【推荐】专题02 大题好拿分（基础版）-2016-2017学年上学期期末考试高二数学（理）备考黄金30题
1. 命题p：x∈{x|x2＋2x－3>0}，命题q：x∈{x|>1}，若p∧q为真，求 x的取值范围.
【解析】当p为真时得：x>1或x<－3；当q为真时得：2
1或x<－3}与{x|20，若p∨q为假命题，求实数m的取值范围.
6.椭圆＋＝1的离心率为e，点(1，e)是圆x2＋y2－4x－4y＋4＝0的一条弦的中点，求此弦所在直线的方程
【解析】依题意得e＝，圆心坐标为(2，2)，圆心(2，2)与点(1，)的连线的斜率为＝，
所求直线的斜率为－，所以所求直线方程是y－＝－(x－1)．即4x＋6y－7＝0.
7.已知椭圆C1：＋＝1(00)的焦点是椭圆的顶点．
(1)求抛物线C2的方程．
(2)过点M(－1，0)的直线l与抛物线C2交于E，F两点，过E，F作抛物线C2的切线l1，l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程．
【解析】(1)∵椭圆C1的长半轴长a＝2，半焦距c＝，由e＝＝＝得b2＝1，
∴椭圆C1的上顶点为(0，1)，
∴抛物线C2的焦点为(0，1)，
∴抛物线C2的方程为x2＝4y.
(2)由已知可得直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)， E(x1，y1)，F(x2，y2)．由x2＝4y得y＝x2，∴y′＝x.∴切线l1，l2的斜率分别为x1，x2.
当l1⊥l2时，x1·x2＝－1，即x1x2＝－4.
由得x2－4kx－4k＝0，
∴Δ＝(4k)2－4×(－4k)>0，解得k<－1或k>0.①
且x1x2＝－4k＝－4，得k＝1，满足①式．
∴直线l的方程为x－y＋1＝0.
8. 已知双曲线的方程为2x2－y2＝2.
(1)求以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在直线的方程；
(2)过点B(1，1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1，Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？如果l存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．
9.已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C的离心率为，且经过点，过点P（2，1）的直线与椭圆C在第一象限相切于点M ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求直线的方程以及点M的坐标；
（3） 是否存过点P的直线与椭圆C相交于不同的两点A、B，满足？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．
因为直线与椭圆相切，所以
整理，得 解得
所以直线l方程为
将代入①式，可以解得M点横坐标为1，故切点M坐标为……8分
（Ⅲ）若存在直线l1满足条件，的方程为，代入椭圆C的方程得
因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为
所以
所以．
又，
因为即，
所以．
即
所以，解得 因为A，B为不同的两点，所以．
于是存在直线1满足条件，其方程为
10.已知圆的直径AB=4，定直线到圆心的距离为4，且直线⊥直线AB. 点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交与M、N点. 如图，以AB为轴，圆心O为原点建立平面直角坐标系.
（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；
（Ⅱ）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点.
∴，MN=
MN的中点坐标为以MN为直径的圆截x轴的线段长度为
为定值∴⊙必过⊙O 内定点. ----12分
11．如图，在四面体中，截面是平行四边形，
(1)求证：截面
(2)若截面是正方形，求异面直线与所成的角.
所以异面直线与所成的角是.
【方法点睛】本题考查了线面平行，以及异面直线所成角的问题，属于基础题型，重点说说空间角的问题，（1）异面直线所成角，几何法：通过平移转化为相交直线所成角，然后在三角形内解三角形，向量法：转化为异面直线的方向向量所成角，通过求解；（2）线面角，几何法：线面角就是线与其在平面内的射影所成角，一般可通过直线外一点向平面内引垂线，连接垂足与斜足的线就是线在平面内的射影，向量法：先求法向量，求解；（3）面面角，几何法：①定义法，②垂面法，③三垂线法或其逆定理法，向量法：先求两个平面内的法向量，那么或.
12．如图，一个几何体的三视图△是边长为的等边三角形，
(Ⅰ)画出直观图；
(Ⅱ)求这个几何体的体积
【解析】(Ⅰ)如图；
13．一个正四棱台的斜高为12，侧棱长为13，侧面积为720，求它的体积．
【解析】设该棱台的上、下底面边长分别为和，高为，斜高为，侧棱长为，
．
14．已知点，，求线段的垂直平分线的方程．
【解析】已知两点，，则线段的中点坐标是．
因为直线的斜率为，所以，线段的垂直平分线的斜率是．
因此，线段的垂直平分线的方程是．即．
15．已知圆内有一点，过点作直线交圆于两点．
（Ⅰ）当经过圆心时，求直线的方程；
（Ⅱ）当直线的倾斜角为时，求弦的长．
【解析】（Ⅰ）已知圆的圆心为，
因直线过点，所以直线的斜率为，
直线的方程为,即
（Ⅱ）当直线的倾斜角为时，斜率为，直线的方程为,
即
圆心到直线的距离为，
又圆的半径为，弦的长为.
16．如图，在多面体中，四边形为正方形，，，，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
设点，于是有，．
设平面的法向量，则即
令，得，，所以．
平面的法向量，所以，
即，所以．
所以点的坐标为，与点的坐标相同，所以．
17．抛物线顶点在原点，焦点在x轴上，且过点（4，4），焦点为F．
（1）求抛物线的焦点坐标和标准方程：
（2）P是抛物线上一动点，M是PF的中点，求M的轨迹方程．
18．已知椭圆过点A（a,0）,B(0,b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为.
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率小于零的直线过点D（1，0）与椭圆交于M，N两点，若求直线MN的方程；
【解析】：（Ⅰ）由， ，得，，
所以椭圆方程是：……………………3分
（Ⅱ）设MN：代入，得，
设，由，得．
由，……………………6分
得，,（舍去）
直线的方程为：即……………………8分
（Ⅲ）将代入，得（*）
记，，为直径的圆过，则，即
，又，，得
………①
又，代入①解得……………11分
此时（*）方程，存在，满足题设条件．…………12分
19．已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C的离心率为，且经过点，过点P（2，1）的直线与椭圆C在第一象限相切于点M ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求直线的方程以及点M的坐标
【解析】（Ⅰ）设椭圆C的方程为，由题意得
整理，得 解得
所以直线l方程为
将代入①式，可以解得M点横坐标为1，故切点M坐标为
20.在平面直角坐标系中，设点，以线段为直径的圆经过原点．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线
是否恒过一定点，并证明你的结论．
即
所以，直线恒过定点．
