2019-2020学年江苏省扬州市高一上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年江苏省扬州市高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2019-2020学年江苏省扬州市高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．若集合，则集合中元素的个数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求得，由此判断出中元素的个数.‎ ‎【详解】‎ 依题意，有个元素.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查集合并集的概念和运算，属于基础题.‎ ‎2．与角终边相同的最小正角是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用终边相同的角的关系，求得与角终边相同的最小正角.‎ ‎【详解】‎ 与角终边相同的最小正角为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.‎ ‎3．若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由计算出的值，由此求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由由解得，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数值的求法，属于基础题.‎ ‎4．已知幂函数在为单调增函数，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据为幂函数，求得的可能取值，再由在上的单调性，求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由于为幂函数，所以，当时，在上递减，不符合题意，当时在上递增，符合题意.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据函数为幂函数求解析式，考查幂函数的单调性，属于基础题.‎ ‎5．若的周期为，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据的周期求得，由此求得的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查正切函数的周期性，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.‎ ‎6．已知，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用“分段法”判断出的大小关系.‎ ‎【详解】‎ 由于，所以.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本小题主要考查分段法比较指数式、对数式的大小，考查指数函数、对数函数的性质，属于基础题.‎ ‎7．已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求得扇形的半径，由此求得扇形面积.‎ ‎【详解】‎ 依题意，扇形的半径为，所以扇形面积为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查扇形半径、面积有关计算，属于基础题.‎ ‎8．已知函数是奇函数，当时，，且，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用函数的奇偶性和列方程，求得解方程求得实数的值.‎ ‎【详解】‎ 由于为奇函数，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的奇偶性，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎9．的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用诱导公式、两角差的正弦公式和二倍角公式进行化简，求得表达式的值.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角恒等变换，主要是诱导公式、两角差的正弦公式和二倍角公式的应用，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎10．已知函数，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用分段函数解析式，化简求得的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用分段函数解析式求函数值，考查对数运算，属于基础题.‎ ‎11．在平行四边形中，，，，分别是上的点，且，，（其中），且.若线段的中点为，则当取最小值时，的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用，结合向量线性运算、数量积运算，以及 ‎，求得当为何值时取得最小值，进而求得的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意可知，，所以①.由于，所以①可化为②，根据二次函数的性质可知，，当时，②取得最小值，此时，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查平面向量线性运算、数量积运算，模的运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎12．已知函数，其中表示不超过的最大整数，下列关于说法正确的是（ ）‎ ‎①函数为偶函数； ②的值域为；‎ ‎③为周期函数，且周期； ④与的图象恰有一个公共点．‎ A．①③ B．②③ C．③④ D．①④‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用特殊值排除错误选项，证明可能正确的选项正确，由此得出正确结论.‎ ‎【详解】‎ 对于①，由于，，所以，所以不是偶函数.‎ 对于②，由于为整数，所以，②错误.‎ 对于③，由于，所以，所以③正确.‎ 对于④，由②得.令，得或，而，，不是公共点的横坐标.令，解得或，而，所以的两个函数图像的一个公共点.令，解得，或，而，不是公共点的横坐标.综上所述，两个函数图像有一个公共点，故④正确.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查三角函数的周期性，考查函数的奇偶性，考查对数函数的性质，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．设是平面内的一组基底，若三点共线，且，则实数的值为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据三点共线，得到，由此列方程组，解方程组求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由于三点共线，所以，即，所以，解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三点共线的向量表示，考查方程的思想，属于基础题.‎ ‎14．已知，,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，再结合两角差的正切公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：因为，,‎ 又，‎ 所以=，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两角差的正切公式及考查了角的拼凑，重点考查了观察能力及运算能力，属中档题.‎ ‎15．已知物体初始温度是,经过分钟后物体温度是，且满足，（为室温，是正常数）．某浴场热水是由附近发电厂供应，已知从发电厂出来的的热水，在室温下，温度降到需要分钟，那么降温到时，需要___________分钟.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据已知条件求得的值，由此求得温到时，需要的时间.‎ ‎【详解】‎ 由于“从发电厂出来的的热水，在室温下，温度降到需要分钟”，所以，解得.则降温到时，需要，解得分钟.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数在实际生活中的应用，考查待定系数法求函数解析式，属于基础题.‎ ‎16．已知定义在上的偶函数满足．且当时，．若对于任意，都有，则实数的取值范围为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求得的值，由此求得的值.证得是周期为的周期函数，将转化为，根据的周期性和对称性，将转化为，结合求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由，令，得.由于当时，，所以.故当时，.，由于为偶函数，所以.由，得，所以是周期为的周期函数.当时，，所以.所以当，.得，故.所以当时，，所以.结合是周期为的周期函数，画出的图像如下图所示.由得（），对于任意成立.时，‎ ‎，解得，所以，即对于任意成立.当时，由得，由于在递减，所以；由得，由于在在递增，所以.综上所述，的取值范围是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、周期性，考查函数解析式的求法，考查不等式恒成立问题的求解，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，综合性很强，属于难题.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数的值域为集合，函数的定义域为集合 ，全集．‎ ‎（1）若，求； ‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】求的值域求得集合，求的定义域求得集合.‎ ‎（1）根据交集的概念和运算，求得.‎ ‎（2）首先求得根据列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由函数的值域为，‎ 得函数的值域为 ,‎ 又由，解得，即.‎ ‎（1）当时，，所以； ‎ ‎（2）因为，所以 由，得，或， ‎ 解得，或 所以的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角函数值域的求法，考查函数定义域的求法，考查集合交集、补集的概念和运算，考查根据包含关系求参数的取值范围，属于基础题.‎ ‎18．已知角的终边过点.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若为第二象限角，且，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据三角函数的定义求得的值，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式求得所求表达式的值.‎ ‎（2）首先求得的值，然后利用两角和的余弦公式，求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为角的终边经过点，所以 由三角函数定义可知，， ‎ 所以； ‎ ‎（2）因为，所以 由是第二象限角，知，所以 ‎ 由（1）知，，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角函数的定义，考查同角三角函数的基本关系式，考查诱导公式，考查两角和的余弦公式，属于基础题.‎ ‎19．在平面直角坐标系中，已知点，，．‎ ‎（1）分别求出以线段为邻边的平行四边形的两条对角线长；‎ ‎（2）是否存在实数，使得向量与向量垂直．若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）对角线的长分别为，；（2）存在,.‎ ‎【解析】（1）求得、的坐标，进而求得它们的模，也即求得以线段为邻边的平行四边形的两条对角线长.‎ ‎（2）利用，以及向量数量积的坐标运算列方程，解方程求得的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，‎ 由，得，‎ 由，得. ‎ 故以线段为邻边的平行四边形两条对角线的长分别为，.‎ ‎（2），由向量与向量垂直，‎ 得， ‎ 又因为， ‎ 所以， ‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查向量坐标的加法、减法、模和数量积的运算，考查两个向量垂直的坐标表示，属于基础题.‎ ‎20．某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ‎①‎ ‎（1）请将上面表格中①的数据填写在答题卡相应位置上，并直接写出函数的解析式；‎ ‎（2）若将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求当时，函数的单调递增区间；‎ ‎（3）若将函数图象上的所有点向右平移个单位长度，得到的图象. 若图象的一个对称中心为，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）表格中①填:，；（2）和；（3）.‎ ‎【解析】（1）利用 求得①求得中填写的数值.根据表格所给数据，求得的值.‎ ‎（2）根据三角函数图像变换的知识，求得的解析式，根据三角函数单调区间的求法，求得的单调递增区间.‎ ‎（3）根据三角函数图像变换的知识，求得的解析式，根据 的对称中心列方程，由此求得的表达式，进而求得的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，故表格中①填:.由表格数据可知，，所以，所以，由，.‎ 所以的解析式为: ‎ ‎（2） 令 ‎ ‎ ‎ ‎ 和 ‎ 即的单调递增区间为和. ‎ ‎（3）， ‎ 图象的一个对称中心为 ‎ ‎ 即 ‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三角函数五点作图法，考查三角函数解析式的求法，考查三角函数单调区间的求法，考查三角函数的对称中心，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎21．已知函数为定义在上的奇函数．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）解关于的不等式；‎ ‎（3）设，当时，函数的最小值为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）利用列方程，由此求得的值.‎ ‎（2）利用函数单调性的定义证得在上为单调递增函数，结合为奇函数化简所求不等式，由此求得不等式的解集.‎ ‎（3）利用换元法化简解析式，利用最小值列方程，结合的取值范围，求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）为定义在上奇函数， ‎ 在上恒成立，‎ ‎ ，‎ 在上恒成立，等价于，即； ‎ ‎（2），任取， ‎ ‎ 即在上为单调递增函数， ‎ ‎ 为奇函数， 等价于，‎ 在上为单调递增函数，‎ ‎， ‎ ‎（3）‎ ‎ 令 ‎ 由解得或（舍去）， ‎ 即， ‎ 由三角函数图像可知，即.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查定义法正函数的单调性，考查三角函数最值有关计算.‎ ‎22．已知函数，．‎ ‎（1）若在区间上不单调，求的取值范围；‎ ‎（2）设，若函数在区间恒有意义，求实数的取值范围；‎ ‎（3）已知方程在有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】（1）根据的对称轴在区间内列不等式，解不等式求得的取值范围.‎ ‎（2）先求得表达式，将函数在区间恒有意义，转化为“对于任意的实数，不等式恒成立”，对分成两种情况进行分类讨论，由此求得的取值范围.‎ ‎（3）构造函数，将写出分段函数的形式，对分成两种情况进行分类讨论，结合在有两个不相等的实数根，求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为在区间上不单调，则，解得 即的取值范围； ‎ ‎（2）‎ 函数在区间恒有意义，‎ 等价于对于任意的实数，不等式恒成立，（）‎ 当时，，此时，与（）式矛盾，不合题意 当时，由可知，，，所以恒成立，即（）成立 又在区间上实数必须满足 综上，所求实数的取值范围为； ‎ ‎（3）令 ‎ 方程在有两个不相等的实数根 等价于函数在区间上存在两个零点 因为且在处图象不间断 当时，无零点； ‎ 当时，由于在单调，∴在内至多只有一个零点，不妨设的两个零点为，并且 若有一个零点为0，则，于是，零点为或，所以满足题意 若0不是函数零点，则函数在区间上存在两个零点有以下两种情形：‎ ‎①若，，‎ 则.‎ ‎②若，‎ 则． ‎ 综合①②得，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查函数定义域问题的求解，考查方程的根的问题求解，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.‎