贵州省黔南布依族苗族自治州都匀市第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

贵州省黔南布依族苗族自治州都匀市第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

都匀一中2019—2020学年度第一学期高二年级半期考试理科数学试卷 一、单选题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.下列命题正确的是（　　）‎ A. 经过三点确定一个平面 B. 经过一条直线和一个点确定一个平面 C. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D. 四边形确定一个平面 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据确定一个平面的公理及推论即可选出.‎ ‎【详解】A选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.‎ ‎2.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对称规律求结果.‎ ‎【详解】因为点关于平面的对称点是，‎ 所以点关于平面的对称点是 故选:B ‎【点睛】本题考查空间直角坐标系对称关系，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎3.空间中异面直线a与b所成角的取值范围是（ ）‎ A. [0，π] B. （0，π）‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据异面直线所成角定义，直接求出．‎ ‎【详解】根据异面直线所成角定义，空间中异面直线a与b所成角的取值范围是，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】考查异面直线所成角的范围，基础题．‎ ‎4.已知直线的方程为，则它的斜率为（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 不存在 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化直线方程形式为斜截式，则可得结果.‎ ‎【详解】‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查斜截式方程，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎5.若直线的倾斜角满足，则其斜率k的范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据斜率与倾斜角关系求解.‎ ‎【详解】因为直线的倾斜角满足，‎ 所以斜率k的范围为 故选:C ‎【点睛】本题考查斜率与倾斜角关系，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎6.设直线，，下列命题正确的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线位置关系确定方程对应系数关系，再判断选择.‎ ‎【详解】直线，，‎ 则当时但,‎ 当时但重合,‎ 所以A,B错误，‎ 当时,所以C错误，‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查直线位置关系，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎7.空间任意一点O和不共线的三点E，M，N满足，则（ ）‎ A. 四点O、E、M、N必共面 B. 四点P、E、M、N必共面 C. 四点O、P、M、N必共面 D. 五点O、P、、M、N必共面 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据条件化为向量基底表示，再根据向量基本定理确定选项.‎ ‎【详解】‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查向量基底表示，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎8.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线和粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 画出三视图对应的原图，根据三棱锥的体积公式计算出体积.‎ ‎【详解】画出三视图对应的原图如下图所示三棱锥.故体积为，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查三棱锥的体积计算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎9.如图，二面角等于120°，A、B是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于（ ）‎ A. B. C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量的模以及向量数量积求结果.‎ ‎【详解】因为二面角等于120°，，，所以 故选:B ‎【点睛】本题考查二面角定义、向量的模以及向量数量积，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎10.设有直线m、n和平面、.下列四个命题中，正确的是( )‎ A. 若m∥,n∥,则m∥n B. 若m,n,m∥,n∥,则∥‎ C. 若，m,则m D. 若，m，m,则m∥‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】当两条直线同时与一个平面平行时，两条直线之间的关系不能确定，故A不正确，‎ B选项再加上两条直线相交的条件，可以判断面与面平行，故B不正确，‎ C选项再加上m垂直于两个平面的交线，得到线面垂直，故C不正确，‎ D选项中由α⊥β，m⊥β，m，可得m∥α，故是正确命题，‎ 故选D ‎11.设直线和，则m和n所成角（锐角）的平分线所在的直线方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据倾斜角关系以及二倍角正切公式求解.‎ ‎【详解】设m倾斜角为，则 因为倾斜角为，则m和n所成角（锐角）的平分线所在的直线倾斜角为，‎ m和n所成角（锐角）的平分线所在的直线过m和n交点 因为（负值舍去）‎ 因此所求直线方程为 故选:A ‎【点睛】本题考查倾斜角、直线方程以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎12.设，动直线过定点A，动直线过定点B，若直线与相交于点P（异于点A，B），则周长的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定A,B坐标，再根据两直线位置关系确定形状，最后根据三角函数性质求最值.‎ ‎【详解】因为动直线过定点A，动直线过定点B，‎ 所以 因为，所以与垂直，所以为直角三角形，‎ 设，则周长为 当且仅当(k∈Z)时取等号 故选:D ‎【点睛】本题考查两直线位置关系、直线过定点以及利用三角函数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.过点且在两轴上的截距相等的直线方程为__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎ 当所求直线过原点时，设所求直线方程，把点代入直线，‎ 即，解得，即所求直线方程，即；‎ 当所求直线不过原点时，设所求直线方程，把点代入直线，‎ 即，解得，即所求直线方程，‎ 综上所求直线的方程为或.‎ 点睛：本题考查了直线方程的求解问题，其中解答中根据所求直线在两轴上的截距相等，分别设出相应的直线方程和是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，同时正确理解直线的截距相等是解答本题的难点.‎ ‎14.设，是两个不共线的空间向量，若，，，且A，C，D三点共线，则实数k的值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据共线列关系式，解得结果.‎ ‎【详解】因为A，C，D三点共线，‎ 所以 因为 所以 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查根据向量共线求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎15.长方体中，，，直线和的夹角的余弦值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立空间直角坐标系，设出各点坐标，利用向量数量积求，即得和夹角余弦值.‎ ‎【详解】以D坐标原点，DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则 所以 因为 所以直线和的夹角的余弦值为 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查利用向量求线线角，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎16.已知二次函数在区间上至少有一个零点，则的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将函数看成关于的直线方程，再根据点到直线距离公式表示最小值函数，最后根据函数单调性求最值.‎ ‎【详解】‎ 所以 令 因为在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查点到直线距离公式、利用函数单调性求最值以及函数与方程，考查综合分析求解能力，属难题.‎ 三、解答题（请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知直线经过两条直线和的交点，直线.‎ ‎（1）若，求的直线方程；‎ ‎（2）若，求的直线方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先解方程组得交点坐标，再根据平行设所求方程，代入交点坐标得结果，‎ ‎（2）先解方程组得交点坐标，再根据垂直设所求方程，代入交点坐标得结果.‎ ‎【详解】（1）由，得，‎ ‎∴与交点为. ‎ 设与直线平行的直线为，‎ 将交点代入，∴.‎ ‎∴所求直线方程为；‎ ‎（2）设与直线垂直的直线为 ，‎ 则，解得，‎ ‎∴所求直线方程为 .‎ ‎【点睛】本题考查直线交点以及根据直线平行于垂直求直线方程，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎18.图1是由矩形和菱形组成的一个平面图形，其中， ，将其沿折起使得与重合，连结，如图2.‎ ‎（1）证明图2中的四点共面，且平面平面；‎ ‎（2）求图2中的四边形的面积.‎ ‎【答案】(1)见详解；(2)4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)因为折纸和粘合不改变矩形，和菱形内部的夹角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得证.因为是平面垂线，所以易证.(2) 欲求四边形的面积，需求出所对应的高，然后乘以即可．‎ ‎【详解】(1)证：，，又因为和粘在一起.‎ ‎，A，C，G，D四点共面.‎ 又.‎ 平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得证.‎ ‎(2)取的中点，连结.因为，平面BCGE，所以平面BCGE，故，‎ 由已知，四边形BCGE是菱形，且得，故平面DEM．‎ 因此．‎ 在中，DE=1，，故．‎ 所以四边形ACGD的面积为4.‎ ‎【点睛】很新颖的立体几何考题．首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的．再者粘合后的多面体不是直棱柱，最后将求四边形的面积考查考生的空间想象能力.‎ ‎19.中，，边上的高所在直线的方程为，边上的中线所在直线的方程为.‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据垂直关系得直线的斜率，再根据点斜式得结果，‎ ‎（2）分别解方程组求交点B坐标，以及C坐标，最后根据两点坐标求直线斜率，根据点斜式求直线方程.‎ ‎【详解】（1）由已知得直线的斜率为2 ，‎ ‎∴边所在的直线方程为，‎ 即；‎ ‎（2）由∴，‎ 设，∴ , ‎ ‎ ，由点斜式方程得边，‎ 化简得,‎ ‎∴边所在直线的方程为：.‎ ‎【点睛】本题考查直线交点以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎20.如图，在正四棱柱中，，，E，M，N分别是，，的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先取的中点F，根据三角形中位线性质得线线平行，最后根据线面平行判定定理得结果，‎ ‎（2）先根据计算得，再根据正四棱柱性质得，从而确定为二面角平面角，最后解三角形得结果.‎ ‎【详解】（1）在正四棱柱中，E，M，N分别是，，的中点，取的中点F，连接，，‎ ‎∴，，，‎ ‎∵平面，平面，，‎ ‎∴平面 ；‎ ‎（2）在正四棱柱中，‎ 平面，所以 ‎∵M为中点，‎ ‎，，∴，‎ 又，，‎ 连接，又，‎ ‎∴为二面角的平面角，‎ 在中，，，‎ 所以的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行判定定理以及求二面角，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.‎ ‎21.一般地，对于直线（A，B不全为0）及直线外一点，我们有点到直线（A，B不全为0）的距离公式为：.‎ ‎（1）证明上述点到直线（A，B不全为0）的距离公式；‎ ‎（2）设P为抛物线上的一点，P到直线的距离为d，求d的最小值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先过分别作x轴，y的垂线交直线于M，N点，再利用等面积法求P到直线的距离，即证得结果.‎ ‎（2）先根据点到直线距离公式表示d，再利用二次函数性质求最值.‎ ‎【详解】（1）过分别作x轴，y的垂线交直线于M，N点，‎ 设P到直线的距离为d，则 ‎，，‎ ‎， ，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由三角形面积公式可知：，‎ ‎∴，‎ 可证明，当或时仍适用 ；‎ ‎（2）设，由点到直线的距离公式得，‎ ‎，‎ 所求d的最小值为 .‎ ‎【点睛】本题考查点到直线距离公式证明与应用以及利用二次函数性质求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎22.如图，直三棱柱中，，，为的中点.‎ ‎（I）若为上的一点，且与直线垂直，求的值；‎ ‎（Ⅱ）在（I）的条件下，设异面直线与所成的角为45°，求直线与平面成角的正弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）取中点,连接，证明 ，即可说明，由底面为正方形，可求得;‎ ‎（Ⅱ）以为坐标原点，分别以为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及平面的法向量为，根据线面所成角的正弦值的公式即可求解．‎ ‎【详解】（Ⅰ）证明：取中点,连接,有,‎ 因为，所以,‎ 又因为三棱柱为直三棱柱，‎ 所以,‎ 又因为,‎ 所以， ‎ 又因为 所以 又因为,平面,平面,‎ 所以，又因平面,‎ 所以,‎ 因为，‎ 所以, ‎ 连接,设，因为为正方形，‎ 所以,又因为 所以,‎ 又因为为的中点，‎ 所以为的中点,‎ 所以. ‎ ‎（Ⅱ）‎ 如图以为坐标原点，分别以为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设,由（Ⅰ）可知，‎ 所以，‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以， ‎ 设平面的法向量为，‎ 则即 则的一组解为． ‎ 所以 ‎ 所以直线与平面成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、中位线定理以及利用空间向量求线面角的正弦值，考查了学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．‎ ‎ ‎