独立性检验进行求解即可 ‎【解答】解：（1）300×=90，所以应收集90位女生的样本数据．‎ ‎（2）由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）=0.75，‎ 所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．‎ ‎（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间 不超过4小时 ‎45‎ ‎30‎ ‎75‎ 每周平均体育运动时间 超过4小时 ‎165‎ ‎60‎ ‎225‎ 总计 ‎210‎ ‎90‎ ‎300‎ 结合列联表可算得K2==≈4.762＞3.841‎ 所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．‎ ‎　‎ ‎21．（1）用分析法证明：‎ ‎（2）已知a，b，c∈R，a+b+c＞0，ab+bc+ca＞0，abc＞0．求证：a，b，c，全为正数．‎ ‎【考点】不等式的证明．‎ ‎【分析】（1）寻找使不等式成立的充分条件，利用同解变形，转化证明42＞40．推出结论．‎ ‎（2）要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰．于是考虑采用反证法．假设a，b，c不全是正数，这时需要逐个讨论a，b，c不是正数的情形．但注意到条件的特点（任意交换a，b，c的位置不改变命题的条件），我们只要讨论其中一个数（例如a），其他两个数（例如b，c）与这种情形类似．‎ ‎【解答】证明：（1）要证：，只要证 6+7+2＞8+5+4，‎ 只要证＞2，即证 42＞40． 而 42＞40 显然成立，‎ 故原不等式成立．‎ ‎（2）假设a，b，c不全是正数，即其中至少有一个不是正数．‎ 不妨先设a≤0．下面分a=0和a＜0两种情况讨论．‎ 如果a=0，则abc=0，与abc＞0矛盾，所以a=0不可能．‎ 如果a＜0，那么由abc＞0可得 bc＜0．‎ 又因为a+b+c＞0，所以b+c＞﹣a＞0．‎ 于是ab+bc+ca=a（b+c）+bc＜0，‎ 这和已知ab+bc+ca＞0相矛盾．‎ 因此，a＜0也不可能．‎ 综上所述，a＞0．‎ 同理可证b＞0，c＞0．‎ 所以原命题成立．‎ ‎　‎ ‎22．（1）在Rt ABC 中，CA CB，斜边AB 上的高为 h，则，类比此性质，如图，在四面体 PABC中，若 PA，PB，PC两两垂直，底面ABC上的高为 h，可猜想得到的结论为　=++　．‎ ‎（2）证明（1）问中得到的猜想．‎ ‎【考点】类比推理．‎ ‎【分析】立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面⇔空间，点⇔点或直线，直线⇔直线或平面，平面图形⇔平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵在平面上的性质，若Rt△ABC的斜边AB上的高为h，则有 =+．”‎ 我们类比到空间中，可以类比推断出：‎ 在四面体P﹣ABC中，若PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上的高为h，有： =++‎ ‎（2）∵PA、PB、PC两两互相垂直，‎ ‎∴PA⊥平面PBC．‎ 设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，PA，PB，PC分别为a，b，c，‎ 由已知有：PD=，h=PO=，‎ ‎∴h2=，即=++．‎ ‎　‎ ‎23．某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究，在饲料充足的前提下，兴趣小组对饲养时间x（单位：月）与这种鱼类的平均体重y（单位：千克）得到一组观测值，如下表：‎ xi（月）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ yi（千克）‎ ‎0.5‎ ‎0.9‎ ‎1.7‎ ‎2.1‎ ‎2.8‎ ‎（1）在给出的坐标系中，画出关于x，y两个相关变量的散点图．‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程．‎ ‎（3）预测饲养满12个月时，这种鱼的平均体重（单位：千克）‎ ‎（参考公式： =， =﹣）‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】（1）利用所给数据，可得散点图；‎ ‎（2）利用公式，计算回归系数，即可得到回归方程；‎ ‎（3）x=12代入回归方程，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）散点图如图所示…‎ ‎（2）由题设=3， =1.6，…‎ ‎∴===0.58，‎ a=﹣=﹣0.14…‎ 故回归直线方程为y=0.58x﹣0.14…‎ ‎（3）当x=12时，y=0.58×12﹣0.14=6.82…‎ 饲养满12个月时，这种鱼的平均体重约为6.82千克．…‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎24．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为：ρ=，点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈[0，2π]．‎ ‎（1）求点P轨迹的直角坐标方程；‎ ‎（2）求点P到直线l距离的最大值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；轨迹方程．‎ ‎【分析】（1）设点P（x，y），则，由此能求出点P的轨迹的直角坐标方程．‎ ‎（2）由已知得．从而直线l的直角坐标方程为，求出圆心到直线的距离，得点P所在的圆与直线l相离，由此能求出点P到直线l距离的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）设点P（x，y），∵P（2cosα，2sinα+2），‎ ‎∴，且参数α∈[0，2π]，‎ 所以点P的轨迹的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=4．…‎ ‎（2）∵ρ=，∴=5，‎ ‎∴，即．‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为．…‎ 由（1）知点P的轨迹方程为x2+（y﹣2）2=4，是圆心为（0，2），半径为2的圆．‎ 圆心到直线的距离d==4，‎ 点P所在的圆与直线l相离，…‎ ‎∴点P到直线l距离的最大值4+2=6．…‎ ‎　‎ ‎[不等式选讲]‎ ‎25．已知函数f（x）=|x+7|+|x﹣1|，对任意实数x，不等式f（x）≥m恒成立．‎ ‎（1）求实数m的取值范围；‎ ‎（2）当m取最大值时，解关于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2m﹣12．‎ ‎【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（1）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值，再根据f（x）≥m恒成立，可得m的范围．‎ ‎（2）原不等式即|x﹣3|≤2x+4，分类讨论求得它的解集．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=|x+7|+|x﹣1|≥|x+7﹣（x﹣1）|=8，‎ 不等式f（x）≥m恒成立，‎ 可得8≥m，‎ 即 m≤8．‎ ‎（2）由（1）知m的最大值为8，‎ ‎∴原不等式就是|x﹣3|﹣2x≤4，即|x﹣3|≤2x+4．‎ 当x＜3时，有3﹣x≤2x+4，‎ 解得：x≥﹣，‎ ‎∴﹣≤x＜3；‎ 当x≥3时，有x﹣3≤2x+4，‎ 解得：x≥﹣7，‎ ‎∴x≥3；‎ 所以不等式的解集为{x|x≥﹣}．‎