高考数学一轮复习核心素养测评十四3-2利用导数研究函数的单调性文含解析北师大版
核心素养测评十四 利用导数研究函数的单调性
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.函数y=f(x)=x3-x2+的图像大致是 ( )
【解析】选A.因为f(0)=,所以排除C;因为f′(x)=3x2-2x,令f′(x)>0,所以 x∈(-∞,0)或 x∈时f(x)单调递增,令f′(x)<0,所以x∈时f(x)单调递减,排除B,D.
2.下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是 ( )
A.f(x)=sin 2x B.f(x)=xex
C.f(x)=x3-x D.f(x)=-x+ln x
【解析】选B.对于A,f(x)=sin 2x的单调递增区间是(k∈Z);对于B,f′(x)=ex(x+1),当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,所以函数f(x)=xex在(0,+∞)上为增函数;对于C,f′(x)=3x2-1,令f′(x)>0,得x>或x<-,所以函数f(x)=x3-x在和上单调递增;对于D,f′(x)=-1+=-,令f′(x)>0,得0
0
C.a≤0 D.a<0
【解析】选A.因为f(x)==ax-,
所以f′(x)=a+.
因为函数f(x)=在(0,+∞)上单调递增,
所以f′(x)=a+≥0在(0,+∞)上恒成立且不恒为零,即a≥-在(0,+∞)上恒成立且不恒为零,所以a≥0.
【变式备选】
若函数f(x)=kex+x在(0,+∞)上单调递减,则k的范围为 ( )
A.k≥-1 B.k≤-1
C.k≥1 D.k≤1
【解析】选B.f′(x)=kex+1.
由题意得kex+1≤0在(0,+∞)上恒成立,
即k≤-,x∈(0,+∞).
当x∈(0,+∞)时,-∈(-1,0),
所以k≤-1.
5.(2020·南昌模拟)已知函数f(x+1)是偶函数,当x∈(1,+∞)时,函数f(x)=sin x-x,设a=f,b=f(3),c=f(0),则a,b,c的大小关系为 世纪金榜导学号( )
A.b-时,f ′(x)<0,当00,所以f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
答案:
8.(2020·西安模拟)已知函数f(x)=ax3+bx2的图像经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.若函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,则m的取值范围是 . 世纪金榜导学号
【解析】因为f(x)=ax3+bx2的图像经过点M(1,4),
所以a+b=4,①
f′(x)=3ax2+2bx,则f′(1)=3a+2b.
由题意可得f′(1)·=-1,即3a+2b=9.②
联立①②两式解得a=1,b=3,
所以f(x)=x3+3x2,f′(x)=3x2+6x.
令f′(x)=3x2+6x≥0,得x≥0或x≤-2.
因为函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,
所以[m,m+1]⊆(-∞,-2]∪[0,+∞),
所以m≥0或m+1≤-2,即m≥0或m≤-3.
答案:(-∞,-3]∪[0,+∞)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图像过点P(1,2),且在点P处的切线斜率为8.
(1)求a,b的值.
(2)求函数f(x)的单调区间.
【解析】(1)因为函数f(x)的图像过点P(1,2),
所以f(1)=2.所以a+b=1.①
又函数图像在点P处的切线斜率为8,
所以f ′(1)=8.又f ′(x)=3x2+2ax+b,所以2a+b=5.②
解由①②组成的方程组,可得a=4,b=-3.
(2)由(1)得f ′(x)=3x2+8x-3,
令f ′(x)>0,可得x<-3或x>;
令f ′(x)<0,可得-30,
函数f(x)在R上单调递增;
②当a>0时,由f′(x)=ex-a=0得x=ln a,
所以当x∈(-∞,ln a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(ln a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
综上,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);
当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(ln a,+∞),单调递减区间为(-∞,ln a).
(15分钟 35分)
1.(5分)(2020·南昌模拟)已知函数f(x)=xsin x,x1,x2∈,且f(x1)0 B.x1+x2>0
C.->0 D.-<0
【解析】选D.由f(x)=xsin x,得f′(x)=sin x+xcos x=cos x(tan x+x),当x∈时,f′(x)>0,即f(x)在上是增加的,又因为f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x),所以f(x)为偶函数,所以当f(x1)2时,F(x)<0,即f(x)0,即f(x)>x+4.
答案:(2,+∞)
【变式备选】
函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f′(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为 .
【解析】由f(x)>2x+4,得f(x)-2x-4>0,设F(x)=f(x)-2x-4,则F′(x)=f′(x)-2,因为f′(x)>2,所以F′(x)>0在R上恒成立,所以F(x)在R上单调递增,而F(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)-2x-4>0等价于F(x)>F(-1),所以x>-1.
答案:(-1,+∞)
4.(10分)已知函数f(x)=x3-ax-1. 世纪金榜导学号
(1)若f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,求a的取值范围.
(2)若f(x)在区间(-1,1)上为减函数,求a的取值范围.
(3)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求a的值.
【解析】(1)因为f ′(x)=3x2-a,且f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,所以f ′(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,即3x2-a≥0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3x2在(1,+∞)上恒成立,所以a≤3,即a的取值范围是(-∞,3].
(2)由题意得f ′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,所以a≥3x2在(-1,1)上恒成立.因为-10.因为f(x)=x3-ax-1,所以f ′(x)=3x2-a.
由f ′(x)=0,得x=±,
因为f(x)在区间(-1,1)上单调递减,所以=1,即a=3.
5.(10分)已知函数f(x)=ln x-(k∈R).讨论函数f(x)的单调性. 世纪金榜导学号
【解析】因为f(x)=ln x-,函数f(x)的定义域为(0,+∞),
所以f′(x)=+=,x>0.
当k≥0时,f′(x)>0,
所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
当k<0时,由f′(x)=0,得x=(负根舍去),
当x∈(0,)时,f′(x)<0,当x∈(,+∞)时,f′(x)>0,
所以函数f(x)在(0,)上单调递减;在(,+∞)上单调递增.
综上所述,当k≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当k<0时,函数f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.
定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足x2f′(x)+1>0,f(2)=,则不等式f(lg x)<+4的解集为 世纪金榜导学号( )
A.(10,100) B.(0,100)
C.(100,+∞) D.(1,100)
【解析】选D.令g(x)=f(x)-,
则g′(x)=f′(x)+>0,
g(x)在(0,+∞)上递增,
而g(2)=f(2)- =4,
故由f(lg x)<+4,得g(lg x)
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