专题5-4 热点题型三 三角函数的图象与性质-《奇招制胜》2017年高考数学(理)热点+题型全突破

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专题5-4 热点题型三 三角函数的图象与性质-《奇招制胜》2017年高考数学(理)热点+题型全突破

热点题型三 三角函数的图象与性质 ‎【基础知识整合】‎ ‎1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 正弦函数y=sin x,x∈0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0).‎ 余弦函数y=cos x,x∈0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1).‎ ‎2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 R R ‎{x|x∈R且x≠+kπ,k∈Z}‎ 值域 ‎-1,1]‎ ‎-1,1]‎ R 单调性 在-+2kπ,+2kπ](k∈Z)上递增;‎ 在+2kπ,+2kπ](k∈Z)上递减 在2kπ,π+2kπ](k∈Z)上递减 在-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上递增;‎ 在(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上递增 最值 当x=+2‎ 当x=2kπ(k∈Z kπ(k∈Z)时,ymax=1;当x=-+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1‎ ‎)时,ymax=1;‎ 当x=π+2kπ(k∈Z)时,ymin=-1‎ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 ‎(kπ,0)(k∈Z)‎ ‎(+kπ,0) (k∈Z)‎ ‎(,0)(k∈Z)‎ 对称轴方程 x=+kπ(k∈Z)‎ x=kπ(k∈Z)‎ 周期 ‎2π ‎2π π 类型一、 三角函数的定义域和值域 ‎【典例1】 函数y=lg(sin x)+ 的定义域为 ‎ ‎【典例2】 【2015·天津模拟】函数f(x)=-sin(2x-),x∈【0, 】的最大值是    .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】因为x∈【0, 】,‎ 所以-≤2x-≤.‎ 根据正弦曲线,得当2x-=-时.sin(2x-)取得最小值为-.‎ 故f (x)=-sin(2x-)的最大值为.‎ ‎【变式训练】函数y=cos2x+sin x(|x|≤)的最小值为 .‎ ‎【解析】令t=sin x,∵|x|≤,‎ ‎∴t∈.‎ ‎∴y=-t2+t+1=-2+,‎ ‎∴t=-时,ymin=.‎ ‎【解题技巧与方法总结】‎ ‎(1)三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组),常借助三角函数线或三角函数图象来求解.‎ ‎(2)三角函数值域的不同求法 ‎①利用sin x和cos x的值域直接求;‎ ‎②把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+φ)的形式求值域;‎ ‎③通过换元,转换成二次函数求值域.‎ 类型二 三角函数的单调性 ‎【典例3】 【2015高考安徽,理10】已知函数(,,均为正的常数)的最小正周期为,当时,函数取得最小值,则下列结论正确的是( )‎ ‎ (A) (B)‎ ‎ (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【考点定位】1.三角函数的图象与应用;2.函数值的大小比较.‎ ‎【思路点拨】对于三角函数中比较大小的问题,一般的步骤是:第一步,根据题中所给的条件写出三角函数解析式,如本题通过周期判断出,通过最值判断出,从而得出三角函数解析式;第二步,需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断,本题中代入函数值计算不太方便,故可以根据函数图象的特征进行判断即可.‎ ‎【典例4】 【2015高考新课标1】 函数的部分图像如图所示,则的单调递减区间为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由五点作图知,,解得,,所以,令,解得<<,,故单调减区间为(,),.‎ ‎【变式训练】‎ ‎【2016济南模拟】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y=b(00)的形式.‎ ‎2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t=ωx+φ,将其转化为研究y=sin t的性质.‎ ‎3.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题:首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集;其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解.‎ ‎【失误与防范】‎ ‎1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响.‎ ‎2.要注意求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时ω的符号,若ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数.‎ ‎3.三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得,直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.‎
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